2015年湖北省技能高考文化综合试卷数学部分(解析版)含双向细目表

2015年湖北省技能高考文化综合试卷
数学部分(90分)
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其选出.未选，错选或多选均不得分.
19. 下列三个结论中正确结论的个数为（ ） ①空集是由数0组成的集合;
②绝对值小于3的整数组成的集合用列举法可表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}; ③若a 为实数，则022=--a a 是2=a 成立的充分条件 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D
【解析】空集是不含任何元素的集合，故①错误；绝对值小于3的整数组成的集合用列举法可表示为{-2,-1,0,1,2}，故②错误；解方程022=--a a 得a=2或a=-1,所以
022=--a a 是2=a 成立的必要条件，③错误.故选D.
20. 若集合A={x ∈R |-2＜x ＜1}与B={x ∈N|0≤x ≤3}，则A∩B=( ) A.{0} B.[ 0,1) C.( -2,3] D.{0,1,2,3} 【答案】A
【解析】因为集合A={x ∈R |-2＜x ＜1}，B={x ∈N |0≤x ≤3}={0,1,2,3}，所以A∩B ={0}.故选A.
21. 下列函数在定义域内为奇函数的是（ ） A.2
1)(-=x x f B.1)(-=x x f C.2)(x x f = D.x x f 3)(=
【答案】B
【解析】A 选项，函数2
1
)(-=x x f 的定义域为（0，+∞），不关于原点对称；
B
选项，
1)(-=x x f 定义域为(-∞，0)∪（0，+∞），
11()()f x x x ---=-=-,1()f x x --=-,()()f x f x -=-,所以1)(-=x x f 为奇函数；
C 选项，2)(x x f =的定义域为R ,f(-x)=(-x)2=x 2,()()f x f x -=,所以2)(x x f =为偶函数；
D
选项，
x x f 3)(=定义域为
R ，
()3,()3x x f x f x --=-=-，
()(),()-()f x f x f x f x ≠--≠，所以x x f 3)(=为非奇非偶函数.故选B.
22. 下列三个结论中正确结论的个数为（ ）
①23)(x x f =为幂函数;
②算式)404cos(505tan 202sin -⋅⋅＜0; ③直线02045=-+y x 的横截距等于4 . A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B
【解析】一般地，形如y=x α（α∈R,α≠0）的函数叫做幂函数，∴①错误；
044cos 35tan 22sin 44cos 35tan 22sin 404cos 505tan 202sin >︒︒︒=︒︒-︒-=-⋅⋅）)（()( ，∴②错误；在直线02045=-+y x 中令y=0得x=4,∴②正确.故选B.
23. 直线023=++y x 的倾斜角是（ ） A.
6π
B. 3π
C. 3
2π D. 65π
【答案】D
【解析】直线的一般式方程023=++y x
化为斜截式为y x =，所以斜
率为-
65π.故选D. 24. 在等比数列{n a }中，若1a =2，且q =2，则4a =（ ） A.8 B.10 C.16 D.32 【答案】C
【解析】因为等比数列{n a }中，1a =2，且q =2，所以3
3
412216a a q ==⨯=.故选C.
五、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
把答案填在答题卡相应题号的横线上.
25. 计算：65
1
3
121
3
13
12
35335253⋅⋅⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⋅---- =————————.
【答案】
10
1
【解析】1131
3
1332
231111111()1()3()1233323661515--6666
352533523523535
---⨯-+-⨯--⨯----⎛⎫⋅⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅==⋅⋅ -1-11
5210
=⋅=
.
26. 函数()1log 1
3)(5.02
-+--=x x x x x f 的定义域用区间表示为——————.
【答案】（1，3]
【解析】函数()
1log 13)(5.02
-+--=
x x x x x f 的定义域需满足210,30,10x x x x -≠⎧⎪-≥⎨⎪->⎩
，
解得1<x ≤3，用区间表示为（1，3].
27. 与向量a =(3,4)垂直的单位向量的坐标为——————.
【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛53-54，
或⎪⎭
⎫ ⎝⎛-5354， 【解析】向量a =(3,4)垂直的一个向量为b=(-4,3),方向向量为
43,||55⎛⎫=- ⎪⎝⎭
b b 或43,||55⎛⎫-
=- ⎪⎝⎭
b b . 28. 若公差不为零的等差数列的第2、3、6项构成等比数列，则该等比数列的公比为
——— .
【答案】3
【解析】设等差数列的公差为d,因为公差不为零的等差数列的第2、3、6项构成等比
数列，所以2
111(2)()(5)a d a d a d +=++，解得12d a =-1(0)a ≠，所以等差数列的第2、
3、6项分别为-a 1,-3a 1,-9a 1,等比数列的公比为3.
六、解答题 （本大题共3小题，每小题12分，共36分）
应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 29. 解答下列问题
（1）设向量a =(2,m )， b =(2,1)， c =(n ,-8)，且)1520(23，
=-+c b a ,求实数m ，n 的值 ;
（2）已知向量a =(4,5)，b =(-3,1)，c =(5,3)，求向量c a -与b 的夹角θ . 【解】（1）由于a =(2,m )，b =(2,-1)，c =(n ,-8)
因此3a +2b -c =3×(2,m )+2×(2,-1)-(n ,-8)= (6,3m )+(4,-2)-(n ,-8)= (6+4-n ,3m -2+8)=(10-n ,3m +6),
又3a +2b -c =(20,15)，得⎩⎨⎧=+=-15
6320
10m n ，得m =3，n =-10.
（2）由于a =(4,5)，b =(-3,1)，c =(5,3)，
因此 a -c =(4,5)-(5,3)=(-1,2)，得c a -=5，b =10，
b c a ⋅-)(=(-1)×(-3)+2×1=5，
得22
2
11055cos =
=⋅=
θ，故4πθ=或 45. 30. 解答下列问题
（1）求 405tan 330cos 240sin 23⋅-的值； （2）已知53)2sin(=-απ，且角⎪⎭
⎫
⎝⎛∈ππα223，，求)2cos()(tan )3sin(2
απαππα-+++-的值.
【解】（1）
405tan 330cos 240sin 23⋅-=)45360tan()30360cos()60180(sin 23
+⋅--+
= 45tan 30cos 60sin 23⋅--=1232323
⨯-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=435-. （2） 由于53)2sin(=-απ，得5
3
sin -=α ， 又)223(ππ
α，∈， 得5
4sin 1cos 2=-=αα， 因此
)2cos()(tan )3sin(2απαππα-+++-=αααcos tan sin 2+=αα
αcos sin cos 2+=545
3542
+
-⎪⎭⎫
⎝⎛=154-. 31. 解答下列问题
（1）求与直线1l ：0524=+-y x 平行，且纵截距为-2的直线2l 的一般式方程； （2）已知点A (2,5)与B (a ,b )（a ,b 为实数），且线段AB 的中点为C (1,1)，求点B 的坐标及以线段AB 为直径的圆的标准方程.
【解】（1）直线1l ：0524=+-y x 的斜率为21=k ， 因为直线2l 与直线1l 平行，得直线2l 的斜率212==k k ， 又直线2l 的纵截距为-2，所以直线2l 的斜截式方程为22-=x y ， 故直线2l 的一般方程为022=--y x .
（2）依题意知⎪⎩⎪⎨
⎧=+-=+12
51
22b a
，得4-=a ，3-=b ，即点B 的坐标是(-4,-3)，
又所求的圆以线段AB 为直径，得所求圆的圆心坐标为C (-1,1)， 半径为5)15()12(22=-++=
r ，故所求圆的标准方程为25)1()1(2
2=-++y x .
双向细目表。