淄博市2016届高三下学期第三次模拟考试数学(文)试题 含答案

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高三阶段性诊断考试试题
文 科 数 学
本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项:
1。

答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2。

第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3。

第Ⅱ卷必须用0。

5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动,先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4。

填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}{}1,,1,2,3A a B ==，则“A B ⊆”是“3a =”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 2．若,m n 为实数，且()()2243mi n i i +-=--,则m n
=
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
3．已知函数()2x
f x =,记()()0.52
(log 3),log 5,0a f b f c f === ，则,,a b c 的大小关
系为
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
4．已知θ为锐角，且3cos 123
πθ⎛⎫+= ⎪
⎝
⎭
,则5cos 12
πθ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
A ．
62
4+ B ．12 C ．6
3
D ．63
- 5．如图，已知三棱锥P ABC -的底面是等腰直角
面
ABC
，
三角形，且2
ACB π∠=,侧面PAB ⊥底
2AB PA PB ===。

则这个三棱锥的
三视图中标注的
尺寸,,x y z 分别是
A ．
3,1,2
B ．3,1,1
C ．2,1,2
D ．2,1,1
6．在区间[11]-，上随机取一个数k ，使直线(2)y k x =+与圆2
2
1
x y +=相交的概
率为
A ．12
B ．1
3 C ．32 D ．33
7．
设实数,x y 满足约束条件1
1
40x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩
，若对于任意[]0,1b ∈，不等式
ax by b
->恒成立，则实数a 的取值范围是
A ．2(,4)3
B ．2(,)3
+∞ C ．(2,)+∞ D ．(4,)+∞
8．如图,正方形ABCD 中,M 是BC 的中点,若AC AM BD λμ=+,则λμ+=
A ．43
B ．53
C ．158
D ．2
9．已知点1
F 是抛物线2
:4C x
y
=的焦点，点2
F 为抛物线C 的对称轴与其准
线的交点，过2
F 作抛物线C 的切线,切点为A ，若点A 恰好在以1
2
F F ,为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为
A ．
622
- B ．
21
- C ．
21
+ D ．
62
2
+ 10．已知2a >，函数
()
()log 3 0()1 3 0a x
x x x f x x x a +->⎧⎪
=⎨⎛⎫-+≤⎪ ⎪⎝⎭
⎩ ，若()f x 有两个零点分别为1
x ，
2x ，则
A ．2a ∃>，1
2
0x x += B ．2a ∃>，1
2
1x x +=
C ．2a ∀>,122x x -=
D ．2a ∀>，
123x x -=
第Ⅱ卷（共100分)
二、填空题：本大题共5小题,每小
题5分，共25分．
11．右图是一个算法流程图，则输出的k 的值 ．
12．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移4
π个单位长度,所得图象关于
点
3,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则ω的最小值是 ．
