第2章 地图的数学基础习题及参考答案

第二章地图的数学基础
习题及参考答案
习题
一、判断题（对的打“√”，错的打“×”）
1.地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。

2.在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。

3.1：100万的地形图，是按经差2º，纬差3º划分。

4.1987年国家测绘局公布：启用《1985国家高程基准》取代《黄海平均海水面》，其比《黄海平均海水面》下降29毫米。

5.球面是个不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要发生断裂或褶皱。

6.长度比是一个常量，它既不随着点的位置不同而变化，也不随着方向的变化而变化。

7.长度变形没有正负之分，长度变形恒为正。

8.面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面积无变形，面积变形为正，表示投影后面积增加；面积变形为负，表示投影后面积缩小。

9.制1：100万地图，首先将地球缩小100万倍，而后将其投影到平面上，那么1：100万就是地图的主比例尺。

10.在等积圆锥投影上中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。

11.J—50—5—E表示1：5万地形图。

12.地形图通常是指比例尺小于1：100万，按照统一的数学基础，图式图例，统一的测量和编图规范要求，经过实地测绘或根据遥感资料，配合其他有关资料编绘而成的一种普通地图。

13.等积投影的面积变形接近零。

14.等角投影能保持制图区域较大面积的形状与实地相似。

15.水准面有无数个，而大地水准面只有一个。

16.地球面上点的位置是用地理坐标和高程来确定的。

17.正轴圆锥投影的各种变形都是经度的函数，与纬度无关。

18.磁坐偏角指磁子午线与坐标纵线之间的夹角。

以坐标纵线为准，磁子午线东偏为负，西偏为正。

）
19.一般情况下真方位角（A）、磁偏角（δ）、磁方位角（Am）三者之间的关系是A=Am+δ。

20.不同地点的磁偏角是不相同的，同一地点的磁偏角是相同的。

二、名词解释
1.大地体
2.水准面
3.大地水准面
4.椭球体
5.天文经度
6.天文纬度
7.大地经度
8.大地纬度
9.1956年黄海高程系
10.地图投影
11.长度比
12.长度变形
13.面积比
14.面积变形
15.角度变形
16.等变形线
17.方位投影
18.圆住投影
19.圆锥投影
20.高斯-克吕格投影
21.直线定向
22.真子午线
23.磁子午线
24.磁偏角
25.子午线收敛角
26.磁坐偏角
27.方位角
28.象限角
29.三北方向
三、问答题
1.简述地球仪上经纬网的特点。

2.地图比例尺的表示有方法哪些？
3.非几何投影的种类有哪些？
4.简述圆锥投影的分布规律。

5.方位投影的特点是什么？
6.正轴圆柱投影中，经纬线网的特点是怎样的？
7.我国按经差 6°或 3°是如何进行分带投影的？
四、计算题
1.已知图号为H-51-3，求其地理位置。

2.已知某地地理坐标为ф=31º19′30″N，λ=119º22′30″E，求它在1：25万比例尺地形图的编号。

3.已知图幅编号为H—50—6—A，求其经纬度。

4.已知某地地理坐标为北纬30度18分10秒，东经120度09分15秒，求它在1：50万比例尺地形图的编号。

5.已知图幅编号为K—51—61--A，求其经纬度。

6.已知某地的磁偏角为-5°15′，直线AB的磁方位角为134°10′，试求AB直线的真方位角。

7.已知某目标方向线OA的真象限角为24°SW，OA的磁方位角为206°30′，求其真方位角和磁偏角各为多少？并分别画出草图。

8.已知某点的真象限角为13°SW，子午线收敛角为2°，求其坐标方位角。

9.已知直线AB的磁方位角为312°30′，磁偏角为-1°45′，求其真方位角，将它换算成真象限角。

（另作图表示）
五、填空题
1.椭球体三要素:（ ）、短轴和（ ）。

2.中国的大地控制网由（ ）和高程控制网组成，控制点遍布全国各地。

3.GPS系统的三个组成部分即空间部分、（ ）和（ ）。

4.把地图上和地球仪上的经纬线网进行比较，可以发现变形表现在( )、( )和( )三个方面。

5.地球球面投影到平面时，产生的变形有长度、角度和面积三种，地图投影根据变形特征可分为：（ ）、等积投影和（ ）三种。

习题参考答案
一、判断题（对的打“√”，错的打“×”）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 √√ × × √ × × √ √ × × × √ × √ × ×× ××
二、名词解释
1.大地体：由大地水准面包围形成的形体称为大地体，是一种逼近于地球本身形状的一种形体。

