北京市2016届高三数学一轮复习-专题突破训练-圆锥曲线-文

北京市2016届高三数学文一轮复习专题突破训练
圆锥曲线
一、填空、选择题
1、(2015年北京高考）已知()2,0是双曲线2
2
21y x b
-=（0b >)的一个焦点,则b = ．
2、（2014年北京高考）设双曲线C 的两个焦点为()，)
,一个顶点式()1,0，则C 的
方程为 .
3、（2013年北京高考）若抛物线y 2
＝2px 的焦点坐标为（1，0)，则p ＝________；准线方程为________。

4、（昌平区2015届高三上期末）双曲线13
:22=-y x C 的离心率是_________；若抛物线mx y 22
=与双曲线C 有相同的焦点,则=m _____________.
5、（朝阳区2015届高三一模）若抛物线2
2(0)y px p =>的焦点与双曲线2
2
2x y -=的右焦点重合,则p 的值为
A ．2 C ．4 D ．6、（东城区2015届高三二模）已知抛物线22y x =上一点P (,2)m ，则m = ，点P 到
抛物线的焦点F 的距离为 .
7、（房山区2015届高三一模）双曲线22
194
x y -=的渐近线方程是( ）
A ．23y x =±
B ．49y x =±
C ．32y x =±
D ．9
4
y x =± 8、(丰台区2015届高三一模)双曲线
22
126
x y -=的渐近线方程为 9、(丰台区2015届高三二模)设O 是坐标原点，F 是抛物线2
y x =的焦点，A 是抛物线上的一点,FA 与x 轴正向的夹角为
6
π
，则||AF =
(A)
12
（B) 34
（C) 1
（D) 2+
10、（海淀区2015届高三一模）抛物线2
=4x y 的焦点到准线的距离为（ ） （A ）
12
（B ） 1
（C ）2 （D)4
11、（海淀区2015届高三二模）以坐标原点为顶点，(1,0)-为焦点的抛物线的方程为
12、（西城区2015届高三二模)抛物线24C y x =：的准线l 的方程是____；以C 的焦点为圆心,且与直线l 相切的圆的方程是____。

13、已知抛物线2
2y px =的焦点F 到其准线的距离是8,抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在
抛物线上且|||AK AF =,则AFK ∆的面积为
( ）
A ．32
B ．16
C ．8
D ．4
14、点P 是抛物线24y x =上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为
( ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
15、已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线2
4y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的
距离之和的最小值是 （ ）
A ．5
B ．2
C ．
115
D ．3
二、解答题
1、（2015年北京高考)已知椭圆C:2
2
33x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交
于A ，B 两点,直线AE 与直线3x =交于点M ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率;
（Ⅲ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系,并说明理由．
2、（2014年北京高考）已知椭圆C ：2
2
24x y +=. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）设O 为原点，若点A 在直线2y =,点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值。

3、（2013年北京高考）直线y ＝kx ＋m （m ≠0）与椭圆W ：错误!＋y 2
＝1相交于A ，C 两点,O 是坐标原点．
（1）当点B 的坐标为(0，1),且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长; (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．
4、(昌平区2015届高三上期末）已知椭圆C ：22221(0)y x a b a b
+=>>，其四个顶
点组成的菱形的面积是O 为坐标原点，若点A 在直线2=x 上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥.
（I ） 求椭圆C 的方程； (II ）求线段AB 长度的最小值; （III ）试判断直线AB 与圆2
22x y +=的位置关系，并证明你的结论。