13．如图所示,一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算,估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为________． 14．已知球的直径4PC =,,A B 在球面上,2AB =，45CPA CPB ∠=∠=︒ 则棱锥P ABC -的体积为 ．
15．已知圆C 的方程()2
2
11x y -+=，
B
M
C D
A
3 1 3
4 甲品牌 3 1 3 2 2 7 3 1
5 3 4 1 2 4 5 5 2 3
6 1 乙品牌 P 是椭圆22
143
x y +=上一点,过P 作圆的两条切线，切点为,A B ，则PA PB ⋅的
取值范围为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．（本题满分12分)
已知),cos sin (cos )cos sin sin 32(x x x b x x x a -=+=，，， 函数b a x f
⋅=)(．
（Ⅰ）求函数)(x f 的单调递减区间;
（Ⅱ）在ABC ∆中,内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，c
a
b A 22cos -=,
若0)(>-m A f 恒成立，求实数m 的取值范围．
17．（本题满分12分)某商场对甲、乙两种品牌的商品进行为期100天的营销活动，为调查这100天的日销售情况，随机抽取了10天的日销售量(单位：件）作为样本，样本
数据的茎叶图如图．若日销量不低于50件，
则称当日为“畅销日”． (Ⅰ)现从甲品牌日销量大于40且小于60的样本中任取两天,求这两天都是“畅销日”的概率；
(Ⅱ)用抽取的样本估计这100天的销售情况,请完成这两种品牌100天销量的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为品牌与“畅销日”天数有关．
附:()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++(其中n a b c d =+++）
18．（本题满分12分）
直棱柱111
1
ABCD A BC D -中,底面ABCD 是直角梯形，90BAD ADC ∠=∠=︒，222AB AD CD ===． (Ⅰ）求证：AC ⊥平面11
BB C C ；
（Ⅱ)在11
A B 上是否存一点P ,使得DP 与平面1
BCB 和平面1
ACB 都平行？证明你的结论．
19．（本题满分12分)
已知椭圆C 方程为1222
=+y a
x ，过右焦点斜率为1的直线到原点的距离为
22
. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设(2,0)M -，过点M 的直线与椭圆C 相交于,E F 两点，当线段EF 的中点落在由四点
1
2
1
2
(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)C C B B --构成的四边形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围．
20．(本题满分13分）
已知二次函数2
12
()3
3
f x x
x =+
．数列{}n a 的前n 项和为n S ， 点(,)n
n S *
()n N ∈在二次函数()y f x =的图象上．
(Ⅰ）求数列{}n
a 的通项公式；
（Ⅱ）设1
cos[(1)]n
n n b a a n π+=+*
()n N ∈，数列{}n b 的前n 项和为n
T , 若2
n
T tn ≥对*
n N ∈恒成立，求实数t 的取值范围； （Ⅲ）在数列{}n
a 中是否存在这样一些项:231,,,,,k
n n n n a a a a ,这些项都能够
构成以1
a 为首项，*(05,)q q q N <<∈为公比的等比数列{}k
n a *
()k N ∈？若存在，写出k
n 关于k 的表达式;若不存在，说明理由． 21．（本题满分14分）
已知函数()x
ex f x e
=．
（Ⅰ)求函数()f x 的极值;
（Ⅱ)若直线y ax b =+是函数()f x 的切线，判断a b -是否存在最大值?若存在求出最大值，若不存在说明理由．
（Ⅲ）求方程[()]
的所有解．
f f x x
淄博市2015—2016学年度高三三模考试（文科）
数学试题参考答案及评分说明 2016。