可以
称大地体是对地球形体的一级逼近。

2.水准面：当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向（铅垂线）成正交，这个面叫水准面。

3.大地水准面：在众多的水准面中，有一个与静止的平均海水面相重合，并假想其穿过大陆、岛屿形
成一个闭合曲面。

4.椭球体：在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋转椭球体通常称为地球椭球体。

5.天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的两面角。

在地球上定义为本初子午面与观
测点之间的两面角。

6.天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面间的夹角。

7.大地经度 ：指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。

东经为正，西经为负。

8.大地纬度 ：指参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。

北纬为正，南纬为负。

9.1956年黄海高程系：1956年在青岛观象山设立了水准原点，其他各控制点的绝对高程均是据此推
算。

10.地图投影：在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法。

11.长度比:投影面上一微小线段ds’（变形椭圆半径）和球面上相应微小线段ds（球面上微小圆半
径，已按规定的比例缩小）之比。

12.长度变形：就是长度比（μ）与1之差，用表v示长度变形则：v=μ-1
13.面积比:投影平面上微小面积（变形椭圆面积）d F′与球面上相应的微小面积（微小圆面积）d F之
比。

14.面积变形：就是面积比与1之差，以Vp表示。

Vp=p-1
15.角度变形：投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差。

16.等变形线：就是变形值相等的各点的连线。

17.方位投影 以平面作为投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。

18.圆柱投影 以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面
上，然后将圆柱面展为平面而成。

19.圆锥投影 以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。

20.高斯-克吕格投影（等角横切椭圆柱投影）：以椭圆柱为投影面，使地球椭球体的某一经线与椭圆柱相切，然后按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。

21.直线定向:确定直线与标准方向线之间的角度关系。

22.真子午线：指向地球正北极和正南极的线或者说是真子午面与大地水准面的交线。

23.磁子午线：指向地球磁北极和磁南极的线或者说是磁子午面与大地水准面的交线。

24.磁偏角（δ）：磁子午线和真子午线之间的夹角。

（以真子午线为准，磁子午线东偏为正，西偏为负。

）
25.子午线收敛角（γ）：真子午线与坐标纵线之间的夹角。

（以真子午线为准，坐标纵线东偏为正，西偏为负。

）
26.磁坐偏角（c）：磁子午线与坐标纵线之间的夹角。

（以坐标纵线为准，磁子午线东偏为正，西偏为负。

）
27.方位角：由标准方向线北端开始顺时针方向到某一直线的夹角（0°-360°）。

28.象限角：由标准方向线北端或者南端开始到某一直线的锐角 （0°-90°）。

29.三北方向：大比例尺地形图上绘有三种指向北方的线，即真子午线、磁子午线和坐标纵线，称为三北方向线。

这三种方向线虽然都是指向北方，但这些北方实际上是不一致的，分别称为真北、磁北和坐标北，统称为三北方向。

三、问答题
1.地球仪上经纬网的特点：
a.地球仪上所有经线圈都是通过两极的大圆；长度相等；所有纬线除赤道是大圆外，其余都是小圆，并且从赤道向两极越来越小，极地成为一点。

b.经线表示南北方向；纬线表示东西方向。

c.经线和纬线是相互垂直的。

d.纬差相等的经线弧长相等；同一条纬线上经差相等的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长不等，而是从赤道向两极逐渐缩小的。

e.同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等，不同纬度带内，网格面积不等，同一经度带内，纬度越高，梯形面积越小。

由低纬向高纬逐渐缩小。

2.地图比例尺的表示有方法哪些？
①数字式比例尺②文字式比例尺③图解式比例尺④特殊比例尺
3.非几何投影的种类有哪些？
伪方位投影：在方位投影的基础上，根据某些条件改变经线形状而成，除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。

