专题02 数轴上的三种动点问题(原卷版)(人教版)

专题02 数轴上的三种动点问题
数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情况多变。

那么，本专题对其中常考的三种题型（求时间、求距离或者对应点、定值问题）做出详细分析与梳理。

【知识点梳理】
1.数轴上两点间的距离
数轴上A 、B 两点表示的数为分别为a 、b ，则A 与B 间的距离AB=|a －b|；
2.数轴上点移动规律
数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）；
当数a 表示的点向右移动b 个单位长度后到达点表示的数为a+b ；向左移动b 个单位长度后到达点表示的数为a －b.
类型一、求值（速度、时间、距离）
例1．如图在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，a ，b 满足2a +＋6b -＝0；
(1)点A 表示的数为 ；点B 表示的数为 ；
(2)若点A 与点C 之间的距离表示为AC ，点B 与点C 之间的距离表示为BC ，请在数轴上找一点C ，使AC ＝2BC ，则C 点表示的数 ；
(3)若在原点O 处放一挡板，一小球甲从点A 处以1个单位／秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B 处以2个单位／秒的速度也向左运动，在碰到挡板后 （忽略球的大小，可看作一点） 以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t （秒），请分别表示出甲，乙两小球到原点的距离 （用t 表示）．
例2．如图，数轴上两个动点A ，B 起始位置所表示的数分别为8-，4，A ，B 两点各自以一定的速度在数轴上运动，已知A 点的运动速度为2个单位/秒．
(1)若A ，B 两点同时出发相向而行，正好在原点处相遇，请直接写出B 点的运动速度．
(2)若A ，B 两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒时两点相距8个单位长度？
(3)若A ，B 两点于起始位置按上述速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C 点从原点出发作同方向的运动，如果在运动过程中，始终有2CA CB =，求C 点的运动速度．
【变式训练1】如图，将一条数轴在原点O 和点B 处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A 表示-10，点B 表示10，点C 表示18，我们称点A 和点C 在数轴上相距28个长度单位．动点P 、Q 同时出发，点P 从点A 出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O 运动到点B 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q 从点C 出发，以
1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B 运动到点O 期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t 秒．问：
(1)动点P 从点A 运动至点C 需要多少时间？
(2)求P 、Q 两点相遇时，t 的值和相遇点M 所对应的数．
【变式训练2】如图，已知A 、B 、C 是数轴上三点，点B 表示的数为4，8AB =，2BC =．
(1)点A 表示的数是______，点C 表示的数是______．
(2)动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
点Q 以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点P 的运动时间为t （0t >）秒．
①用含t 的代数式表示：点P 表示的数为______，点Q 表示是数为______；
②当1t =时，点P 、Q 之间的距离为______；
③当点Q 在C B →上运动时，用含t 的代数式表示点P 、Q 之间的距离；
④当点P 、Q 到点C 的距离相等时，直接写出t 的值．
【变式训练3】如图，点A 、B 为数轴上的点（点A 在数轴的正半轴），8AB =，N 为AB 的中点，且点N 表示的数为2．
(1)点A 表示的数为______，点B 表示的数为______；
(2)点M 为数轴上一动点，点C 是AM 的中点，若1CM =，求点M 表示的数，并画出点M 的位置；
(3)点P 从点N 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q 从点B 出发，
以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P 、Q 同时出发，设运动时间为()
0t t >秒．在运动过程中，点P 、Q 之间的距离为3时，求运动时间t 的值．
类型二、定值问题
例1．已知：a 是单项式-xy 2的系数，b 是最小的正整数，c 是多项式2m 2n －m 3n 2－m －2的次数．请回答下列问题：
(1)请直接写出a 、b 、c 的值．a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ．
(2)数轴上，a 、b 、c 三个数所对应的点分别为A 、B 、C ，点A 、B 、C 同时开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒1个单位
长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB ，点A 与点C 之间的距离表示为AC ． ①t 秒钟过后，AC 的长度为 （用含t 的关系式表示）；
②请问：BC -AB 的值是否会随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．
【变式训练1】如图，已知数轴上点A 表示的数为12，B 是数轴上一点．且20AB =．动点P 从点A 出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为(0)t t >秒．
(1)写出数轴上点B 表示的数___，点P 表示的数___（用含t 的代数式表示）；