05
一、选择题： BACCB DDBCD 二、填空题:
11．
17;12．2;13．9;14．
；15．563,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．解：（Ⅰ）函数
)cos )(sin cos (sin cos sin 32)(x x x x x x b a x f -++=⋅=
22cos sin cos 2cos 22sin(2)6
x x x x x x x π
=+-=-=- (3)
分
由23k 2622k 2πππππ+≤-≤+x 可得35k 2232k 2ππππ+≤≤+x ． 6
5k 3
k π
ππ
π+
≤≤+
x ，所以函数)(x f 的单调减区间为⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡++65,3
ππππk k …6分
（Ⅱ)(法一)由 bc
a c
b
c a b A 222cos 222-+=
-= ．
可得，
2222
2a c b ab b -+=-即ab c a b
=-+222
．
解
得
,2
1
cos =
C 即
3
π
=
C …………………………………………………9分
因为,320π<<A 所以67626πππ<-<-A ,1)6
2(sin 21≤-<-πA ……10分 因为0)62(sin 2)(>--=-m A m A f π恒成立，即m A >-)6
2(sin 2π
恒成立 所
以
1-≤m ．
………………………………………
12分
（法二）由c
a
b A 22cos -=可得A C A A B
c A sin )sin(2sin sin 2sin cos 2-+=-= 即0sin cos sin 2=-A C A ，解得,21cos =C 即3π
=C …………9分 因为,320π<<A 所以67626πππ<-<-A ，1)6
2(sin 21≤-<-π
A ………10分 因为0)62(sin 2)(>--=-m A m A f π恒成立，则m A >-)6
2(sin 2π
恒成立
即
1-≤m ．
………………………………
………12分
17．解：(Ⅰ）由题意知，甲品牌日销量大于40且小于60的样本中畅销日有三天,分别记为1
2
3
,,a a a ，非畅销日有三天，分别记为
123,,b b b . ………………………1分
从中任取2天的所有结果有：
{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b , {}12,a b ，{}13,a b ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}23,a b ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}33,a b ，{}12,b b ，{}13,b b ，{}23,b b ，共15个.
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的. ………………………………6分
其中两天都是畅销日的结果有：{}1
2
,a a ，{}1
3
,a a ，{}2
3
,a a 共3个.
所以两天都是畅销日的概率
31155
P =
=. ……………………………7分
(Ⅱ)
……………………………
……………9分
()2
22005070305025 6.635801*********
K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯
………………………11分
所以，有
99%
的把握认为品牌与“畅销日”天数有
关． …………………12分
18．（Ⅰ）证明：直棱柱111
1
ABCD A BC D -中，1
BB ⊥平面ABCD ，
所以1
BB
AC ⊥． ………………2分
又90BAD ADC ∠=∠=︒,222AB AD CD === 所以2,45AC CAB =∠=︒， 2BC =
(4)
分
三角形ACB 为直角三角形，BC AC ⊥ ；
又1
BB BC B =,所以AC ⊥平面11BB C C ． (6)
分
（Ⅱ）存在点
P
，
P
为
11
A B 的中点可满足要
求． ………………………………7分 由P 为11
A B 的中点,有1
PB //AB ，且11
2
PB
AB =
； 又因为CD //AB ,12
CD AB =，所以CD //1
PB ，且1
CD PB = ;
所以
1
CDPB 是平行四边形，
DP //1CB ． (10)
分
又1
CB ⊂平面1
BCB ，1
CB ⊂平面1
ACB ，DP ⊄平面1
BCB ，DP ⊄平面1
ACB
所以DP //平面1
BCB ，DP //平面1
ACB ……………………………………12分
19．解:（Ⅰ)设右焦点为(,0)c ， 则
过
右
焦
点
斜
率
为
1
的直线方程
为:y x c =- …………………………………1分
则原点到直线的距离d
得1,c a ==
…………………3分
所
以
2
212x y +=
(4)
分
（Ⅱ)显然直线的斜率k 存在，所以可设直线的方程为(2)y k x =+。