伪圆柱投影：在圆柱投影基础上，根据某些条件改变经线形状而成，无等角投影。

除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。

伪圆锥投影：在圆锥投影基础上，根据某些条件改变经线形状而成，无等角投影。

除中央经线为直线外，其余均投影为对称中央经线的曲线。

多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪开展平。

纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。

中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经线的曲线。

4.简述圆锥投影的分布规律。

圆锥投影的各种变形都是纬度φ的函数，而与经度λ无关。

各种变形都是随纬度变化而变化，对某一具体的变形性质而言，在同一条纬线上，其变形值相等。

等变形线与纬线平行，呈同心圆弧状分布。

切圆锥投影，圆锥面与球面相切的切线，即标准纬线。

距标准纬线愈远，其变形愈大，而且由标准纬线向北的变形速度比由标准纬线向南快。

割圆锥投影，圆锥表面与球面相割的两条割线，即标准纬线。

距标准纬线愈远变形愈大，标准纬线外的变形分布规律同切圆锥投影，均为正形，标准纬线之间呈负变形。

5.方位投影的特点是什么？
在投影平面上，由投影中心（平面与球面的切点）向各方向的方位角与实地相等，其等变形线是以投影中心为圆心的同心圆。

6.正轴圆柱投影中，经纬线网的特点是怎样的？
a.经线投影为平行直线，平行线间的距离和经差成正比。

b.纬线投影成为一组与经线正交的平行直线，平行线间的距离视投影条件而异。

c.和圆柱面相切的赤道弧长或相隔的两条纬线的弧长为正长无变形。

7.我国按经差 6°或 3°是如何进行分带投影的？
我国规定1∶2.5万、1∶5万、1∶10万、1∶25万、1∶50万采用6°分带投影，从0°子午线起，自西向东每隔经差6°分成一带，全球共60带。

（13~23）
我国规定1∶1万采用3°分带投影，从E1°30′子午线起，每隔经差3°分成一带，全球共120带。

（25~45）
四、计算题
1.已知图号为H-51-3，求其地理位置。

答：图幅四角点的经纬度是北纬31°40′—32°，东经121°—121°30′
2.已知某地地理坐标为ф=31º19′30″N，λ=119º22′30″E，求它在1：25万比例尺地形图的编号。

答：解题步骤：（1）求它在1：100万比例尺地形图的编号（H—50）。

列数=31º19′30″/4º=8
行数=30+119º22′30″/6º=50
（2）算出1：100万图轮廓的经纬度。

北图廓的纬度=8*4º=32ºN
南图廓的纬度=（8—1）*4º=28ºN
东图廓的经度=50*6º—180º=120ºE
西图廓的经度=120º—6º=114ºE
（3）画1：100万地形图编号的草图,并将其16等份。

（4）根据所给经纬度找1：25万地形图的编号（H—50—[4]）。

3.已知图幅编号为H—50—6—A，求其经纬度。

答：解题步骤：（1）根据图号判断该图的比例尺（1：5万）。

（2）根据图号求1：100万图轮廓的经纬度。

北图廓的纬度=8*4º=32ºN
南图廓的纬度=（8—1）*4º=28ºN
东图廓的经度=50*6º—180º=120ºE
西图廓的经度=120º—6º=114ºE
（3）画1：100万地形图的草图，并将其144等份。

再找出H—50—6及其经纬度。

（4）将1：10万地形图4等份。

再找出H—50—6—A，并求其经纬度。

4.已知某地地理坐标为北纬30度18分10秒，东经120度09分15秒，求它在1：50万比例尺地形图的编号。

答：H—51—A
5.已知图幅编号为K—51—61--A，求其经纬度。

答：图幅四角点的经纬度是北纬42°10′—42°20′，东经120°—120°15′
6.已知某地的磁偏角为-5°15′，直线AB的磁方位角为134°10′，试求AB直线的真方位角。

（128°55′）。

7.已知某目标方向线OA的真象限角为24°SW，OA的磁方位角为206°30′，求其真方位角和磁偏角各为多少？并分别画出草图。

（A=204°，δ=-2°30′，图略）
8.已知某点的真象限角为13°SW，子午线收敛角为2°，求其坐标方位角。

（α=191°）
9.已知直线AB的磁方位角为312°30′，磁偏角为-1°45′，求其真方位角，将它换算成真象限角。

（另作图表示）（A=310°45′，R=49°15′NW）
五、填空题
1.椭球体三要素:（长轴即赤道半径）、短轴即极半径和（椭球的扁率）。

2.中国的大地控制网由（平面控制网）和高程控制网组成，控制点遍布全国各地。

3.GPS系统的三个组成部分即空间部分、（地面支撑系统）和（用户设备部分）。

4.把地图上和地球仪上的经纬线网进行比较，可以发现变形表现在(长度)、(面积)和(角度)三个方面。

5.地球球面投影到平面时，产生的变形有长度、角度和面积三种，地图投影根据变形特征可分为：（等角投影）、等积投影和（任意投影）三种。