高中数学 第一章 导数及其应用 1.4.1 曲边梯形面积与定积分(二)学案 新人教B版选修2-2-新

1.4.1 曲边梯形面积与定积分(二)
明目标、知重点 1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．
定积分的概念、几何意义及性质
定积分概念
定积分：设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上，用分点a＝x0<x1<x2<…x n
－1<
x n＝b，把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为Δx i＝x i＋1－x i，i＝0,1,2，…，n－1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0
时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个区间内任取一点ξi，作和式
I n＝∑
i＝0
n－1
f(ξi)Δx i.当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式I n的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作ʃb a f(x)d x，即ʃb a f(x)d x
＝lim
λ→0
∑
i＝0
n－1
f(ξi)Δx i.
这里a与b分别叫作积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，
函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．
几何
意义
如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分ʃb a f(x)d x
表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形
的面积.
基本
性质
ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x(k为常数)；
ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x；
ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b).
探究点一定积分的概念
思考1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．
答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定
形式和的极限．
思考2 怎样正确认识定积分ʃb
a f (x )d x?
答 (1)定积分ʃb
a f (x )d x 是一个数值(极限值)．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外ʃb
a f (x )d x 与积分区间[a ，
b ]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．
(2)定积分就是和的极限lim n →∞
i ＝1
n
f (ξi )·Δx ，而ʃb
a f (x )d x 只是这种极限的一种记号，读作“函数f (x )从a 到
b 的定积分”．
(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)． 例1 利用定积分的定义，计算ʃ10x 3
d x 的值． 解 令f (x )＝x 3
. (1)分割
在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[0,1]等分成n 个小区间[i －1n ，i
n
](i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1
n
.
(2)近似代替、求和
取ξi ＝i
n
(i ＝1,2，…，n )，则
ʃ10
x 3d x ≈S n ＝∑n
i ＝1
f (i
n
)·Δx ＝∑n
i ＝1
(i n )3·1
n
＝1
n 4∑n
i ＝1i 3＝1n 4·14n 2(n ＋1)2＝14(1＋1n
)2. (3)取极限
ʃ10x 3d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ 14(1＋1n )2＝14
. 反思与感悟 (1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤．
(2)从过程来看，当f (x )≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积． 跟踪训练1 用定义计算ʃ2
1(1＋x )d x .
解 (1)分割：将区间[1,2]等分成n 个小区间⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤1＋i －1n ，1＋i
n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为 Δx ＝1n
.
(2)近似代替、求和：在⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤1＋
i －1n ，1＋i n 上取点ξi ＝1＋i －1
n
(i ＝1,2，…，n )，于是f (ξi )＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n ，从而得∑i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1
n
(2＋i －1n )·1n ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2n ＋i －1n 2
＝2n ·n ＋1
n
2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]
＝2＋1n
2·
n n －1
2
＝2＋
n －1
2n
. (3)取极限：S ＝lim n →∞ ⎝
⎛⎭⎪⎫2＋n －12n ＝2＋12＝5
2
. 因此ʃ21(1＋x )d x ＝52
.
探究点二 定积分的几何意义
思考1 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么ʃb
a f (x )d x 表示什么？
答 当函数f (x )≥0时，定积分ʃb
a f (x )d x 在几何上表示由直线x ＝a ，x ＝
b (a <b )，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．
思考2 当f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≤0时，ʃb
a f (x )d x 表示的含义是什么？若
f (x )有正有负呢？
答 如果在区间[a ，b ]上，函数f (x )≤0时，那么曲边梯形位于x 轴的下方(如图①)．
由于
b －a
n
>0，f (ξi )≤0，故 f (ξi )b －a n
≤0.从而定积分ʃb
a f (x )d x ≤0，
这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即
ʃb
a f (x )d x ＝－S .
当f (x )在区间[a ，b ]上有正有负时，定积分ʃb
a f (x )d x 表示介于x 轴、函数f (x )的图象及直线x ＝a ，x ＝
b (a ≠b )之间各部分面积的代数和(在x 轴上方的取正，在x 轴下方的取负)．(如图②)，即ʃb
a f (x )d x ＝－S 1＋S 2－S 3.
例2 用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛0
1(3x ＋2)d x ；
(2)
322
sin ;xdx π
π⎰
(3)⎠⎛－33 (|x ＋1|＋|x －1|－4)d x ； (4)⎠⎛a
b
x －a b －x d x (b >a )．
解 (1)如图1阴影部分面积为2＋5×12＝7
2
， 从而⎠
⎛0
1(3x ＋2)d x ＝7
2.
(2)如图2，由于A 的面积等于B 的面积， 从而
322
sin xdx π
π⎰
＝0.
