三不定积分,四定积分及应用 共37页

(4) arctan xdx x(1 x)
2 a r c t a nx d ( a r c t a nx ) (arctan x)2C
不定积分与定积分
12
三角有理函数的积分 R (sinx ,co sx )d x
可用万能代换： tan2 xt 则 x= arctant
sinx12tt2, cosx11tt22 dx12t2dt
20π 2cosxsinxdx[sin2
π
x]02
1
解 2 . π 2 π 2c o s 2 x c o s 4 x d x π 2 π 2 c o s x s in x d x
0 π 2 c o sx s in x d x 0 π 2 c o sx s in x d x
ln xxln x 2xln 2 3xdx
ln d 3 x x 1 2 ld n x x 2 x ( ln 1 x ln 1 2 x ) C
不定积分与定积分
8
例 7. a2x2dx
解 1 a 2 x 2 d x x a ta n t a s e c t d ( a t a n t ) a2sec3tdt a 2 ( s e c tt a n t t a n 2 ts e c t d t )
1 2[sin2x]0 π 21 2[sin2x]0 π 2
1 2

1 2

1
不定积分与定积分
19
例 2.(自 测 2(7)) f(x) 1 e x,x2, x x 0 0, 求 1 3f(x2)dx.
解 1 3 f( x 2 ) d x x -2 =t 1 1 f( t) d t
移项得
a 2 x 2 d x 2 x a 2 x 2 a 2 2 l n ( x a 2 x 2 ) C （25）
不定积分与定积分
10
例8(指导P110,6) (3) sinxcosx dx a2sin2xb2cos2x
2 a2sinxco sx2 b2sinxco sxd x 2 (a2b2)a2sin 2xb2co s2x
c o s2x(c s o in s2 4x x sin 2x )d ( c o tx ) ( c o t 4 x c o t 2 x ) d ( c o tx )
1 5cot5x1 3cot3xC
不定积分与定积分
3
例 2 ( 总 习 题 四 ,P 2 7 3 ) 4 .1 x c s o in s x x d x
a 2 1 b 2a 2 s i n 2 x b 2 c o s 2 x C ( a 2 b 2 )
当a2 b2时

sinxcosx dx sinxcosx dx
a2sin2 xb2cos2 x
a sin2xcos2x
1 sin2 xC 2a
不定积分与定积分
11
解 1 x c s o in sx x d xd ( x x s s iin n x x )lnxsinxC
27.1xcsoinsxxdx

x

2sin
x 2
cos
2cos2
x 2
x 2
dx
xd(tan2 x)tan2 xdx
x t a n 2 x t a n 2 x d x t a n 2 x d x
0 1(1t2)dt0 1e tdt
113[et]10

2
1 3

e1
不定积分与定积分
20
例 3.(自 测 ,P 106 ,1 (7))已 知 f(2)1 2,f(2)0 , 0 2f(x)dx1 ,求 0 2x2f(x)dx.
解 0 2 x 2 f(x ) d x 0 2 x 2 d f(x ) [x 2f(x )]0 2 2 0 2 x f(x )d x
注:sinx
2sin2xcos
x 2

2tan2x
sec2
x 2

2t 1t2
cosx
cos2
x 2
sin2
x 2

1tan2
x 2
sec2
x 2

1t2 1t2
不定积分与定积分
13
例 9 (P 2 7 3 ,习 题 四 ,2 6 )1 s in s in x x d x
解 1 1 s in s in x x d x ( 1 1 s 1 in x ) d x
π 4 π 4 1 d s x in x 0 π 4 (1 s 1 in x 1 s 1 in x )d x

π
04
2 cos2
π
xdx2[tanx]04
2
不定积分与定积分
23
例 6.(指 导P139,28) (1)lni m [n 1n 1n 1n 4 n1n n2]
u



1
t

1 1
x

1 t2
dt
1
1 t2

lnimin1(11ni )2
1 n

01
(1
1 x)2
dx[来自11 x]10
121
1 2
不定积分与定积分
25
例 7 . ( P 3 0 3 , 习 题 5 4 ,6 ) 证 明 : x 1 1 d x x 2 1 1 x 1 d x x 2
证 x 11 dxx2x 11 du u2

lim
n
n

i1
1
1

i2 n2
1 n
0111x2dx
[arctanx]10
π 4
不定积分与定积分
24
(2 )ln i m [(n n 1 )2 (n n 2 )2 (n n n )2 ]
ln i m [n 2 (1 n n 1 )2 n 2 (1 n n 2 )2 n 2 (1 n n n )2 ]
不定积分与定积分
15
例 10(P273,习题四 ,28) esinx xcosc3oxs2xsinxdx
x d(esinx)esinx d(co 1 sx)
x e s in x e s in x d x c e o s is n x x e s in x d x
(xsecx)esinxC
1x2
不定积分与定积分
1
5
解 2. lnxdx3lnxd (1x2)2
x 1x2
x lnx dx
1x2
1x2
xlnxln (x1x2)C 1x2
注：（1）不定积分方法灵活、答案不唯一； （2）可验算：（结果）＇=被积函数。
不定积分与定积分
6
例4(指导 P92例2.7)
e 1 2

