湖北省沙市中学2020届高三上学期第五次双周练数学试题

湖北省沙市中学2020届高三上学期第五次双周练数学试题
考试时间：2020年1月9日
一．选择题（60分）
i ．已知集合{}
2
{4,2,1},0,2,1A a B a =-=-+，若{2}A B =I ，则实数a 满足的集合为( )
A ．{}1
B ．{}1-
C ．{}1,1-
D ．∅
ii ．i 为虚数单位，复数2
i 1
z =
+在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．()11-，
B ．()11，
C ．()11-，
D ．()11--， iii ．等比数列{}n a 各项均为正数，若121,1,28n n n a a a a ++=+=则{}n a 的前6项和为( )
A ．1365
B ．63
C ．
63
32
D ．
1365
1024
iv ．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，
()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
v ．产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况 的重要指标．下图为国家统计局发布的 2016 年至 2019 年第 3 季度我国工业产能利用率的折线图．
在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如 2017 年第二季度与 2016年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如 2016年第二季度与 2016年第一季度相比较．据上述信息，下列结论中正确的是（ ）
A ．2016年第三季度环比有所提高
B ．2017年第一季度同比有所提高
C ．2018年第三季度同比有所提高
D ．2019年第一季度环比有所提高
vi ．下列说法正确的是( )
A ．命题“0[0,1]x ∃∈，使2
010x -…
”的否定为“[0,1]x ∀∈，都有2 10x -„” B ．命题“若向量a r 与b r 的夹角为锐角，则·0a b >r r
”及它的逆命题均为真命题 C ．命题“在锐角ABC △中，sin cos A B <”为真命题
D ．命题“若20x x +=，则0x =或1x =-”的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠-，则
20x x +≠”
vii ．如图所示是某三棱锥的三视图，其中网格纸中每个小正方形的边长为1，
则该三棱锥的体积为( ) A ．4 B ．
16
3
C ．8
D ．
83
viii ．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱11B C 的中点，点F 是线段1CD 上的一个动点．有以下三个命题：
①异面直线1AC 与1B F 所成的角是定值； ②三棱锥1B A EF -的体积是定值；
③直线1A F 与平面11B CD 所成的角是定值． 其中真命题的个数是( ) A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
ix ．如图，点F 是抛物线28y x =的焦点，点A ，B 分别在抛物线28y x =及圆
22(2)16x y -+=的实线部分上运动，且AB 始终平行于x 轴，则ABF ∆的周长
的取值范围是（ ） A ．(2,6)
B ．(6,8)
C ．(8,12)
D ．(10,14)
x ．已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，且对任意的(0,)x ∈+∞，都有
2[()log ]3f f x x -=，则方程()'()2f x f x -=的解所在的区间是（ ）
A ．（0，
1
2
） B ．（
1
,12
） C ．（1，2） D ．（2，3）
xi ．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[
)12,0,x x ∈+∞有
()()1212
0f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式
()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值
范围是（ ） A ．1ln6,126e ⎡⎤+⎢
⎥⎣⎦ B ．1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ C ．1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ D ．1
ln6,23e
⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ xii ．已知函数46()4sin 2,0,63f x x x ππ⎛
⎫
⎡⎤=-
∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x L ，且123n x x x x <<<<L ，则1231222n n x x x x x -+++++L =( ) A ．
12763
π
B ．445π
C ．455π
D ．
14573
π
二．填空题（20分）
xiii ．设,x y 满足条件2010x y x y y -≥⎧⎪
+≥⎨⎪≥⎩，则23x y +的最小值为_______．
xiv ．已知非零向量,m n u r r 满足4||3||m n =u r r ，若(4)n m n ⊥-+r u r r
则,m n u r r 夹角的余弦值为_____
xv ．在平面四边形ABCD 中，2AB =
2BC =，AC CD ⊥，AC CD =，
则四边形ABCD 的面积的最大值为_________.
xvi ．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，ABC △是边长为
4的等边三角形，三棱锥P ABC -的体积为16
3
，则此三棱锥的外接球的表面积为______. 三．解答题（70分）
xvii ．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为
()3
cos 6
b c a C +-. （1）求A ； （2）若1,3b c ==，求cos 2C 的值．
xviii ．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1111
12
AA A B AB ==
=，60ABC ∠=o ，1AA ⊥平面ABCD ．
（1）若点M 是AD 的中点，求证：1//C M 平面11AA B B ；
（2）（理科）棱BC 上是否存在一点E ，使得二面角1E AD D --的余弦值为1
3
？若存在，求线段CE 的长；若不存在，请说明理由．
（文科）若点E 是棱BC 的中点，求直线1EC 与平面1C MD 所成角的余弦值。

