2020版山东数学(文)大一轮复习检测：第四章 4-第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 含解析

第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
A组基础题组
1.(2018河南豫南九校联考)将函数y=sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
再向右平移个单位,则所得函数图象对应的函数解析式为( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
答案B函数y=sin的图象经伸长变换得y=sin的图象,再作平移变换得y=
sin-=sin的图象.
2.(2018湖南益阳、湘潭调研)要得到函数f(x)=sin2x,x∈R的图象,只需将函数g(x)=sin,x∈R 的图象( )
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
答案D由于把函数y=sin2x,x∈R的图象向左平移个单位,可得y=sin2=sin的图象,
故为了得到函数f(x)=sin2x,x∈R的图象,只需把g(x)=sin,x∈R的图象向右平移个单位即可,故选D.
3.(2018广西南宁模拟)如图,函数f(x)=Asin(2x+φ)的图象过点(0,),则f(x)的函数解析式为( )
A.f(x)=2sin
B.f(x)=2sin
C.f(x)=2sin
D.f(x)=2sin
答案B由题图知,A=2,又函数f(x)的图象过点(0,),所以f(0)=2sinφ=,结合|φ|<,得φ=,
所以f(x)=2sin.故选B.
4.(2018河南郑州质量预测)若将函数f(x)= sin图象上的每一个点都向左平移个单位长度,得到g(x)的图象,则函数g(x)的单调递增区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案A将函数f(x)= sin图象上的每一个点都向左平移个单位长度,得到函数g(x)=
sin=sin(2x+π)=- sin2x的图象,令+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),可得
+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),因此函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z),故选A.
5.(2018湖北天门、仙桃、潜江联考)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象如图所示,则f(1)+ f(2)+f(3)+…+f(18)的值等于( )
A. B. C.+2D.1
答案C由题图知A=2,=6-2=4,
∴T=8,则ω==.
∴f(x)=2sin.
∵函数图象过点(2,2),
∴2sin=2,∴+φ=+2kπ(k∈Z),则φ=2kπ(k∈Z),∴f(x)=2sin x.
∵f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=0,
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(18)=2f(1)+2f(2)+…+2f(8)+f(1)+f(2)=f(1)+f(2)=+2,故选C.
6.(2019重庆六校联考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<的部分图象如图所示,则f= .
答案-
解析由函数的图象可得A=,×=-,可得ω=2,又f=sin=0,所以
2×+φ=kπ(k∈Z),即φ=-+kπ(k∈Z),又0<φ<,所以φ=,故f(x)=sin,所以
f=-.
7.已知函数f(x)= sinωx+cosωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值,并在下面提供的坐标系中画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象;
(2)函数y=f(x)的图象可由函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到?
解析(1)由题意知f(x)=sin,
因为T=π,所以=π,即ω=2,
故f(x)=sin.
列表如下:
y=f(x)在[0,π]上的图象如图所示.
(2)将y=sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,再将
y=sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),得到函数f(x)=sin(x∈R)的图象.
8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象过点P,图象上与点P最近的一个最
高点是Q.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递增区间.
解析(1)依题意得A=5,
周期T=4=π,∴ω==2.
故f(x)=5sin(2x+φ),
又图象过点P,∴5sin=0,
则+φ=kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z.
又∵|φ|<,∴φ=-,∴f(x)=5sin.
(2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
B组提升题组
1.定义运算=ad-bc.将函数f(x)=的图象向左平移φ(φ>0)个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小值为( )
A. B.π C. D.π
答案D f(x)==cos x-sin x=2cos,其图象向左平移φ(φ>0)个单位得到
y=2cos的图象,由题意知y=2cos是偶函数,所以+φ=kπ(k∈Z),即
φ=kπ-,k∈Z,又φ>0,
所以φ的最小值为π.
2.(2019湖北武汉调研)函数f(x)=Acos(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,给出以下结论:
①f(x)的最小正周期为2;
②f(x)图象的一条对称轴为直线x=-;
③f(x)在,k∈Z上是减函数;
④f(x)的最大值为A.
则正确的结论为(填写序号).
答案①③
解析由题图可知,函数f(x)的最小正周期T=2×=2,故①正确;因为函数f(x)的图象过点
和,所以函数f(x)图象的对称轴为直线x=×+=+k(k∈Z),故直线x=-不是函数f(x)图象的
对称轴,故②不正确;由题图可知,当-+kT≤x≤++kT(k∈Z),即2k-≤x≤2k+ (k∈Z)时,f(x)是减函数,故③正确;若A>0,则最大值是A,若A<0,则最大值是-A,故④不正确.
3.已知函数f(x)=sinωx·cosωx+cos2ωx- (ω>0),其最小正周期为.
(1)求f(x)的表达式;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵
坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,若关于x的方程g(x)+k=0在区间上有且只有一个实数解,求实数k的取值范围.
解析(1)f(x)=sinωx·cosωx+cos2ωx-
=sin2ωx+-
=sin,
因为f(x)的最小正周期T=,
所以T===,
所以ω=2,所以f(x)=sin.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到y=sin的图象;再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象,所以g(x)=sin,
当0≤x≤时,-≤2x-≤,
易知当-≤2x-≤,即0≤x≤π时,g(x)递增,且g(x)∈,当<2x-≤,即π<x≤时,g(x)递减,且
g(x)∈.
又g(x)+k=0在区间上有且只有一个实数解,即函数y=g(x)与y=-k的图象在区间上有且只有一个交点,所以-≤-k<或-k=1,
解得-<k≤或k=-1,
所以实数k的取值范围是∪{-1}.。