2019版高考数学(文)一轮复习教师用书：第五章 第三节 等比数列及其前n项和 Word版含答案

第三节等比数列及其前n 项和
1．等比数列的有关概念
(1)定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n
＝q . (2)等比中项：
如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.
(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q
＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．
(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，
则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；
(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列；
(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( )
(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )
(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( )
(4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5等于( )
A ．5
B ．±5
C ．4
D ．±4
解析：选C a 25＝a 3a 7＝2×8＝16，∴a 5＝±4.
又∵a 5＝a 3q 2>0，∴a 5＝4.
3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13
B ．－13 C.19 D ．－19
解析：选C 由已知条件及S 3＝a 1＋a 2＋a 3，得a 3＝9a 1，设数列{a n }的公比为q ，则q 2
＝9，所以a 5＝9＝a 1·q 4＝81a 1，得a 1＝19
. 4．已知S n 是各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，若a 2·a 4＝16，S 3＝7，则a 8＝( )
A ．32
B ．64
C ．128
D ．256
解析：选C ∵a 2·a 4＝a 23＝16，∴a 3＝4(负值舍去)，①
又S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 3q 2＋a 3q ＋a 3＝7，② 联立①②，得3q 2－4q －4＝0，解得q ＝－23
或q ＝2， ∵a n >0，∴q ＝2，∴a 8＝a 3·q 5＝27＝128.
5．(2017·北京高考)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2
＝________.
解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 则a 4＝－1＋3d ＝8，解得d ＝3；
b 4＝－1·q 3＝8，解得q ＝－2.
所以a 2＝－1＋3＝2，b 2＝－1×(－2)＝2，
所以a 2b 2
＝1. 答案：1
6．设{a n }是公比为正数的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为________．
解析：设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，
由a 5＝a 1q 4＝16，a 1＝1，得q 4＝16，解得q ＝2，。