重庆市北碚区2020届高三上学期第一次诊断性考试数学试题Word版含答案

重庆市北碚区2020届⾼三上学期第⼀次诊断性考试数学试题Word版含答案
北碚区⾼2020届普通⾼等学校招⽣第⼀次诊断性考试
数学
考试时间：120分钟；分数：150分
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须⽤2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为⾮选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均⽆效，不予记分。

⼀、选择题
1.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点
A. 横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，再向左平⾏移动个单位长度
B. 横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，再向右平⾏移动个单位长度
C. 横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再向右平⾏移动个单位长度
D. 横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再向左平⾏移动个单位长度
2.已知集合，，则B的⼦集个数为
A. 3
B. 4
C. 7
D. 8
3.已知⾓的终边经过点，则的值等于
A. B. C. D.
4.函数的零点个数为
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
5.若在区间上递减，则a的取值范围为
A. B. C. D.
6.若，是第三象限的⾓，则
A. B. C. 2 D.
7.已知函数为⾃然对数的底数，若在上恒成⽴，则实数
m的取值范围是
A. B. C. D.
8.⾮零向量，满⾜；，，则与夹⾓的⼤⼩为
A. B. C. D.
9.古希腊数学家欧多克索斯在深⼊研究⽐例理论时，提出了
分线段的“中末⽐”问题：将⼀线段AB分为两线段AC，
CB，使得其中较长的⼀段AC是全长AB与另⼀段CB的
⽐例中项，即满⾜后⼈把这个数称
为黄⾦分割数，把点C称为线段AB的黄⾦分割点．
在中，若点P，Q为线段BC的两个黄⾦分割点，在内任取⼀点M，则点M落在内的概率为
A. B. C. D.
10.在中，，，点D，E分别是边AB，AC上的点，且，
记，四边形BCED的⾯积分别为，，则的最⼤值为
A. B. C. D.
11.设是定义在R上的函数，其导函数为，若1'/>，，
则不等式其中e为⾃然对数的底数的解集为
A. B.
C. D.
12.已知是边长为2的正三⾓形，点P为平⾯内⼀点，且，则
的取值范围是
A. B. C. D.
⼆、填空题
13.已知实数，，是与的等⽐中项，则的最⼩值是______．
14.已知函数，关于x的⽅程有四个不同的实
数解，则的取值范围为______．
15.如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，，
，，则______．
16.已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平⾯ABC外⼀点，且平⾯
平⾯ABC，，，，则三棱锥外接球的表⾯积为______．
三、解答题
17.等⽐数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满⾜．Ⅰ求数列
的通项公式；Ⅱ设，，求数列的前n项和．
18.如图，四棱锥的底⾯是矩形，平⾯ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，
且．
求证：平⾯PEC；
求证：平⾯平⾯PCD．
19.已知直线l的参数⽅程为为参数，曲线C的极坐标⽅程为
，直线l与曲线C交于A，B两点，点，
求直线l的普通⽅程与曲线C的直⾓坐标⽅程；
求的值．
20.已知函数Ⅰ求函数的单调增区间；Ⅱ将函数的图象向
左平移个单位，再向下平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域．
21.在平⾯直⾓坐标系xOy中，已知椭圆的焦距为2，离⼼率为，
椭圆的右顶点为A．
求该椭圆的⽅程：
过点作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．
22.如图所⽰，直⾓梯形ABCD中，，，，四边形EDCF
为矩形，，平⾯平⾯ABCD．
Ⅰ求证：平⾯ABE；Ⅱ求平⾯ABE与平⾯EFB所成
锐⼆⾯⾓的余弦值；Ⅲ在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平⾯ABE所成⾓的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查三⾓函数的诱导公式和函数的图象变换规律，属于基础题．由可得解．
【解答】
解：将函数的图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍，
得到，
再向右平⾏移动个单位长度，即可得到的图象．
故选B．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了集合的⼦集个数问题，若集合有n个元素，其⼦集有个．
先求出集合B中的元素，从⽽求出其⼦集的个数．
【解答】
解：由题意可知，
集合1，，
则B的⼦集个数为：个．
故选D．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查任意⾓的三⾓函数的定义及诱导公式，属于基础题．
利⽤任意⾓的三⾓函数的定义，诱导公式，求得的值．
【解答】
解：⾓的终边经过点，
，
则．
故选C．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查函数的零点与⽅程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．由题意可得，本题即求函数的图象和函数的图象的交点个数，数形结合可得结论．
【解答】
解：函数的零点个数，
即为函数的图象和函数的图象的交点个数．
如图所⽰：
数形结合可得，函数的图象和函数的图象的交点个数为2，
所以的零点个数为2，
故选C．
5.【答案】A
