谓词逻辑lly
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题函数P(x1, x2,…, xn)，其中x1,
x2,…, xn为个体变项或常项。 谓词演算中的合式公式：
(1) 原子谓词公式是合式公式 ； (2) 若A是合式公式，则 A也是 ；
(3) 若A和B是合式公式，则(AB),(AB)， (AB)和(A B)也是 ； (4) 如果A是合式公式，x是A中出现的个体 变项，则 (x)A和(x)A是合式公式 ； (5) 只有有限次地应用规则(1)、(2)、(3)、
所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以苏格拉底是要死的。
为了在命题演算中，反映命题的内在联系，常 常要将简单命题分解成个体词、谓词、量词等，并 对它们的形式结构及逻辑关系加以研究，总结出正 确的推理形式和规则，这就是本章谓词逻辑要研究 的内容。
§2.1 谓词逻辑命题符号化的有关概念与方法
个体词：可以独立存在的客体，既可以是抽象 的概念，也可以是具体的事物。 如：李明、自然数、 谓
中，x约束出现2次，y约束出现2次，自由出
现1次，z自由出现1次。
(3) (x)(P(x) (x)Q(x, z)(y)R(x, y))Q(x, y) ； 解：(x)Q(x, z)中x 是作用变元， 的辖域为Q(x, z)， 其中 x 约束出现，z自由出现； (y)R(x, y)中，y是 作用变元， 的辖域为R(x, y)，其中y约束出现， x自由出现； 在(x)(P(x)(x) Q(x,z)(y)R(x, y))
元
数：在谓词中所包含的个体词数。
n元谓词：含n个(n1)个体词的谓词，可用D(x1, x2,……，xn)表示。 一元谓词表性质；二元或更多元谓词表关系。 0元谓词：不含个体变项的谓词 。 思考： 0元谓词是命题吗？（个体常项，谓词常项） n元谓词如何成为命题？
例2.1. 将下列命题用0元谓词符号化
或指导元，P(x)叫做量词的作用域。 在作用域中，x的一切出现为约束出现，非
约束出现的其它变元叫自由出现变元。
例2.5. 指出下列合式公式中的指导变元，
量词的作用域及变元约束的情况：
(1) (x)(P(x)(y)R (x, y)) ；
(2) (x)(y)(P(x, y)Q(y, z))(x)P(x, y) ；
第二讲
• 重点：
一阶（谓词）逻辑
• 个体词，谓词，量词及谓词公式 • 谓词逻辑等值式与前束范式 • 谓词公式的解释 • 量词引入与消去规则 • 谓词逻辑推理证明 • 难点： 量词引入与消去规则
在命题逻辑中，命题是命题演算的基本单位，不关 心每个简单命题反映的具体内容，没有进一步研究命 题的内部结构，因而在实际应用中存在很多缺陷。
H(x，y)：x与y不是同一个人 符号化：xy(M(x) M(y) H(x, y) L(x,y))
(6) 每个人都y是缺点 对应的谓词公式： (x)(y)(M(x)(G(y)F(x,y)))
或： (x) (M(x)(y) (G(y)F(x,y)))
(2) 如果2大于3，则2大于4 ；
解：引入二元谓词：L(x, y) ––– x比y大
命题符号化： a为2 , b为3，c为4 (2) 符号化为L(a,b) L(a, c)
(3) 如果张明比李民高，李民比赵亮高， 则张明比赵亮高 ；
解：引入二元谓词：H(x, y) —— x 比 y 高
a为张明， b 为李民， c为赵亮 (3)符号化为H(a,b) H(b,c) H(a, c) （4）所有的人都要死的 （5）有的人活到百岁以上。
(4)所得到的公式才是合式公式 。 谓词合式公式即按规则(1)、(2)、(3)、(4)、 (5)由原子公式、联结词、量词及圆括号组成 的字符串，但最外层括号可以省略。
判断下列字符串是否是谓词公式：
xF(x) G(x)