5、(朝阳区2015届高三一模）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的两个焦点分别为
12(2,0),(2,0)F F -,2F 的直线l (斜率不为0）与椭圆C 交于,A B 两点，线段
AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于,M N 两点．
（Ⅰ)求椭圆C 的方程;
（Ⅱ)当四边形12MF NF 为矩形时，求直线l 的方程．
6、（东城区2015届高三二模）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>上的左、右顶点分别为A ，B ，
1F 为左焦点，且12AF =,又椭圆C 过点(0,．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程;
（Ⅱ）点P 和Q 分别在椭圆C 和圆2
2
+16x y =上（点,A B 除外)，设直线PB ,QB 的斜率分别为1k ，
2k ，若123
4
k k =
，证明:A ,P ,Q 三点共线．
7、（房山区2015届高三一模）已知椭圆W :12222=+b
y a x )0(>>b a 的离心率为21
，Q 是椭圆上的
任意一点，且点Q 到椭圆左右焦点1F ，2F 的距离和为4． （Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；
（Ⅱ）经过点()1,0且互相垂直的直线1l 、2l 分别与椭圆交于A 、B 和C 、D 两点(A 、B 、C 、
D 都不与椭圆的顶点重合）,
E 、
F 分别是线段AB 、CD 的中点,O 为坐标原点，若OE k 、OF k 分
别是直线OE 、OF 的斜率,求证:OE OF k k ⋅为定值．
8、(丰台区2015届高三一模）已知椭圆C ：2236x y +=的右焦点为F ．
（Ⅰ)求点F 的坐标和椭圆C 的离心率；
(Ⅱ)直线l :y kx m =+(0)k ≠过点F ，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，如果点P 关于x 轴的对称点为P ',判断直线P Q '是否经过x 轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．
9、(丰台区2015届高三二模）已知椭圆C ：22
221x y a b
+=(0)a b >>的右焦点为F ，上下两
个顶点与点F 恰好是正三角形的三个顶点．
(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过原点O 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，如果△FAB 为直角三角形，求直线l 的方程．
10、（海淀区2015届高三一模）已知椭圆22
22:1(0)x y M a b a b
+=>>过点(0,1)A -，且离心率
e =
(Ⅰ）求椭圆M 的方程；
（Ⅱ）若椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称,求k 的所有取值构成的集合S ，并证明对于k S ∀∈，BC 的中点恒在一条定直线上。

11、（海淀区2015届高三二模）已知椭圆2
2:14
x C y +=,点D 为椭圆C 的左顶点。

对于正常数λ,如果存在过点00(,0)(22)M x x -<<的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,使得AOB AOD S S λ∆∆=，则称点M 为椭圆C 的“λ分点"。

(Ⅰ）判断点1,0M （）是否为椭圆C 的“1分点"，并说明理由；
（Ⅱ）证明：点10M （,）不是椭圆C 的“2分点”；
（Ⅲ）如果点M 为椭圆C 的“2分点”，写出0x 的取值范围。

（直接写出结果）
12、(石景山区2015届高三一模）如图，已知椭圆C
短轴的右端点为B ， M （1,0）为线段OB 的中点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点M 任意作一条直线与椭圆C 相交于两点P ，Q 试问在x 轴上是否存在定点N ，使得∠PNM =∠QNM ？ 若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．
13、（西城区2015届高三二模)设1F ,2F 分别为椭圆22
22 + 1(0)x y E a b a b
=>>：的左、右焦点，点A 为椭圆E 的左顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且||2AB =.
（Ⅰ）若椭圆E
求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设P 为椭圆E 上一点,且在第一象限内，直线2F P 与y 轴相交于点Q . 若以PQ 为直径的圆经过点1F ，证明:点P 在直线20x y +-=上。

14、已知椭圆M ：22
21(0)3
x y a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为A ，B 。

经过点F 的
直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点。

（Ⅰ）求椭圆方程；
(Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长;
（Ⅲ)记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值。

15、已知椭圆的中心在原点O ，短半轴的端点到其右焦点()2,0F
过焦点F 作直线l ，
交椭圆于,A B 两点．
（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；
(Ⅱ）若椭圆上有一点C ，使四边形AOBC 恰好为平行四边形，求直线l 的斜率．
参考答案
一、填空、选择题 1、【答案】3
【解析】
试题分析：由题意知2,1c a ==，222
3b c a =-=,所以3b =.
2、【答案】12
2=-y x 【解析】由题意知:1,2==a c ,所以1222=-=a c b ，又因为双曲线的焦点在x 轴上，所以C
的方程为12
2=-y x 。