(2)动点Q 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P ，Q 同时出发，问点P 运动多少秒时追上点Q ；
(3)若M 为AP 的中点，N 为PB 的中点，点P 在运动的过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN 的长．
【变式训练2】如图，已知数轴上点A 表示的数为9，B 是数轴负方向上一点，且15AB =．动
点P 从点A 出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为(0)t t >秒．
(1)数轴上点B 表示的数为_____，点P 表示的数为________；（用含t 的代数式表示）
(2)动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P ，Q 同时出发，问t 为何值时，点P 追上点Q ？此时P 点表示的数是多少？
(3)若点M 是线段AP 的中点，点N 是线段BP 的中点．点P 在运动的过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出MN 的长度；
【变式训练3】点A 、B 在数轴上对应的数分别为a 、b ，且a 、b 满足2
130a b ++-=．
(1)如图1，求线段AB 的长；
(2)若点C 在数轴上对应的数为x ，且x 是方程12122x x +=-的根，在数轴上是否存在点P 使PA PB BC +=，若存在，求出点P 对应的数，若不存在，说明理由；
(3)如图2，点P 在B 点右侧，P A 的中点为M ，N 为PB 靠近于B 点的四等分点，当P 在B
的右侧运动时，有两个结论：①2PM BN -的值不变；②23
PM BN -的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并直接写出该值．
类型三、点之间的位置关系问题
例1．如图，已知在数轴上有A ，B 两点，点A 表示的数为8，点B 在A 点的左边，且12AB =．若
有一动点P 从数轴上点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动．设点P 的运动时间为t 秒．
(1)解决问题：
①当1t =时，写出数轴上点B ，P 所表示的数；
②若点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，问点P 运动多少秒与点Q 相距3个单位长度？
(2)探索问题：若M 为AQ 的中点，N 为BP 的中点．当点P 在A ，B 两点之间运动时，探索线段MN 与线段PQ 的数量关系（写出过程）．
例2.如图，在数轴上A 点表示的数为a ，B 点表示的数为b ，C 点表示的数为c ，b 是最大的负整数，且a ，c 满足|a +3|+（c ﹣9）2＝0．点P 从点B 出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A 后立刻返回到点C ，到达点C 后再返回到点A 并停止．
(1)a ＝ ，b ＝ ；
(2)点P 从点B 离开后，在点P 第二次到达点B 的过程中，经过x 秒钟，P A +PB +PC ＝13，求x 的值．
(3)点P 从点B 出发的同时，数轴上的动点M ，N 分别从点A 和点C 同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t 秒钟时，P 、M 、N 三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t 的值．
【变式训练1】如图，已知A 、B 、C 是数轴上三点，点O 为原点，点C 表示的数为6，BC ＝4， AB ＝12．
(1)写出数轴上点A 、B 表示的数；
(2)动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，沿数轴向右匀速运动．点P 的速度是每秒6个单位长度，点Q 的速度是每秒3个单位长度，点M 为AP 的中点，点N 在线段CQ 上，且CN ＝13
CQ，设运动时间为t（t＞0）秒．
①求数轴上点M、N表示的数（用含t的式子表示）；
②当M、B、N三个点中的其中一个点是另两点构成的线段的中点的时候，求t的值．
【变式训练2】已知，如图1：数轴上有A、B、C三点，点A表示的数为－5，点B表示的数为13，点C表示的数为－2，将一条长为9个单位长度的线段MN放在该数轴上（点M 在点N的左边）．
(1)求线段AB中点表示的数；
(2)如图2：若从点M与点A重合开始，将线段MN以0.3个单位长度/秒的速度沿数轴向右移动，经过x秒后，点N恰为线段BC的中点，求x的值；
(3)如图3：在（2）的基础上，若线段MN向右移动的同时，动点P从点C开始以0.6个单位长度/秒的速度也沿数轴向右移动，设移动的时间为t秒，当P、N、B三个点中恰有一个点为另两个点所组成线段的中点时，求t的值．
【变式训练3】已知A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，,A B的优点．
我们就称点C是()
例如：如图1，A，B为数轴上两点，点A表示的数为－1，点B表示的数为2，表示数1的
,A B的优点；表示数0的点D到点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是()
,B C的优点．
点C的距离是1，到点B的距离是2，那么点D是()
(1)在图1中，点C是(),A B的优点，也是（A，_____________）的优点；点D是(),B C的优点，也是（B，_____________）的优点；
(2)如图2，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为－2，点B所表示的数为4．设数x所表
,A B的优点，求x的值；
示的点是()
(3)如图3，A，B为数轴两点，点A所表的数为－20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁Р从点B出发，以5个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止，设点Р的运动时间为t秒，在点Р运动过程中，是否存在P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点﹖如果存在请求出t的值；如果不存在，说明理由．。