设点,E F 的坐标分别为1
1
2
2
(,),(,),x y x y
线段EF 的中点为G 0
(,)x y ,
由22
(2)
12
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222
(12)8820k x k x k +++-= 由22
22(8)4(12)(82)0k
k k ∆=-+->
解得k << …(1) ………7分
由韦达定理得2
122
812k x x k -+=
+，
于是：12
02
x x x +==2
2
412k k -
+，0
02
2(2)12k y
k x k =+=
+ ……………8分
因为2
02
4012k x k
=-≤+，所以点G 不可能在y 轴的右边， 又直线1
2
11
,C B C B 方程分别为1,1y x y x =+=--
所以点G 在正方形内（包括边界）的充要条件为
000011y x y x ≤+⎧⎨≥--⎩ 即2
22
2
22
2411212241
1212k k k k k k k k ⎧-≤+⎪⎪++⎨⎪≥-⎪++⎩
亦即2
22210,
2210.
k k k k ⎧+-≤⎪⎨--≤⎪⎩
…………10分
解得k ≤≤
, (2)
由（1）（2）知,
直线斜率的取值范围是[ ……………
12分
20．解：(Ⅰ）由题意可知，21233
n
S n n =+*()n N ∈ 当2n ≥ 时，221121221[(1)(1)]33333
n n n n a S S n n n n -+=-=+--+-=
………………
２分
当1n = 时，1
11a
S ==适合上式
所以数列{}n
a 的通项公式为21
3
n
n a
+=
*()n N ∈． (3)
分
（Ⅱ）因为111cos[(1)](1)n n
n n n n b
a a n a a π-++=+=-,所以
12n n T b b b =++
+1122334451(1)n n n a a a a a a a a a a -+=-+-+
+-
……4分
由（Ⅰ）可知,数列{}n
a 是以1为首项，公差为23
的等差数列．所以 ① 当2n m =*
()m N ∈时，
21212233445221(1)m n m m m T T a a a a a a a a a a -+==-+-+
+-
21343522121()()()m m m a a a a a a a a a -+=-+-++-
222424
4()3
32m m a a a a a m +=-++
+=-⨯⨯2211
(812)(26)99
m m n n =-+=-+
……………………6分
②当21n m =-*
()m N ∈时，
21212221(1)m n m m m m T T T a a --+==--2211
(812)(16163)99
m m m m =-++++
2211(843)(267)99
m m n n =++=++
所以，221
(26),9
1(267)9
n n n n T n n n ⎧-+⎪⎪=⎨
⎪++⎪⎩为偶数，为奇数 (8)
分
要使2
n
T
tn ≥对*n N ∈恒成立，只要使221(26)9
n n tn -+≥（n 为正偶数)恒成立,即使16
(2)9t n
-+≥对n 为正偶数恒成立,
故实数t 的取值范围是
5
(,]9
-∞-．…………………………………………10分
（Ⅲ）由213
n n a +=知数列{}n a 中每一项都不可能是偶数．
①如存在以1
a 为首项,公比q 为2或4的数列{}k
n a
*()k N ∈，此时{}k n a 中
每一项除第一项外都是偶数，
故不存在以1
a 为首项，公比为偶数的数列
{}k n a
………………………11分
②当1q =时，显然不存在这样的数列{}k
n a ；当3q =时，若存在以1
a 为
首项，公比为3的数列{}k
n a
*
()k N ∈,则11n a =1(1)n =，
1
2133k k k n n a -+==，31
2
k k n -=即存在满足条件的数列{}k n a ，且*31
()2
k k n k N -=∈．……………………13分
21．解析:(Ⅰ）函数()f x 的导函数为：
(1)
()x
e x
f x e -'=
；…………………………1分
当()0f x '=时，得=1x ；
当()0f x '>时，得1x <，故函数()f x 在区间(,1)-∞上单调递增； 当()0f x '<时，得1x >，故函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递减； 所以函数()f x 在=1x 处取得极大值
(1)=1f ． (3)
分
（Ⅱ）设函数()f x 的切点为(,)t
et P t e ,t R ∈．
显然该点处的切线为：(1)()t t et e t y x t e e --=-，即为2
(1)t t
e t et y x e e
-=+；…4分
可得:2
(1)t
t e t a e et b e -⎧
=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
,则2(1)(1)=2t t t e t et e t t a b e e e ---+-=-；
设函数(1)
()2t
e t t F t a b e
--+=-=;………………………………………………5分
其导函数为(2)
()2t
e t t F t e
--'=，显然函数当()0F t '>时，得1t <-或2t >,故函数()F t 在区间(,1)-∞-和(2,)+∞上单调递增；当()0F t '<时,得12t -<<，故函数()F t 在区间(1,2)-上单调递减； 函数的()F t 的极大值为2
(1)0F e
-=>，()F t 的极小值为5
(2)0F e
=-<．
……………………………………………………………………7分 显然当(,2)t ∈-∞时，()(1)F t F ≤-恒成立;
而当(2,)t ∈+∞时， 215(24()t
t F t e e -++
=⨯
）， 其中0t e >，2
21515((25<02424
t -++<-++=-）），得()0F t <；…………8分
综上所述,函数的()F t 的极大值为2
(1)F e -=即为a b -的最大值．…………9分
（Ⅲ)设m 是方程[()]f f x x =的解，即[()]f f m m =;
当()f m m =时，即m
em m e =，可得0m =或1m =; (11)
分
当()f m m ≠时，设()f m n =，且n m ≠． 此时方程[()]f f m m =,得()f n m =;
所以两点(,)A m n ,(,)B n m 都在函数()f x 的图象上，且1AB
k
=-;………12分
因为函数()f x 的最大值是1，且()f m m ≠，所以()1
()1
f n m f m n =<⎧⎨
=<⎩，
因为函数()f x 在区间(,1)-∞上单调递增，两点(,)A m n ，(,)B n m 的横坐标都在区间(,1)-∞上，显然
0AB k >；
…………………………………………………13分
这与1AB
k
=-相矛盾,此种情况无
解；……………………………………………14分 综上，方程[()]f f x x =的解0x =和1x =．。