3、2 x ＝－1 ［解析］ ∵抛物线y 2
＝2px 的焦点坐标为(1,0),∴错误!＝1,解得p ＝2，∴准线方程为x ＝－1. 4、
33
2
; 4± 5、C 6、2，52
7、A
8、3y x =± 9、C 10、C 11、2
4y x =-
12、1x =-， 22(1)4x y -+= 13、 【答案】A
解：由题意知8p =，所以抛物线方程为2
16y x =，焦点(4,0)F ,准线方程4x =-，即(4,0)K -，
设2
(,)16
y A y ,
过A 做AM 垂直于准线于M ，由抛物线的定
义可知AM AF =，所以22AK AF AM ==,即AM MK =，所以2
(4)16
y y --=,整理得2
16640y y -+=,即2
(8)0y -=,所以8y =,所以11
883222
AFK S KF y ∆==⨯⨯=,选A. 14、 【答案】B
解：抛物线的准线为1x =-，根据抛物线的对应可知，P 到该抛物线焦点的距离等于P 到该准线的距离,即(1)4x --=,所以3x =,即点P 的横坐标为3，选B. 15、【答案】B
解：因为抛物线的方程为2
4y x =，所以焦点坐标(1,0)F ，准线方程为1x =-。

所以设P 到准线的距离为PB ,则PB PF =.P 到直线1
:4360l x y -+=的距离为PA ,
所以PA PB PA PF FD +=+≥，其中FD 为焦点到直线4360x y -+=的距离，所以
22
40610
25
34FD -+=
=
=+，所以距离之和最小值是2，选B.
二、解答题 1、【答案】(16
(2）1；(3)直线BM 与直线DE 平行. 【解析】
试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力。

第一问，先将椭圆方程化为标准方程，得到a ，b ，c 的值,再利用c
e a
=
计算离心率；第二问,由直线AB 的特殊位置，设出A ，B 点坐标，设出直线AE 的方程，由于直线AE 与x=3相交于M 点，所以得到M 点坐标，利用点B 、点M 的坐标，
求直线BM 的斜率；第三问,分直线AB 的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论,第二种情况，先设出直线AB 和直线AE 的方程,将椭圆方程与直线AB 的方程联立,消参，得到12x x +和12x x ，代入到1BM k -中,只需计算出等于0即可证明BM DE k k =,即两直线平行.
试题解析:（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2
213
x y +=.
所以a =
1b =
，c =
所以椭圆C
的离心率3
c e a =
=. (Ⅱ)因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴,所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -。

直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--。

令3x =,得1(3,2)M y -。

所以直线BM 的斜率11
2131
BM y y k -+=
=-。

（Ⅲ）直线BM 与直线DE 平行.证明如下： 当直线AB 的斜率不存在时,由(Ⅱ）可知1BM k =. 又因为直线DE 的斜率10
121
DE k -=
=-，所以//BM DE 。

当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠。

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为111
1(2)2
y y x x --=
--。

令3x =,得点1113
(3,
)2
y x M x +--。

由2233(1)
x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(13)6330k x k x k +-+-=。

所以2122613k x x k +=+，2122
33
13k x x k
-=+.
2、解:（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22
142
x y +=．
所以24a =，22b =,从而2222c a b =-=． 因此2a =，2c =C 的离心率2
c e a =
． （Ⅱ）设点A ,B 的坐标分别为()2t ，,()00x y ，,其中00x ≠．
因为OA OB ⊥， 所以0OA OB ⋅=， 即0020tx y +=，解得0
2y t x =-
． 又22
024x y +=,所以 ()()22
2002AB x t y =-+-
()2
2000022y x y x ⎛⎫=++- ⎪⎝
⎭
2
220
20
44y x y x =+++
()2
202
002
24442x x x x --=+++
()220020
84042x x x =++<≤． 因为()22
00
20
84042x x x +<≥≤，且当204x =时等号成立，所以28AB ≥． 故线段AB
长度的最小值为
3、解：(1)因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．
所以可设A 错误!，代入椭圆方程得错误!＋错误!＝1，即t ＝±错误!。