(x)(P(x)(y)R (x, y))
(P(x, y)Q(y, z))(x)P(x, y)
2。
词：用来刻划个体词的性质或个体词之间 关系的。
如：(1)
2 是无理数
(性质) (关系)
(2) 小李比小赵高2厘米
简单命题总可以被分解成个体词和谓词两部分。
个体常项：指具体或特定的个体的词，用小写字母a,
b, c,……，表示。 个体变项：表示抽象的或泛指的个体的词，用x, y,
z,……，表示。（习惯: a,…与 x, …… ，)
例2.3 在谓词逻辑中将下列命题符号化
(1) 凡偶数均能被2整除
(2) 存在着偶素数
(3) 没有不犯错误的人
(4) 并非每个实数都是有理数
(5) 一切人都不一样高
(6) 每个人都有一些缺点 。
符号化方法
1. 找到所有的个体词; 2. 是否要引入特性谓词; 3. 描述个体词性质－性质谓词(一元); 描述个体词关系－关系谓词(二元); 4. 按原命题的实际意义进行刻划。
体变项符号不同的变项符号去代替，且处处代替。
换名规则与代替规则可避免有的个体变项既
可以约束出现，又可以自由出现。试对例2.6的公
式换名或代入(？) (1) (x)(P(x)(y)R (x,y)) ；
(2) (x)(y)(P(x,y)Q(y,z))(x)P(x,y) ； (3) (x)(P(x)(x)Q(x,z)(y)R(x,y))Q(x,y) ；
(1) 2是素数且是偶数 ； (2) 如果2大于3，则2大于4 ；
(3) 如果张明比李民高，李民比赵亮 高，则张明比赵亮高 ；
（4）所有的人都要死的
（5）有的人活到百岁以上。
(1) 2是素数且是偶数 ； 解：引入一元谓词：F(x) ––– x是素数 G(x) ––– x是偶数
命题符号化：a为2 (1) 符号化为F(a) G(a) (0元谓词)
(x)(y) M((x)(G(y)F(x,y)))
(x)(P(x)(x)Q(x, z)(y)R(x, y))Q(x, y)
在谓词公式中，我们还用到以下概念。 指导变元及作用域
在谓词公式中，形如(x)P(x)或(x)P(x)的
部分，叫做公式的约束部分。 量词，后面的x叫做量词的作用变元，
三、谓词公式的改写 考虑到谓词公式中，有的个体变项既
可以约束出现，又可以自由出现，为避免
这种双重性，以引起混淆，我们要将谓词
公式进一步改写，改写规则如下：
1. 换名规则（约束变元的换名）：
将量词作用域中出现的某个约束出现的个体变 项及对应的指导变项改成另一个作用域中没有出现
过的个体变项符号，公式的其余部分不变。 2. 代替规则（自由变元的代入）： 对某自由出现的个体变项用与原公式中所有个
个体域：个体变项的取值范围，又称论域。可为有限
或无限。
无特殊声明时，将宇宙间的一切事物组成的个体域称 为全总个体域
谓词常项：表示具体性质或关系的谓词，用大写英文 字母F，G，……，表示。 谓词变项：表示抽象的或泛指的性质或关系的谓词， 也用大写字母表示。 一般根据上、下文区分常项与变项。 个体变项x具有性质F：记作F(x) （F为谓词变项） 个体变项x、y具有关系L：记作L(x,y) F(x) : x 是无理数 （此处F为谓词常项） L(x, y) : x 比 y 高2厘米
(2) (x) (y) (P(x, y) Q(y, z)) (x) P(x, y)
解：(x)(y)(P(x, y)Q(y, z))，x,y是作用变元，两
个量词的作用域都是(P(x,y)Q(y,z))，其中x,
y均为约束出现，x约束出现1次，y约束出现2 次，z为自由出现1次。 在(x)P(x, y)中， x是指导变元， 的作用域为P(x, y)，其中x约 束出现1次，y自由出现1次。在整个合式公式
或x(M(x) F(x))
(4) 并非每个实数都是有理数 ； 解：设R(x)：x是实数，Q(x)：x是有理数
对应谓词公式： (x)(R(x)Q(x))
