江苏省南京市六校联合体2020-2021学年高三上学期12月联考数学试题(原卷版)

2020-2021学年第一学期12月六校联合调研试题
高三数学
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在毎小题绐出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 记全集U =R ，集合{}
2
16A x
x =≥∣，集合{ln 0}B x x =≥∣，则()C U A B ⋂=（ ） A. [4,)+∞
B. (1,4]
C. [1,4)
D. (1,4)
2. 设i 为虚数单位，a ∈R ，“1a =”是“复数21
21a z i
=-
-是纯虚数”的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 已知圆C 的圆心在直线y x =上，且与y 轴相切于点()0,5，则圆C 的标准方程是（ ） A .
()()2
2
5525x y ++-= B. ()()22
5525x y -+-= C. ()()2
2
555x y -+-=
D. ()()2
2
555x y ++-=
4. 标准对数远视力表(如图)采用的是“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，
标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行"E ”的边长都是下方一行“E ”边长的1010倍，若视力4.1的视标边长为a ，则视力4.8的视标边长为（ ）
A. 0.810a
B. 0.710a
C. 0.810a -
D. 0.710a -
5. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右顶点为A ，直线3
()y x a =+与C 的一条渐近线在第一象限
相交于点P ，若PA 与x 轴垂直，则C 的离心率为（ ） A.
2
B.
3
C. 2
D. 3
6. 已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（ ）
A. sin 6()22x x
x f x -=
-
B. sin 6()22x x
x
f x -=
-
C. cos6()22x x
x
f x -=
-
D. cos6()22x x
x
f x -=
-
7. “总把新桃换旧符”（王安石）
、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ） A.
5
9
B.
49
C.
716
D.
916
8. 在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且2AB =，5PA PC ==PB
与底面ABC 所成的角的余弦值为
22
3
，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为（ ） A.
92
π B.
8989π
C. 9π
D.
272
π
二､多项选择题：本题共4小题，每小題5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若1~,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，且()2E X =，则6n =
B. 设有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位
C. 线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D. 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布(
)2
1,(0)N σσ>，则(1)0.5P ξ>=
10. 若函数()sin 2f x x =的图象向右平移
6
π
个单位得到的图象对应的函数为()g x ，则下列说法中正确的是（ ）
A. ()g x 图象关于512
x π
=
对称 B. 当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()
g x 的
值域为33,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
C. ()g x 在区间511,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减 D. 当[0,]x π∈时，方程()=0g x 有3个根
11. 如图，直角梯形ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，1
2
BC CD ==，1AB =，E 为AB 中点，以DE 为折痕把ADE 折起，使点A 到达点P 的位置，且3
2
PC =
，则（ ）
A. 平面PED ⊥平面EBCD
B. PC ED ⊥
C. 二面角P DC B --的大小为
4
π D. PC 与平面PED 所成角的正切值为
22
12. 已知抛物线()
2
20y px p =>焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，以线段AB 为直
径的圆交y 轴于M 、N 两点，设线段AB 的中点为P ，则（ ）
A. 2
34
p OA OB ⋅=-
B. 若2
4AF BF p ⋅=，则直线AB 3
C. 若抛物线上存在一点()2,E t 到焦点F 的距离等于3，则抛物线的方程为28y x =
D. 若点F 到抛物线准线的距离为2，则sin PMN ∠的最小值为
12
三､填空题：本大题共4小題，毎小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13. 在Rt ABC △中，90C =∠，4AC =，D 为AB 边上的中点，则CD AC ⋅等于______. 14. （x ﹣2y ）
（x+y ）8的展开式中，x 2y 7的系数为_____．（用数字作答） 15. 已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上递减，若不等式(ln 1)(ln 1)2(1)
f ax x f ax f -+++--≥对21,x e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围为______.
16. 已知函数()3cos 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，当[0,9]x π∈时，把函数()()1F x f x =-的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，⋯，n x ，且123n x x x x <<<
<，记数列{}n x 的前n 项和为n S ，则()12n n S x x -+=______.
四､解答题：本大题共6小題，共70分.解答应写岀文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 在①2
12AC AB b ab ⋅=-
，②tan 2sin a C c A =，
③)2224
S a b c =+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.
锐角ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C
对边，ABC 的面积为S ，已知______. （1）求角C 的大小；
（2）求sin sin A B +的取值范围.
18. 已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，2
63n n n S a a =+.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记1
n n
b S =
，若n k T >恒成立，求k 的最小值. 19. 如图，点C 是以AB 为直径的圆上的动点(异于A ，B )，已知2AB =，AC =，AE =BEDC 为矩形，平面ABC ⊥平面BEDC.设平面EAD 与平面ABC 的交线为l .
（1）证明：//l BC ；
（2）求平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.
20. 垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化､减量化处理.某市为调査产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据(),(1,2,,20)i i x y i =，其中i x 和i y 分别表示第i 个县城的人口(单位：万人)和该县年垃
圾产生总量(单位：吨)，并计算得
201
80i i x ==∑，201
4000i i y ==∑，()20
2
1
80i i x x =-=∑，()20
2
1
8000i i y y =-=∑，
()()20
1
700i
i j x
x y y =--=∑.
（1）请用相关系数说明该组数据中y 与ⅹ之间的关系可用线性回归模型进行拟合； （2）求y 关于x 的线性回归方程；
（3）某科硏机构硏发了两款垃圾处理机器，其中甲款机器每台机器售价100万元，乙款机器每台售价80万元，下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限(整年)统计表：
1年 2年 3年 4年 总计
甲款 5 20 15 10 50 乙款
15
20
10
5
50
根据以往经验可知，某县城每年可获得政府支持的垃圾处理费用为50万元，若仅考虑购买机器的成本和每台机器的使用年限（使用年限均为整年），某环保机构若考虑购买其中一款垃圾处理器，以使用年限的频率估计概率.根据以往经验估计，该机构选择购买哪一款垃圾处理机器，才能使用更长久？
参考公式：相关系数()()
n
i
i
x x y
y r --=
∑对于一组具有线性相关关系的数据(),(1,2,
,)i i x y i n =，其回归直线ˆˆˆy
bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()
()
1
2
1
ˆn
i
i
i n
i i x x y y b
x x ==--=-∑∑，ˆˆa
y bx =- 21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a
b +=>>的一条准线方程为x =
31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过点(0,2)P 的直线交椭圆C 于,A B 两点，求AOB 面积(O 为原点)的最大值.
22. 已知函数()(0)tx
f x te t =>，()ln
g x x =.
（1）若()f x 在0x =处的切线与()g x 在1x =处的切线平行，求实数t 的值； （2）设函数()()()x f x g x ϕ=-.
①当1t =时，求证：()ϕx 在定义域内有唯一极小值点0x ，且()052,2x ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
； ②若()ϕx 恰有两个零点，求实数t 的取值范围.。