所以｜AC ｜＝2 错误!。

(2）证明：假设四边形OABC 为菱形．
因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0。

由错误!消y 并整理得
(1＋4k 2）x 2＋8kmx ＋4m 2
－4＝0. 设A （x 1，y 1），C （x 2，y 2)，则
错误!＝－错误!,错误!＝k ·错误!＋m ＝错误!。

所以AC 的中点为M 错误!.
因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0,k ≠0，所以直线OB 的斜率为－错误!。

因为k ·错误!≠－1,所以AC 与OB 不垂直． 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．
4、解：(I
）由题意22c e a ab ⎧==⎪⎨⎪=⎩
，解得22
4,2a b ==.
故椭圆C 的标准方程为22
142
y x +=。

……………3分 （II ）设点A ，B 的坐标分别为00(2,),(,)t x y ,其中00≠y ，
因为OA OB ⊥,所以0OA OB ⋅=，即0020+=x ty ， ……………4分 解得00
2=-
x t y ，又22
0024+=x y ， 所以222
00||(2)()=-+-AB x y t
=2
2
0000
2(2)()-++
x x y y =2
2
2
0002
44+++x x y y
=222
0002042(4)42--+++y y y y =22
002
84(04)2++<≤y y y ，……………5分
因为220020
8
4(04)2+≥<≤y y y ,当且仅当204=y 时等号成立，所以2||8AB ≥，
故线段AB
长度的最小值为. ……………7分
（III ）直线AB 与圆22
2x y +=相切。

……………8分
证明如下：
设点A,B 的坐标分别为00(,)x y ,(2,)t ,其中00y ≠。

因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即0020x ty +=，解得0
2x t y =-。

……………9分 直线AB 的方程为00(2)2
y t
y t x x --=
--， 即0000()(2)20y t x x y y tx ----+=， ……………10分 圆心O 到直线AB
的距离d =
， ……………11分
由22
0024y x +=，0
2x t y =-
， 故
d =
=
=，
所以 直线AB 与圆22
2x y +=相切。

……………13分
5、解：（Ⅰ)由题意可得
2
222,,c c a a b c =⎧⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎩
解得a =
b =。

故椭圆的方程为22
162
x y +=． ……… 5分
（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在,设其方程为
(2)y k x =-，点11(,)A x y ,22(,)B x y ，
33(,)M x y ，33(,)N x y --，
由22
1,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
得2222
(13)121260k x k x k +-+-=， 所以2
122
1213k x x k +=+．
因为12122
4(4)13k
y y k x x k
-+=+-=
+, 所以AB 中点222
62(
,)1313k k
D k k -++． 因此直线OD 方程为30x ky +=0k
．
由2230,
1,62
x ky x y +=⎧⎪⎨+
=⎪⎩解得2
32
213y k =+，333x ky =-． 因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=, 即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=．
所以22
3340x y --=．
所以22
2(91)
4013k k +-
=+．
解得3k =±
．故直线l
的方程为2)3
y x =±
-． ……… 14分 6、解：（Ⅰ）由已知可得2a c -=
，b =，又222
12b a c =-=，
解得4a =.
故所求椭圆C 的方程为
22
11612
x y +=． …………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ)知(4,0)A -，(4,0)B 。

设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，
所以2
111121114416
PA y y y k k x x x ⋅=⋅=
+--.
因为11(,)P x y 在椭圆C 上，
所以
221111612x y +=，即22113124
y x =-。

所以2
11213
1234164
PA x k k x -⋅==--。

又因为123
4
k k =
， 所以21PA k k ⋅=-。

（1）
由已知点22(,)Q x y 在圆22
16x y +=上，AB 为圆的直径,
所以QA QB ⊥.
所以21QA k k ⋅=-. （2) 由(1)（2）可得PA QA k k =． 因为直线PA ，QA 有共同点A ，
所以A ，P ，Q 三点共线． …………………………14分
7、解:（Ⅰ)∵点Q 到椭圆左右焦点的距离和为4。