或： (x)(R(x) Q(x)) 注意：两种量词否定之间关系
(5) 一切人都不一样高 解：M(x) ： x是人, L(x，y) ： x与y一样高
解：
M(x)： x是人
(特性谓词)
F (x)： x是要死的
命题(公式)符号化为： x(M(x)F(x)) 思考： 它与xF(x)有什么区别？ “有的人活到百岁以上”如何符号化？
使用量词应注意：
1. 在不同的个体域中，命题符号化的形式可能不一样； 2. 如果事先没有给出个体域，都以全总个体域为个体域； 3. 引入特性谓词时，使用“”、“”符号化的形式不 同；？
注意：何时引入二元谓词
课堂作业
① ② ③ ④ 没有人长着绿色头发 有的北京人没去过香山 每列火车都比某些汽车快 某些汽车比所有火车慢
二元谓词符号化注意事项：
• • • 注意特性谓词的引入 两种量词对应连接词不同 何时引入二元谓词
§2.2 谓词公式及解释
一、谓词公式的概念
原子谓词公式：不出现命题联结词和量词的命
举例：将下列命题符号化： (1)
2 是无理数
(性质)
F(x) : x 是无理数, a : 2 (1)可表示为F (a) . (2) 小李比小赵高2厘米 H(x, y) : x 比 y 高2厘米 (关系)
a : 小李， b : 小赵， (2)可表示为： H(a, b)(能表示为H(b, a) ？)
注意：命题逻辑与谓词逻辑在命题符号化时不同？
(1) 凡偶数均能被2整除
解：要引入特性谓词： F(x) ： x是偶数 G(x) ： x能被2整除
符号化： x(F(x)G(x))
(2) 存在着偶素数
解：F(x) ： x是偶数 G(x) ： x是素数 符号化： x(F(x)G(x)) 注意：注意特性谓词的引入
(3) 没有不犯错误的人 解：特性谓词M(x)：x是人 F(x)：x犯错误 符号化： x(M(x) F(x))
解：(1) 不用改写 (2) 第一步换名: (x)(y)(P(x,y)Q(y,z))(u)P(u,y) ； 第二步代替:
(x)(y)(P(x,y)Q(y,z))(u)P(u, v) ； (3) 第一步换名: (x)(P(x)(u)Q(u,z)(y)R(x,y))Q(x,y)
(3) (x)(P(x)(x)Q(x, z)(y)R(x, y))Q(x, y) ；
(1) (x)(P(x)(y)R (x,y)) ；
解：(y)R(x, y)中，指导变元是y， 的作用域
为R(x, y)，其中y是约束出现，x是自由出
现的。在整个合式公式中，x是作用变元 (指导变元), 的作用域(P(x)(y)R(x, y))， x, y 都是约束出现的，x约束出现2次，y约 束出现1次。
4. 个体域和谓词的含义确定后，n元谓词→命题至少需要n 个量词； 5. 量词消除等值式：当个体域是有限集时，如D ={a1,a2,……an}则： (x)A(x)A(a1)A(a2)……A(an)， (x)A(x)A(a1)A(a2)……A(an)
6. 多个量词同时出现时，不能随意颠倒它们的顺序。 ( x)( y)P(x,y) (y)( x)P(x,y)
中，作用变元为x，的作用域为 (P(x)(x)Q(x, z)
(y)R(x, y)), 但Q(x, z)中的x不是的作用变元，
x, y均为约束出现，z自由出现；
Q(x, y)中，x, y为自由变元。
在整个公式中，x约束出现3次，自由出现 1次，y约束出现1次，自由出现1次，z自由出 现1次。
量
词 表示数量的词，分全称量词与存在量词。
：一切、所有的、任意的 ；
：存在着、有一个、至少有一个 ；
x：个体域中所有个体 ；
x：存在个体域中某个个体 ； xF(x)：个体域中所有个体具有性质 F ； xF(x)：存在着个体域中某个个体具有性质 F 。
特性谓词：在全总个体域的情况下，为了指定某 个个体变元的范围，引入特性谓词。 有了个体词，谓词，量词等概念，我们就可 以更细致地刻划命题公式。 例2.2：将命题(公式)― 所有的人都要死的”符号化