xix ．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n a S n n N *
+=++∈且
2514,,a a a 恰好是等比数列{}n b 的前三项．
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）记数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对任意的*n N ∈，3()362
n T k n +≥-恒成立，求实数k 的取值范围．
xx ．已知平面直角坐标系内的动点P 到直线1:2l x =的距离与到点(1,0)F 2． （1）求动点P 所在曲线E 的方程；
（2）设点Q 为曲线E 与y 轴正半轴的交点，过坐标原点O 作直线l ，与曲线E 相交于异
于点Q 的不同两点,M N ，点C 满足2OC OQ =u u u r u u u r ，直线MQ 和NQ 分别与以C 为圆心，CQ
为半径的圆相交于点A 和点B ，求△QAC 与△QBC 的面积之比λ的取值范围．
xxi ．设函数21
()ln ,22
x f x a x a R =--∈.
（1）若函数()
f x在区间[]
1,e（ 2.71828
e=L为自然对数的底数）上有唯一的零点，求实数a的取值范围；
（2）若在[]
1,e（ 2.71828
e=L为自然对数的底数）上存在一点
x，使得
()20
00
11
22
x a
f x x
x
+
<---成立，求实数a的取值范围.
选考题请考生从以下两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分。

（12分）
xxii．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为
cos
sin
x t
y t
α
α
=
⎧
⎨
=
⎩
（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线1:2cos
Cρθ
=，曲线
2
:cos
3
C
π
ρθ⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
.
（1）求2
C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线
12
,
C C分别相交于异于原点的点M，N，求||
MN的最大值。

xxiii．已知函数()2
f x x a x
=++-
(1)当3
a=-时，求不等式()3
f x≥的解集；
(2)若()4
f x x
≤-的解集包含[]
1,2，求a的取值范围．
高三年级第五次双周练数学答案
i ．D ii ．C
iii ．B 解：Q 等比数列{}n a 各项均为正数，且2128n n n a a a +++=，
∴2
28n n n a q a q a +=，2
28q q +=，可得q=2或q=-4(舍去)，∴616(1)
(1)
a q S q -=-=63
iv ． B ．解：∵f （x ）为偶函数；∴m ＝0；
∴f （x ）＝2x ﹣1；∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3）， b ＝f （2log 5），c ＝f （2）；∵0＜2log 3＜2＜2log 5；∴a<c<b ． v ．C vi ．D
vii ． D 解：三棱锥的直观图如图D-ABC,
viii ． B 以A 点为坐标原点，AB,AD,1AA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系,
可得1AC u u u u r =(1,1,1),1B F u u u u r =(t-1，1，-t)，可得11AC B F ×u u u u r u u u u r =0,可得①正确；由三棱锥1B A EF -的底面1A BE 面积为定值，且1CD //1BA ,可得②正确；可得 1A F u u u u r =(t ，1，-t)，平面11B CD 的一个法向量为n r
=（1，1，1），可得1cos ,A F n u u u u r r 不为定值可得③错误
ix ． C FAB V 的周长()246A B A B AF AB BF x x x x =++=++-+=+， 由抛物线2
8y x =及圆()2
2216x y -+=可得交点的横坐标为2，
∴
26B x ∈（，）
，∴
()
6812B x +∈，，故选C.
x ．C
xi ．B 结合题意可知()f x 为偶函数,且在[
)0,+∞单调递减,故
()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++可以转换为
()()2ln 33f mx x f --≥对应于[]1,3x ∈恒成立,即2ln 33mx x --≤
即02ln 6mx x ≤-≤对[]
1,3x ∈恒成立；即ln 6ln 22x x m m x x
+≥
≤且对[]1,3x ∈恒成立 令()ln x g x x =,则()[)1ln '1,x g x e x -=在上递增,在(],3e 上递减, 所以()max 1
g x e = 令()()26ln 5ln ,'0x x h x h x x x +--==<,在[]1,3上递减，所以()min
6ln3
3
h x +=. xii ． C 函数()4sin 26f x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
，令26
2
x k π
π
π-
=
+得1,23
x k k Z π
π=
+∈，即()f x 的对称轴方程为1,23
x k k Z π
π=
+∈. ∵()f x 的最小正周期为46,03T x
ππ=剟.当30k =时，可得463
x π
=， ∴()f x 在460,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦上有31条对称轴， 根据正弦函数的性质可知：函数()4sin 26f x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
与3y =的交点有31个， 且交点12,x x 关于3π对称，23,x x 关于56
π对称，……， 即1331232025292,2,,2662
3x x x x x x ππππ⎛⎫+=
⨯+=⨯+=⨯+ ⎪⎝⎭L ， 将以上各式相加得：1233031232x x x x x +++++L
25892(25889)4556
663πππππ⎛⎫
=+++=++++⨯= ⎪
⎝⎭
L L ，故选C. xiii ． 2 xiv ．
1
3
xv ． 310设AC x = ,则在ABC ∆ 中,由余弦定理有2
2442642x B B =+-=-,所以四边
形ABCD 面积211
22232210)3
22S B x B B B ϕ=⨯+=+-=-+ ,
所以当sin()1B ϕ-= 时, 四边形ABCD 面积有最大值310+xvi ．
803
π
依题意，记三棱锥P ABC -的外接球的球心为O ，半径为R ，点P 到平面ABC 的距离为h ， 则由21131643343P ABC
ABC V S h h -⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
△得43h =又PC 为球O 的直径，因此球心O 到平面ABC 的距离等于
13
23
h =
， 又正ABC △的外接圆半径为432sin 603AB r ︒==，因此2
22
32033R r ⎛=+= ⎝⎭
. 所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为28043R π
π=
.
xvii ． （1）
3π；（2）43
. 解：（1）由题设得
()13
sin cos 2ab C b c a C =+- 3sin cos a C b c a C =+- 3sin sin sin sin sin cos A C B C A C =+-， 因为B A C π=--3sin sin sin cos sin C A C A C =+ 由于sin 0C ≠所以1sin 62A π⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭ 又∵0A π<<，故3
A π= （2）在△ABC 中，由余弦定理及13b c ==，，3
A π
=
有2222cos 7a b c bc A =+-=，故7a =
由
()13sin cos 2bc A b c a C =+-，得cos 27C =，因此2
13cos22cos 114C C =-=-。