∴24a =，2a =.
又1
2
c e a =
=，∴1c =，2223b a c =-=。

∴椭圆W 的标准方程为：22
143x y +=
…………………5分 （Ⅱ）∵直线1l 、2l 经过点(0,1)且互相垂直，又A 、B 、C 、D 都不与椭圆的顶点重合 ∴设1l :1y kx =+,2l ：1
1y x k
=-
+；点11(,)A x y 、22(,)B x y 、(,)E E E x y 、(,)F F F x y 由22
1
14
3y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22
(34)880k x kx ++-= ∵点(0,1)在椭圆内，∴△0> ∴122834k
x x k +=-
+，
∴1224234E
x x k
x k +==-+，
23134E E
y kx k =+=+ ∴3
4E OE E y k x k
=
=- 同理3314
4()F OF F
y k
k x K =
=-=-
∴9
16OE OF k k ⋅=-
…………………14分
8、解: （Ⅰ）因为椭圆C ：22
162
x y +=
所以焦点(2,0)F
，离心率e =
……………………4分
（Ⅱ）直线l ：y kx m =+(0)k ≠过点F ，所以2m k =-，所以l ：(2)y k x =-．
由2236(2)
x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(31)121260.k x k x k +-+-=（依题意 0∆>）． 设 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，
则21221231k x x k +=+,2122
126
.31
k x x k -=+ ． 因为点P 关于x 轴的对称点为P '，则11(,)P x y '-． 所以，直线P Q '的方程可以设为21
1121
()y y y y x x x x ++=
--，
令0y =，
2111211211212x y x y x y x y x x y y y y -+=
+=++21
1212(2)(2)
(4)kx x kx x k x x -+-=+-
12121222()
(4)
x x x x x x -+=+-22
22
221261222313112(4)31
k k k k k k --++=-+ 3=．
所以直线P Q '过x 轴上定点(3,0)． ……………………14分
9、解：（Ⅰ）因为椭圆C
的右焦点为F
，则c =
因为上下两个顶点与F 恰好是正三角形的三个顶点，
所以1b =
，2a =．
所以椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=． ……………………4分 (Ⅱ）依题意，当△FAB 为直角三角形时，显然直线l 斜率存在，
可设直线l 方程为y kx =，设11(,)A x y ，22(,)B x y ． （ⅰ）当FA FB ⊥时
,11()FA x y =
，22()FB x y =．
22
44
y kx x y =⎧⎨+=⎩，消y 得22
(41)40k x +-=． 所以120x x +=,122441
x x k =-
+．
212121212((1))3FA FB x x y y k x x x x ⋅=+=+++
22
4
(1)3041
k k -=+⋅
+=+．
解得4
k =±
． ……………………9分 此时直线l
的方程为4
y x =±
． (ⅱ)当FA 与FB 不垂直时,根据椭圆的对称性，不妨设2
FAB π
∠=．
也就是点A 既在椭圆上，又在以OF 为直径的圆上．
所以2
211222
1114
()()22
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩
，解得1x =
,1y =
所以112
y k x =
=±
． 此时直线l
的方程为y x =． 综上所述,直线l
的方程为4y x =±
或2
y x =±． ……………………14分 10、解：（Ⅰ）因为 椭圆M 过点(0,1)A -,
所以 1b =. ………………1分 因为
222 2
c e a b c a =
==+， 所以 2a =。

所以 椭圆M 的方程为2
2 1.4
x y += ………………3分
（Ⅱ）方法一： 依题意得0k ≠。

因为 椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称，
所以 直线BC 与直线1y kx =-垂直,且线段BC 的中点在直线1y kx =-上. 设直线BC 的方程为11221
,(,),(,)y x t B x y C x y k
=-
+。

由221,44y x t k x y ⎧
=-+⎪⎨⎪+=⎩
得 22222
(4)8440k x ktx k t k +-+-=。

………………5分
由22
2
22
2
2
22
2
644(4)(44)16(4)0k t k k t k k k t k ∆=-+-=-+>， 得22240k t k --<.(*) 因为 122
84
kt
x x k +=
+， ………………7分 所以 BC 的中点坐标为2224(,)44
kt k t
k k ++。

