收敛半径的求法

R .
例2 求幂级数 [2 (1)n]( x 1)n 的收敛半径.
n1
分析：
lim an1 n an
lim
n
2 1 n1 2 1n
不存在。
解
幂级数 2( x 1)n 的收敛半径：
n1
lim an1 1 n an
R1 1
幂级数 (1)n( x 1)n 的收敛半径：
n1
x 2n1
lim n
2n1
x 2 n1
2n
1 x2, 2
当 1 x2 1时， 即 x 2 时
2
原级数收敛; 当 1 x2 1时，即 x 2 时，级数发散;
2
原级数的收敛区间为 ( 2, 2)。
小结：若 lim n
an1 an
存在，则
Rk 1 .
其中k>0是x相邻两项幂次差。
四、小结：幂级数收敛半径的求法
lim an1 n an
1 n1
lim n
1n
1
R2 1
所求幂级数的收敛半径 R max(R1, R2 ) 1
原幂级数收敛半径为1。
化整为零，逐个击破。
例3
求幂级数
n1
x 2 n1 2n
的收敛区间。
分析： 缺少偶次幂的项，不能直接用求
收敛半径的公式。 解 应用达朗贝尔判别法
lim un1( x) n un ( x)
收敛半径R=1.
问题： 如何求 anxn 的收敛半径？
n0
分析：
幂级数 an xn , n0
如果 lim an1存 在 ，
n an
lim
n
an1 x n1 an xn
lim an1 x n an
x,
二、收敛半径求法
定理 如果幂级数 an xn 的所有系数 an 0,
n0
且
lim an1
幂级数收敛半径的求法
一、引例
例1
求幂级数
1 n1
n1 n
xn
的收敛半径.
解
x
1
时，
幂级数变为
n1
1 n1
n
,
收敛。
由阿贝尔定理知， x 1,
绝对收敛。 1 n1 xn
n1 n
时， 发散， x 1
1
n1
xn
1
n1 n
n1 n
所以
x 1,
1 n1 xn 发散。
n1 n
1. anxn 不缺项, lim
an1
1
n0
n an
R
2. anxn 缺项, 一般项加绝对值 n0
直接用比值或根值判别法求x的
范围。
n anபைடு நூலகம்
(或
lim n
n
an
)存在，
则
(1)当 0时,R 1 ;
(2)当 0时,R ;
(3)当 时,R 0.
注意：此定理适用于 x的幂次为相邻的情形。
三、应用
xn
例1 求幂级数 n1 的n! 收敛半径.
1
解
lim an1 n an
n 1!
lim
n
1
n!
lim 1 0,
n n 1