x2,…, xn为个体变项或常项。 谓词演算中的合式公式：
(1) 原子谓词公式是合式公式 ； (2) 若A是合式公式，则 A也是 ；
(3) 若A和B是合式公式，则(AB),(AB)， (AB)和(A B)也是 ； (4) 如果A是合式公式，x是A中出现的个体 变项，则 (x)A和(x)A是合式公式 ； (5) 只有有限次地应用规则(1)、(2)、(3)、
所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以苏格拉底是要死的。
为了在命题演算中，反映命题的内在联系，常 常要将简单命题分解成个体词、谓词、量词等，并 对它们的形式结构及逻辑关系加以研究，总结出正 确的推理形式和规则，这就是本章谓词逻辑要研究 的内容。
§2.1 谓词逻辑命题符号化的有关概念与方法
个体词：可以独立存在的客体，既可以是抽象 的概念，也可以是具体的事物。 如：李明、自然数、 谓
中，x约束出现2次，y约束出现2次，自由出
现1次，z自由出现1次。
(3) (x)(P(x) (x)Q(x, z)(y)R(x, y))Q(x, y) ； 解：(x)Q(x, z)中x 是作用变元， 的辖域为Q(x, z)， 其中 x 约束出现，z自由出现； (y)R(x, y)中，y是 作用变元， 的辖域为R(x, y)，其中y约束出现， x自由出现； 在(x)(P(x)(x) Q(x,z)(y)R(x, y))
元
数：在谓词中所包含的个体词数。
n元谓词：含n个(n1)个体词的谓词，可用D(x1, x2,……，xn)表示。 一元谓词表性质；二元或更多元谓词表关系。 0元谓词：不含个体变项的谓词 。 思考： 0元谓词是命题吗？（个体常项，谓词常项） n元谓词如何成为命题？
例2.1. 将下列命题用0元谓词符号化
或指导元，P(x)叫做量词的作用域。 在作用域中，x的一切出现为约束出现，非
约束出现的其它变元叫自由出现变元。
例2.5. 指出下列合式公式中的指导变元，
量词的作用域及变元约束的情况：
(1) (x)(P(x)(y)R (x, y)) ；
(2) (x)(y)(P(x, y)Q(y, z))(x)P(x, y) ；
第二讲
• 重点：
一阶（谓词）逻辑
• 个体词，谓词，量词及谓词公式 • 谓词逻辑等值式与前束范式 • 谓词公式的解释 • 量词引入与消去规则 • 谓词逻辑推理证明 • 难点： 量词引入与消去规则
在命题逻辑中，命题是命题演算的基本单位，不关 心每个简单命题反映的具体内容，没有进一步研究命 题的内部结构，因而在实际应用中存在很多缺陷。
H(x，y)：x与y不是同一个人 符号化：xy(M(x) M(y) H(x, y) L(x,y))
(6) 每个人都y是缺点 对应的谓词公式： (x)(y)(M(x)(G(y)F(x,y)))
或： (x) (M(x)(y) (G(y)F(x,y)))
(2) 如果2大于3，则2大于4 ；
解：引入二元谓词：L(x, y) ––– x比y大
命题符号化： a为2 , b为3，c为4 (2) 符号化为L(a,b) L(a, c)
(3) 如果张明比李民高，李民比赵亮高， 则张明比赵亮高 ；
解：引入二元谓词：H(x, y) —— x 比 y 高
a为张明， b 为李民， c为赵亮 (3)符号化为H(a,b) H(b,c) H(a, c) （4）所有的人都要死的 （5）有的人活到百岁以上。
(4)所得到的公式才是合式公式 。 谓词合式公式即按规则(1)、(2)、(3)、(4)、 (5)由原子公式、联结词、量词及圆括号组成 的字符串，但最外层括号可以省略。
判断下列字符串是否是谓词公式：
xF(x) G(x)
(x)(P(x)(y)R (x, y))
(P(x, y)Q(y, z))(x)P(x, y)