又线段BC 的中点在直线1y kx =-上，
所以 2224144
k t kt
k k k =-++。

所以 22314
k t k =+。

………………9分
代入（*
），得2k <-
或2
k >. 所以
{|S k k k =<>或。

………………11分
因为 221
43
k t k =+,
所以 对于k S ∀∈,线段BC 中点的纵坐标恒为
13,即线段BC 的中点总在直线1
3
y =上. ………………13分
方法二：
因为 点(0,1)A -在直线1y kx =-上，且,B C 关于直线1y kx =-对称， 所以 AB AC =，且0k ≠.
设1122(,),(,)B x y C x y （12y y ≠)，BC 的中点为000(,)(0)x y x ≠.
则2222
1122(1)(1)x y x y ++=++。

………………6分
又,B C 在椭圆M 上，
所以 2222
112244,44x y x y =-=-.
所以 2222
112244(1)44(1)y y y y -++=-++。

化简，得 22
12123()2()y y y y -=-.
所以 1201
23
y y y +=
=. ………………9分 又因为 BC 的中点在直线1y kx =-上, 所以 001y kx =-。

所以 043x k
=。

由2
21,413x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
可得3x =±.
所以
4033k <
<
，或4033k -<<,
即2k <-
，或2
k >。

所以
{|}22
S k k k =<-
>或. ………………12分 所以 对于k S ∀∈,线段BC 中点的纵坐标恒为
13，即线段BC 的中点总在直线1
3
y =上.
………………13分
11、（Ⅰ）解：点10M （,）是椭圆C 的“1分点"，理由如下： ………………1分
当直线l 的方程为1x =时，由
21
14
y +=
可得(1,(1,22A B -。

（不妨假设点A 在x 轴的上方）
所以
1=
12AOB S ∆⨯
1=22AOD S ∆⨯ 所以AOB AOD S S ∆∆=，即点10M （,）是椭圆C 的“1分点”. ………………4分
（Ⅱ）证明：假设点M 为椭圆C 的“2分点"，则存在过点M 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，使得2AOB AOD S S ∆∆=.
显然直线l 不与y 轴垂直,设:1l x my =+,1122(,),(,)A x y B x y 。

由2
21,41x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得 22(4)230m y my ++-=. 所以 12224m y y m -+=
+， ① 12
23
4
y y m -=+。

② ………………6分 因为 2AOB AOD S S ∆∆=， 所以
12111
(||||)22||22
y y y +=⋅⋅，即21||3||y y =. ………………8分 由②可知120y y <,所以213y y =-。

③
将③代入①中得 12
4m
y m =
+， ④ 将③代入②中得2
1214
y m =+， ⑤
将④代入⑤中得 2
2
14
m m =+，无解. 所以 点10M （,）不是椭圆C 的“2分点”。

………………10分
（Ⅲ）0x 的取值范围为(2,1)
(1,2)--。

………………14分
12、（Ⅰ）由题意知, 2b = …………………1分
由2e =
，
a = …………………3分
椭圆方程为22
148
x y +=． …………………4分 （Ⅱ）若存在满足条件的点N ，坐标为（t ，0）,其中t 为常数. 由题意直线PQ 的斜率不为0，
直线PQ 的方程可设为：1x my =+,()m R ∈ …………………5分 设1122(,),(,)P x y Q x y ,
联立221,14
8x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：22
(12)460m y my ++-=, …………………7分
221624(12)0m m ∆=++>恒成立，所以1212
22
46
,1212m y +y =
y y =m m --++ ……8分 由PNM QNM ∠=∠知：+0PN QN k k = …………………9分
1212,PN QN y y
k k x t x t
=
=--, 即
12120y y x t x t +=--,即121211y y my t my t
=-+-+-， …………………10分 展开整理得12122(1)()0my y t y y +-+=，
即
22
2(6)4(1)
0,1212m m t m m ---+=++ …………………12分
即(4)0m t -=，又m 不恒为0，=4t ∴。