【解析】解：令，则，
配⽅得，故对称轴为，如图所⽰：
由图象可知，当对称轴时，在区间上单调递减，
⼜真数，⼆次函数在上单调递减，
故只需当时，若，
则时，真数，
代⼊解得，所以a的取值范围是
故选：A．
由题意，在区间上，a的取值需令真数，且函数在区间上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．
本题考查复合函数的单调性，考查学⽣分析解决问题的能⼒，复合函数单调性遵从同增异减的原则．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查三⾓恒等变换中的倍⾓公式的灵活运⽤、同⾓的三⾓函数关系等知识以及相应的运算能⼒，属于基础题．将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的⾓与待求式中⾓的差别，注意消除它们之间的不同．
【解答】
解：由，是第三象限的⾓，
可得，
则，
故选A．
7.【答案】B
【解析】解：若在上恒成⽴，
则在恒成⽴，
令，，
，
令，解得：，
令，解得：，
故在递减，在递增，
故，
故，
故选：B．
问题转化为在恒成⽴，令，，根据函数的单调性求出m的范围即可．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应⽤以及函数恒成⽴问题，是⼀道中档题．8.【答案】A 【解析】【分析】
本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的
计算公式．
根据题意，设，，则，
结合题意分析可得为等腰直⾓三⾓形，结合向量夹⾓的定义分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，设，，则，
若，，即，且，
则为等腰直⾓三⾓形，
则与的夹⾓为，
故选：A．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了阅读能⼒及⼏何概型中的⾯积型，属中档题．
先阅读题意，理解“黄⾦分割”，再结合⼏何概型中的⾯积型可
得：，，所以
，：：：，
则在内任取⼀点M，则点M落在内的概率为，得解．
【解答】
解：设，
由点P，Q为线段BC的两个黄⾦分割点，
所以，，
所以，
：：：，
由⼏何概型中的⾯积型可得：
在内任取⼀点M，则点M落在内的概率为，故选B．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查三⾓形的⾯积计算，基本不等式的应⽤，属于中档题．
可设，，利⽤余弦定理与基本不等式求解．
【解答】
解：由题意可知，．
设，，
由余弦定理得，即，
从⽽，即当且仅当时等号成⽴．
，
的最⼤值为．
故选：C．
11.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了利⽤导数研究函数的单调性，属中档题．
构造函数，通过求导及已知不等式可得出为递增函数，再将原不等式化为可解得．
【解答】
解：令，则，
，，
，在R上为单调递增函数，
原不等式可化为，
根据的单调性得
故选D．
12.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积，辅助⾓公式，三⾓函数图像与性质，考查数形结合的数学思想，化归与转化思想，属于中档题．
根据要求画出草图，以点B为坐标原点建⽴直⾓坐标系，写出A，B，C三点的坐标；设出P的坐标，显然P在以C为圆⼼，半径为的圆上，⽤三⾓函数表⽰P点坐标，再写出
的坐标，利⽤坐标运算，借助辅助⾓公式，三⾓函数图像与性质写出范围．【解答】
解：如图，以点B为坐标原点建⽴直⾓坐标系，
故A，，
设，因为，所以，
令
则，
，
，
所以
，
因为，
所以，
即的取值范围为，
故选A．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等⽐数列的性质、指数运算性质、乘1法与基本不等式的性质，属于中档题．实数，，是与的等⽐中项，，可得再利⽤乘法与基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：实数，，是与的等⽐中项，
，
，解得，
则
，
当且仅当，时取等号．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数零点与⽅程的根，考查数形结合的思想，属于中档题．
作函数的图象，从⽽可得，推出的范围即可求解结果．
【解答】
解：作函数的图象如下，
设直线与的图象的从左到右的四个交点的横坐标分别为，
则．
结合图象可知，，
所以，
令得，或，
令得，，
所以，
所以，
故，
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量在⼏何中的应⽤，利⽤已知向量表⽰所求向量是解题的难点，考查分析问题解决问题的能⼒．通过过C作于E，⽤向量，求出与的关系，结合，即可求出的值．
【解答】
解：如图：
过C作于E，因为AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，，
所以E为OB的中点，连接OD，则，
，，
所以
⼜，
．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三棱锥的外接球的表⾯积，将空间问题转化为平⾯问题，利⽤正余弦定理是解题的关键，属于中档题．由O为外接圆的圆⼼，且平⾯平⾯ABC，过O作⾯ABC的垂线l，则垂线l⼀定在⾯PBC内，
可得球⼼⼀定在⾯PBC内，即球⼼也是外接圆的圆⼼，在中，由余弦定理、正弦定理即可得R．
【解答】
解：因为O为外接圆的圆⼼，且平⾯平⾯ABC，
过O作⾯ABC的垂线l，则垂线l⼀定在⾯PBC内，
根据球的性质，球⼼⼀定在垂线l上，
球⼼⼀定在⾯PBC内，
即球⼼也是外接圆的圆⼼，
在中，由余弦定理得，
，
由正弦定理得：，解得，
三棱锥外接球的表⾯积为，
故答案为．
17.【答案】解：Ⅰ设等⽐数列的公⽐为，
，，成等差数列，
，
，
化为：，，
解得，
⼜满⾜，
，
化为：，解得，
；Ⅱ
，，
数列的前n项和
，．
【解析】本题考查了“裂项求和”⽅法、等差数列与等⽐数列的通项公式与求和公式，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．Ⅰ设等⽐数列的公⽐为，由，，成等差数列，可得，化为：，，解得⼜满⾜，化为：，解得，可得；Ⅱ，，利⽤“裂项求和”⽅法即可得出．。