xviii ． 解：（1）证明：连接1B A ,由已知得，11////B C BC AD ，且111
2
B C AM BC ==
所以四边形11
AB C M是平行四边形，即
11
//
C M B A，
又1
C M⊄平面
11
AA B B，
1
B A⊂平面
11
AA B B，所以
1
C M//平面
11
AA B B
（2）（理科）取BC中点Q，连接AQ因为ABCD是菱形，且60
ABC
∠=o，所以ABC
∆是正三角形，所以AQ BC
⊥即AQ AD
⊥，
由于ABC是正三角形，所以，分别以AQ,AD,1
AA为x轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标系,如图()
000
A，，，()
1
001
A，，，()
1
011
D，，，)
3,0,0
Q
假设点E存在，设点E的坐标为)
30
λ
，，，11
λ
-≤≤，)
30
AEλ
=
u u u v
，，，()
1
011
AD
u u u u v
，，
=
设平面1
AD E的法向量()
n x y z
=
v
，，
则
1
n AE
n AD
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
u u u v
v
u u u u v
v即
30
x y
y z
λ
+=
+=
⎪⎩
，可取(,3,3
nλ
=-
v
平面1
ADD的法向量为)
30
AQ=
u u u v
，，
所以，
2
31
cos,
3
36
AQ n
λ
λ
==
+
u u u v v
，解得：
3
λ=±
又由于二面角1
E AD D
--大小为锐角，由图可知，点E在线段QC上，
所以
3
2
λ=，即
3
1
2
CE=-。