故满足条件的点N 存在，坐标为(40),……14分 13
、（Ⅰ）解：设c =，
由题意，得224a b +=
，且
c a =
………………2分
解得a =1b =
，c = ………………4分
所以椭圆E 的方程为2
213
x y +=. ………………5分 (Ⅱ）解：由题意,得22
4a b +=，所以椭圆E 的方程为2222
14x y a a +
=-， 则1(,0)F c -,2(,0)F c
,c == 设00(,)P x y ，
由题意，知0x c ≠，则直线1F P 的斜率1
0F P y k x c
=+， ………………6分 直线2F P 的斜率20
0F P y k x c
=
-， 所以直线2F P 的方程为0
0()y y x c x c
=
--， 当0x =时，00y c
y x c -=
-，即点00(0,)Q y c x c
--， 所以直线1F Q 的斜率为10
F Q y k c x =
-， ………………8分 因为以PQ 为直径的圆经过点1F ， 所以11PF F Q ⊥.
所以110000
1F P F Q y y
k k x c c x ⨯=
⨯=-+-， ………………10分 化简,得222
00(24)y x a =--, 错误!
又因为P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内,
所以2200
22
14x y a a
+=-，00x >，00y >， 错误! 由○1错误!，解得202
a x =，20122
y a =-， ………………12分
所以002x y +=，
即点P 在直线20x y +-=上. ………………14分 14、解：（I ）因为(1,0)F -为椭圆的焦点，所以1,c =又23,b =
所以2
4,a =所以椭圆方程为22
143
x y += ………………3分
（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45，所以直线的斜率为1， 所以直线方程为1y x =+，和椭圆方程联立得到
22
1431
x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消掉y ，得到27880x x +-= ………………5分 所以121288288,,77x x x x ∆=+=-=
所以1224|||7
CD x x =-= ………………7分 （Ⅲ)当直线l 无斜率时,直线方程为1x =-， 此时33(1,),(1,)22
D C ---, ,ABD ABC ∆∆面积相等，12||0S S -= ………………8分 当直线l 斜率存在（显然0k ≠）时,设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠，
设1122(,),(,)C x y D x y 和椭圆方程联立得到22
143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-= 显然0∆>，方程有根，且221212228412,3434k k x x x x k k
-+=-=++ ………………10分 此时122121|||2||||||2||S S y y y y -=-=+212|(1)(1)|k x k x =+++
21212||2|()2|34k k x x k k =++=
+ ………………12分 因为0k ≠,
上式12324||4|
|||
|k k k =≤==+
k = 所以12||S S -………………14分
15、解: （Ⅰ)由已知，可设椭圆方程为()22
2
210x y a b a b
+=>>,…………………… 1分 则
a =，2c
=． …………………………………………2分
所以 b ==…………………………………3分
所以 椭圆方程为22
1106
x y +=． …………………………………………4分 （Ⅱ)若直线l x ⊥轴，则平行四边形AOBC 中，点C 与点O 关于直线l 对称,此时点C 坐标为()
2,0c ．因为2c a > ,所以点C 在椭圆外，所以直线l 与x 轴不垂
直． …………………………………………6分 于是，设直线l 的方程为()2y k x =-，点()11,A x y ,()22,B x y , …7分 则()22
1,1062,
x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 整理得，()2222352020300k x k x k +-+-= … 8分 2
1222035k x x k +=+， ………………………………………… 9分 所以 1221235k
y y k +=-+． ……………………………………… 10分 因为 四边形AOBC 为平行四边形，
所以 OA OB OC +=, ……………………………………… 11分 所以 点C 的坐标为2222012,3535k k k k ⎛⎫
- ⎪++⎝⎭
, ……………………………12分
所以 22
222201235351106k k k k ⎛⎫⎛⎫-
⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
+=， ……………………………13分
解得21k =,
所以1k =±． ………………………………14分。