(3)令f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|－4，作出f (x )在区间[－3,3]上的图象，如图3所示，易知定积分⎠
⎛3－3f (x )d x 表示的就是图中阴影部分的面积的代数和．
∵阴影部分的面积S 1＝S 3＝1，S 2＝6，
∴⎠⎛－3
3 (|x ＋1|＋|x －1|－4)d x ＝1＋1－6＝－4. (4)令y ＝f (x )＝
x －a b －x ，则有(x －a ＋b
2
)2＋y 2
＝(
b －a
2
)2
(y ≥0)，f (x )表示以
(
a ＋b
2
，0)为圆心，半径为
b －a
2的上半圆，而这个上半圆的面积为S ＝12πr 2
＝π2(b －a 2
)2＝πb －a
2
8
，
由定积分的几何意义可知⎠⎛
a
b
x －a
b －x d x ＝
π
b －a
2
8
.
反思与感悟 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定． 跟踪训练2 利用几何意义计算下列定积分： (1)ʃ3
－39－x 2
d x ；(2)ʃ3
－1(3x ＋1)d x .
解 (1)在平面上y ＝9－x 2
表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，其面积为S ＝12
·π·32.
由定积分的几何意义知ʃ3－3
9－x 2
d x ＝92
π. (2)由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0，以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示：
ʃ3
－1(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，
∴ʃ3－1(3x ＋1)d x ＝12×(3＋13)×(3×3＋1)－12(－13＋1)×2＝
503－23＝16. 探究点三 定积分的性质
思考1 定积分的性质可作哪些推广？ 答 定积分的性质的推广
①ʃb
a [f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]d x ＝ʃb
a f 1(x )d x ±ʃb
a f 2(x )d x ±…±ʃb
a f n (x )d x ； ②ʃb
a f (x )d x ＝ʃ
c 1a f (x )
d x ＋ʃc 2c 1f (x )d x ＋…＋ʃb
c n f (x )
d x (其中n ∈N ＋)．
思考2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？ 答 奇、偶函数在区间[－a ，a ]上的定积分
①若奇函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续不断，则ʃa
－a f (x )d x ＝0. ②若偶函数y ＝g (x )的图象在[－a ，a ]上连续不断，则ʃa －a g (x )d x ＝2ʃa
0g (x )d x . 例3 计算ʃ3
－3(9－x 2
－x 3
)d x 的值． 解 如图，
由定积分的几何意义得ʃ
3
－3
9－x 2
d x ＝π×32
2＝9π
2
，
ʃ3
－3x 3
d x ＝0，由定积分性质得
ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x ＝ʃ3－39－x 2d x －ʃ3－3x 3
d x ＝
9π2
. 反思与感悟 根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算． 跟踪训练3 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝
563，求： (1)ʃ2
03x 3
d x ；(2)ʃ4
16x 2
d x ；(3)ʃ2
1(3x 2
－2x 3
)d x . 解 (1)ʃ2
03x 3
d x ＝3ʃ20x 3
d x ＝3(ʃ10x 3
d x ＋ʃ21x 3
d x ) ＝3×(14＋15
4
)＝12；
(2)ʃ4
16x 2
d x ＝6ʃ41x 2
d x ＝6(ʃ21x 2
d x ＋ʃ42x 2
d x ) ＝6×(73＋56
3
)＝126；
(3)ʃ2
1(3x 2
－2x 3
)d x ＝ʃ2
13x 2
d x －ʃ2
12x 3
d x ＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×
154 ＝7－152＝－1
2
.
1．下列结论中成立的个数是( )
①ʃ10
x 3
d x ＝∑i ＝1
n
i 3n 3·1
n ；
②ʃ10
x 3
d x ＝lim n ＋∞∑i ＝1
n i －1
3
n 3·1n
；
③ʃ10
x 3d x ＝lim n ＋∞
∑i ＝1
n
i 3n 3·1
n . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C
解析 ②③成立．
2．定积分ʃb
a f (x )d x 的大小( )
A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关
B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关
C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关
D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关 答案 A
3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子： ①ʃ1
0x d x ________ʃ10x 2
d x ； ②ʃ2
04－x 2
d x ________ʃ2
02d x . 答案 ①> ②<
4．若ʃT 0x 2
d x ＝9，则常数T 的值为________． 答案 3
解析 令f (x )＝x 2
. (1)分割
将区间[0，T ]n 等分，则Δx ＝T
n
. (2)近似代替、求和
取ξi ＝T i n
(i ＝1,2，…，n )，
S n ＝∑i ＝1
n
(T i n )2·T n ＝T 3n 3∑i ＝1n i 2＝T 3n 3(12＋22
＋…＋n 2)
＝T 3n 3·n n ＋12n ＋16＝T 36(1＋1n )(2＋1
n
)． (3)取极限
S ＝lim n →∞
T 36
×2＝T 3
3
＝9, ∴T 3
＝27，∴T ＝3. [呈重点、现规律]
1．定积分ʃb
a
f (x )d x 是一个和式∑i ＝1
n
b －a
n
f (ξi )的极限，是一个常数． 2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．
3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．。