2。
词：用来刻划个体词的性质或个体词之间 关系的。
如：(1)
2 是无理数
(性质) (关系)
(2) 小李比小赵高2厘米
简单命题总可以被分解成个体词和谓词两部分。
个体常项：指具体或特定的个体的词，用小写字母a,
b, c,……，表示。 个体变项：表示抽象的或泛指的个体的词，用x, y,
z,……，表示。（习惯: a,…与 x, …… ，)
例2.3 在谓词逻辑中将下列命题符号化
(1) 凡偶数均能被2整除
(2) 存在着偶素数
(3) 没有不犯错误的人
(4) 并非每个实数都是有理数
(5) 一切人都不一样高
(6) 每个人都有一些缺点 。
符号化方法
1. 找到所有的个体词; 2. 是否要引入特性谓词; 3. 描述个体词性质－性质谓词(一元); 描述个体词关系－关系谓词(二元); 4. 按原命题的实际意义进行刻划。
体变项符号不同的变项符号去代替，且处处代替。
换名规则与代替规则可避免有的个体变项既
可以约束出现，又可以自由出现。试对例2.6的公
式换名或代入(？) (1) (x)(P(x)(y)R (x,y)) ；
(2) (x)(y)(P(x,y)Q(y,z))(x)P(x,y) ； (3) (x)(P(x)(x)Q(x,z)(y)R(x,y))Q(x,y) ；
(1) 2是素数且是偶数 ； (2) 如果2大于3，则2大于4 ；
(3) 如果张明比李民高，李民比赵亮 高，则张明比赵亮高 ；
（4）所有的人都要死的
（5）有的人活到百岁以上。
(1) 2是素数且是偶数 ； 解：引入一元谓词：F(x) ––– x是素数 G(x) ––– x是偶数
命题符号化：a为2 (1) 符号化为F(a) G(a) (0元谓词)
(x)(y) M((x)(G(y)F(x,y)))
(x)(P(x)(x)Q(x, z)(y)R(x, y))Q(x, y)
在谓词公式中，我们还用到以下概念。 指导变元及作用域
在谓词公式中，形如(x)P(x)或(x)P(x)的
部分，叫做公式的约束部分。 量词，后面的x叫做量词的作用变元，
三、谓词公式的改写 考虑到谓词公式中，有的个体变项既
可以约束出现，又可以自由出现，为避免
这种双重性，以引起混淆，我们要将谓词
公式进一步改写，改写规则如下：
1. 换名规则（约束变元的换名）：
将量词作用域中出现的某个约束出现的个体变 项及对应的指导变项改成另一个作用域中没有出现
过的个体变项符号，公式的其余部分不变。 2. 代替规则（自由变元的代入）： 对某自由出现的个体变项用与原公式中所有个
个体域：个体变项的取值范围，又称论域。可为有限
或无限。
无特殊声明时，将宇宙间的一切事物组成的个体域称 为全总个体域
谓词常项：表示具体性质或关系的谓词，用大写英文 字母F，G，……，表示。 谓词变项：表示抽象的或泛指的性质或关系的谓词， 也用大写字母表示。 一般根据上、下文区分常项与变项。 个体变项x具有性质F：记作F(x) （F为谓词变项） 个体变项x、y具有关系L：记作L(x,y) F(x) : x 是无理数 （此处F为谓词常项） L(x, y) : x 比 y 高2厘米
(2) (x) (y) (P(x, y) Q(y, z)) (x) P(x, y)
解：(x)(y)(P(x, y)Q(y, z))，x,y是作用变元，两
个量词的作用域都是(P(x,y)Q(y,z))，其中x,
y均为约束出现，x约束出现1次，y约束出现2 次，z为自由出现1次。 在(x)P(x, y)中， x是指导变元， 的作用域为P(x, y)，其中x约 束出现1次，y自由出现1次。在整个合式公式
或x(M(x) F(x))
(4) 并非每个实数都是有理数 ； 解：设R(x)：x是实数，Q(x)：x是有理数
对应谓词公式： (x)(R(x)Q(x))
或： (x)(R(x) Q(x)) 注意：两种量词否定之间关系