1 2e
不定积分与定积分
22
例 5 .( 指 导 P 1 3 9 ,1 5 ) 设 f(x ) 在 [ a ,a ] 上 连 续 证 明 a af(x ) d x 0 a [f(x ) f( x ) ] d x ,并 求 π 4 π 4 1 d s x in x .
证 a a f ( x ) d x 0 a f ( x ) d x 0 a f ( x ) d x
x =- t a 0f( t)d t 0 af(x )d x
0 af( x )d x0 af(x )d x
0 a[f(x)f(x)]dx
ln t a n ts in t s in tt a 1 n tc o 1 s 2 td t l n t a n ts i n t s e c t d t
ln t a n ts in t ln s e c t t a n t C
xlnxln (x1x2)C 1 x2 x
不定积分与定积分
7
例 6 ( 自 测 P 8 8 ,2 ( 1 0 ))ln d 3 x x 1 2 ld n x x
解 ld n x x 不分 可 部 积 ln x x x ln 2 1 x 1 x d x lnxx
dx ln2 x
再 分 部 ln x x ln x 2x x ln 3 2 x1 x d x
tan2xt x111 2tt2
2dt 1t2
x (t 21)2dt xt21C
xtan22x 1C
不定积分与定积分
14
解 2 1 s in s in x x d x s in 1 x ( 1 s i n s 2 ix n x )d x dc(o co s2 sx x)tan2xdx co1 sx(sec2x1)dx s e c x t a n x x C
202xdf(x)
2 [x f(x )]0 2 2 0 2f(x )d x

2
2
1 2

21
0
不定积分与定积分
21
例4.(P294例7)
lim
x0
1
cos
xe-t2dt x2
"
0 0
"
lxi m0 ddx1c2osxxe-t2dt
lxi m 0ecos22x(xsinx)
a2 x2 x 2 xa 2 x 2 a 2 2 ln (x a 2 x 2 ) C
a
不定积分与定积分
9
解 2 a 2 x 2 d x 分 部 xa 2 x 2 x 2 d x a 2 x 2
xa 2 x 2 a 2 x 2 d x a 2 d x a 2 x 2
不定积分与定积分
17
四.定积分及其应用
不定积分与定积分
18
例 1 ( 自 测 P 1 0 6 , 2 ( 2 ) ) π 2 π 2c o s 2 x c o s 4 x d x
解 1 . π 2 π 2c o s 2 x c o s 4 x d x π 2 π 2 c o s x s in x d x
三.不定积分
不定积分与定积分
1
一个定义：不定积分
两大方法： 换元积分法 分部积分法
三种类型: 代 三数 角有 有理 理函 函数 数的 的积 积分 分
简单无理函数的积分
四种化法：代三数角有有理理函函数数
简单无理函数
标准化 有理化 有理化 三角化
不定积分与定积分
2
例1. csions62xxdx （第一换元法----凑微法）
不定积分与定积分
16
例11.3dcxosx
tan2xt 3111tt22 12t2dt


2
1
t 2dt

1 arctan 2
t2C1 2arctan(1 2tan2 x)C
例 12.(1cotx)codsx 2x
(1ta1 nx)d(tanx)ta nxlnta nxC
xtan2xC
不定积分与定积分
4
例3.
ln xdx
3
(1 x2)2
解 1.(1 ln x x d 2 x )3 2 xx= (t πa2,n tπ2)lntasn etc3stec2tdt
ln ta n tc o std tln ta n td (sin t)
a 2 ( s e c t t a n t s e c 3 t d t s e c t d t )
移 项 得 s e c 3 t d t 1 2 ( s e c t t a n t l n s e c t t a n t ) C 代入原式得：
a 2 x 2 d x a 2 2 [a 2 a x 2a x ln x a a 2 x 2] C

ln(x 1
1 x2
x2)dx
ln (x 1 x 2 )d [ln (x 1 x 2 ]
2 3[ln(x1x2)]3 2C
例5. arcsin xdx x(1 x)
( (arcsinx) 1 1) 1x2x
2 a r c s inx d (a r c s inx ) (arcsin x)2C