7
xix．
(Ⅱ)
1
1
(1)3(13)33
1132
n n n
n
b q
T
q
+
---
===
--
，
1
333
()36
22
n
k n
+-
∴+≥-对*
n N
∈恒成立，24
3n
n
k -
∴≥对*
n N
∈恒成立，----9分，
xx．【答案】（1）；（2）.
解：（1）设动点P的坐标为，由题意可得，
整理，得：，即为所求曲线E的方程；
（2）（解法一）由已知得：，，，即圆C方程为
由题意可得直线MQ，NQ的斜率存在且不为0
设直线MQ的方程为，与联立得：,所以，同理，设NQ的方程为，与联立得：, 所以因此
由于直线过坐标原点，所以点与点关于坐标原点对称
设，，所以， 又在曲线上，所以
，即 故
， 由于，所以， （解法二）由已知得：，，，即圆C 方程为 由题意可得直线MQ ，NQ 的斜率存在且不为0
设直线MQ 的方程为
，则点C 到MQ 的距离为 所以 ,于是，
设直线NQ 的方程为，同理可得： , 所以 由于直线l 过坐标原点，所以点M 与点N 关于坐标原点对称 设
，，所以， 又在曲线上，所以，即 故， 由于，所以， xxi ．（1）{|1a a ≤或21}2e a ->（2）21(,2),1e e ⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭
U . （1）2()a x a f x x x x
-'=-=，其中[1,e]x ∈. ①当1a ≤时，()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，
又∵()10f =，函数()f x 在区间[1,]e 上有唯一的零点，符合题意.
②当2a e ≥时，()0f x '≤恒成立，()f x 单调递减，
又∵()10f =，函数()f x 在区间[1,]e 上有唯一的零点，符合题意.
③当21e a <<时，1x a <…()0f x '<，()f x 单调递减，
又∵()10f =，∴(1)0f a f <=，
∴函数()f x 在区间a 有唯一的零点，
e a x <…时，()0
f x '>，()f x 单调递增，
当()0f e <时符合题意，即21022
e a --<， ∴212
e a ->时，函数()
f x 在区间]a 上有唯一的零点； ∴a 的取值范围是21|12e a a a ⎧⎫-≤>⎨⎬⎩⎭
或. （2）在[1,]e 上存在一点0x ，使得()200001122
x a f x x x +<---成立，等价于00001ln 0a x a x x x +-+<在[1,]e 上有解，即函数1()ln a g x x a x x x
=+-+在[1,]e 上的最小值小于零.
2222211(1)(1)()1a a x ax a x x a g x x x x x x
---+--'=---==， ①当1a e +≥时，即1a e ≥-时，()g x 在[1,]e 上单调递减，所以()g x 的最小值为()g e ，由()10a g e e a e +=+-<可得211e a e +>-，∵2111e e e +>--，∴211
e a e +>-； ②当11a +≤时，即0a ≤时，()g x 在[1,]e 上单调递增，所以()g x 的最小值为()1g ，由()1110g a =++<可得2a <-；
③当11a e <+<时，即01a e <<-时，
可得()g x 的最小值为()1g a +，∵0ln(1)1a <+<，∴0ln(1)a a a <+<，
1(1)1ln(1)2ln(1)211
a g a a a a a a a a a +=++
-++=+-+>++，所以()10g a +<不成立. 综上所述：可得所求a 的取值范围是
21(,2),1e e ⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭U .
xxii ．【答案】(Ⅰ) 2213022x y x y +--= ；(Ⅱ) 3。

（Ⅰ）极坐标方程cos 3πρθ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭可化为13cos sin 22
ρθθ=+ 所以213cos sin 2ρρθρθ=+， 将222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+代入上式可得221302x y x y +--=， 所以曲线2C 的直角坐标方程为221302x y x y +--=. （Ⅱ）不妨设0απ≤<，点,M N 的极坐标分别为()()12,,,ραρα，
由2cos θαρθ=⎧⎨=⎩，得到12cos ρα=． 由3cos θαπρθ=⎧⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭
⎩，得到2cos 3πρα⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 所以12MN ρρ=- 332cos cos cos sin 3323sin ππααααα⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 因0απ≤<， 所2333πππα-
≤-<， 所以5326ππ
παα-==，即时，MN 取得最大值3． xxiii ． 【答案】(1) {x |x ≥4或x ≤1}；(2) [－3，0].
解：（1）当a ＝－3时，f （x ）＝25,2
{1,2325,3
x x x x x -+≤<<-≥
当x≤2时，由f （x ）≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1；当2＜x ＜3时，f （x ）≥3无解；
当x≥3时，由f （x ）≥3得2x －5≥3，解得x≥4. 所以f （x ）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}． （2）f （x ）≤|x －4||x －4|－|x －2|≥|x ＋a|.
当x ∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|
（4－x ）－（2－x ）≥|x ＋a|－2－a≤x≤2－a ， 由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0， 故满足条件的实数a 的取值范围为[－3，0]．。