(5) 一切人都不一样高 解：M(x) ： x是人, L(x，y) ： x与y一样高
解：
M(x)： x是人
(特性谓词)
F (x)： x是要死的
命题(公式)符号化为： x(M(x)F(x)) 思考： 它与xF(x)有什么区别？ “有的人活到百岁以上”如何符号化？
使用量词应注意：
1. 在不同的个体域中，命题符号化的形式可能不一样； 2. 如果事先没有给出个体域，都以全总个体域为个体域； 3. 引入特性谓词时，使用“”、“”符号化的形式不 同；？
注意：何时引入二元谓词
课堂作业
① ② ③ ④ 没有人长着绿色头发 有的北京人没去过香山 每列火车都比某些汽车快 某些汽车比所有火车慢
二元谓词符号化注意事项：
• • • 注意特性谓词的引入 两种量词对应连接词不同 何时引入二元谓词
§2.2 谓词公式及解释
一、谓词公式的概念
原子谓词公式：不出现命题联结词和量词的命
举例：将下列命题符号化： (1)
2 是无理数
(性质)
F(x) : x 是无理数, a : 2 (1)可表示为F (a) . (2) 小李比小赵高2厘米 H(x, y) : x 比 y 高2厘米 (关系)
a : 小李， b : 小赵， (2)可表示为： H(a, b)(能表示为H(b, a) ？)
注意：命题逻辑与谓词逻辑在命题符号化时不同？
(1) 凡偶数均能被2整除
解：要引入特性谓词： F(x) ： x是偶数 G(x) ： x能被2整除
符号化： x(F(x)G(x))
(2) 存在着偶素数
解：F(x) ： x是偶数 G(x) ： x是素数 符号化： x(F(x)G(x)) 注意：注意特性谓词的引入
(3) 没有不犯错误的人 解：特性谓词M(x)：x是人 F(x)：x犯错误 符号化： x(M(x) F(x))
解：(1) 不用改写 (2) 第一步换名: (x)(y)(P(x,y)Q(y,z))(u)P(u,y) ； 第二步代替:
(x)(y)(P(x,y)Q(y,z))(u)P(u, v) ； (3) 第一步换名: (x)(P(x)(u)Q(u,z)(y)R(x,y))Q(x,y)
(3) (x)(P(x)(x)Q(x, z)(y)R(x, y))Q(x, y) ；
(1) (x)(P(x)(y)R (x,y)) ；
解：(y)R(x, y)中，指导变元是y， 的作用域
为R(x, y)，其中y是约束出现，x是自由出
现的。在整个合式公式中，x是作用变元 (指导变元), 的作用域(P(x)(y)R(x, y))， x, y 都是约束出现的，x约束出现2次，y约 束出现1次。
4. 个体域和谓词的含义确定后，n元谓词→命题至少需要n 个量词； 5. 量词消除等值式：当个体域是有限集时，如D ={a1,a2,……an}则： (x)A(x)A(a1)A(a2)……A(an)， (x)A(x)A(a1)A(a2)……A(an)
6. 多个量词同时出现时，不能随意颠倒它们的顺序。 ( x)( y)P(x,y) (y)( x)P(x,y)
中，作用变元为x，的作用域为 (P(x)(x)Q(x, z)
(y)R(x, y)), 但Q(x, z)中的x不是的作用变元，
x, y均为约束出现，z自由出现；
Q(x, y)中，x, y为自由变元。
在整个公式中，x约束出现3次，自由出现 1次，y约束出现1次，自由出现1次，z自由出 现1次。
量
词 表示数量的词，分全称量词与存在量词。
：一切、所有的、任意的 ；
：存在着、有一个、至少有一个 ；
x：个体域中所有个体 ；
x：存在个体域中某个个体 ； xF(x)：个体域中所有个体具有性质 F ； xF(x)：存在着个体域中某个个体具有性质 F 。
特性谓词：在全总个体域的情况下，为了指定某 个个体变元的范围，引入特性谓词。 有了个体词，谓词，量词等概念，我们就可 以更细致地刻划命题公式。 例2.2：将命题(公式)― 所有的人都要死的”符号化