高考数学大一轮复习 第十一章 推理与证明、算法、复数 第3节 算法与程序框图学案 文 新人教A版

第3节算法与程序框图
最新考纲 1.了解算法的含义，了解算法的思想；2.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环；3.了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义；4.了解流程图、结构图及其在实际中的应用
.
知识梳理
1.算法
(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.
(2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.
2.程序框图
定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.
3.三种基本逻辑结构
名称
内容
顺序结构条件结构循环结构
定义由若干个按先后顺序执
行的步骤组成，这是任
何一个算法都离不开的
基本结构
算法的流程根据条件
是否成立而选择执行
不同的流向的结构形
式
从某处开始，按照一定的
条件反复执行某些步骤的
情况，反复执行的步骤称
为循环体
程序框图
4.基本算法语句
(1)输入、输出、赋值语句的格式与功能
语句一般格式功能
(2)条件语句的格式
①IF－THEN格式
IF 条件THEN
语句体
END IF
②IF－THEN－ELSE格式
IF 条件THEN
语句体1
ELSE
语句体2
END IF
(3)循环语句的格式
①WHILE语句
WHILE 条件
循环体
WEND
②UNTIL语句
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
5.流程图与结构图
(1)由一些图形符号和文字说明构成的图示称为流程图.
(2)描述系统结构的图示称为结构图，一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成.
[常用结论与微点提醒]
1.赋值号左边只能是变量(不是表达式)，在一个赋值语句中只能给一个变量赋值.
2.直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”，两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)程序框图中的图形符号可以由个人来确定.( )
(2)一个程序框图一定包含顺序结构，但不一定包含条件结构和循环结构.( ) (3)“当型”循环与“直到型”循环退出循环的条件不同.( ) (4)在算法语句中，X ＝X ＋1是错误的.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.(2017·天津卷)阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 输入N ＝19，
第一次循环，19不能被3整除，N ＝19－1＝18，18>3； 第二次循环，18能被3整除，N ＝18
3
＝6，6>3；
第三次循环，6能被3整除，N ＝6
3＝2，2<3，满足循环条件，退出循环，输出N ＝2.
答案 C
3.(2017·山东卷)执行下面的程序框图，当输入的x 值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为( )
A.x>3?
B.x>4?
C.x≤4?
D.x≤5?
解析输入x＝4，若满足条件，则y＝4＋2＝6，不符合题意；若不满足条件，则y＝log24＝2，符合题意，结合选项可知应填x>4.
答案 B
4.(2017·广州联考)下列赋值能使y的值为4的是( )
A.y－2＝6
B.2*3－2＝y
C.4＝y
D.y＝2*3－2
解析赋值时把“＝”右边的值赋给左边的变量.
答案 D
5.(必修3P20A1改编)根据给出的程序框图，计算f(－1)＋f(2)＝________.
解析由程序框图，f(－1)＝－4，f(2)＝22＝4.
∴f(－1)＋f(2)＝－4＋4＝0.
答案0
考点一顺序结构与条件结构
【例1】 (1)阅读如图所示程序框图.若输入x为9，则输出的y的值为( )
A.8
B.3
C.2
D.1
(2)如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝( )
A.0
B.2
C.4
D.14
解析(1)由题意可得a＝92－1＝80，b＝80÷10＝8，y＝log28＝3.
(2)由a＝14，b＝18，a<b，则b＝18－14＝4；由a>b，则a＝14－4＝10；由a>b，则a＝10－4＝6；由a>b，则a＝6－4＝2；由a<b，则b＝4－2＝2；由a＝b＝2，则输出a＝2.
答案(1)B (2)B
规律方法应用顺序结构与条件结构的注意点
(1)顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的.
(2)条件结构：利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一程序框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足. 【训练1】 (1)阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b，c的值分别是21，32，75，则输出的a，b，c分别是( )
A.75，21，32
B.21，32，75
C.32，21，75
D.75，32，21
(2)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为________.
解析 (1)当a ＝21，b ＝32，c ＝75时，依次执行程序框图中的各个步骤：x ＝21，a ＝75，c ＝32，b ＝21，所以a ，b ，c 的值依次为75，21，32.
(2)当条件x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1不成立时输出S 的值为1；当条件x ≥0，
y ≥0，x ＋y ≤1成立时S ＝2x ＋y ，下面用线性规划的方法求此时S 的最大值.作出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1
表示的平面区域如图中阴影部分(含边
界)，由图可知当直线S ＝2x ＋y 经过点M (1，0)时S 最大，其最大值为2×1＋0＝2，故输出
S 的最大值为2.
答案 (1)A (2)2
考点二 循环结构(多维探究) 命题角度1 由程序框图求输出结果
【例2－1】 (2016·全国Ⅰ卷)执行右边的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )
A.y ＝2x
B.y ＝3x
C.y ＝4x
D.y ＝5x
解析 输入x ＝0，y ＝1，n ＝1，
运行第一次，x ＝0，y ＝1，不满足x 2
＋y 2
≥36； 运行第二次，x ＝12，y ＝2，不满足x 2＋y 2
≥36；
运行第三次，x ＝32，y ＝6，满足x 2＋y 2
≥36，
输出x ＝3
2
，y ＝6.
由于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，6在直线y ＝4x 上，则x ，y 的值满足y ＝4x . 答案 C
命题角度2 完善程序框图
【例2－2】 (2017·全国Ⅰ卷)如图所示程序框图是为了求出满足3n
－2n
>1 000的最小偶数
n ，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入( )
A.A >1 000？和n ＝n ＋1
B.A >1 000？和n ＝n ＋2
C.A ≤1 000？和n ＝n ＋1
D.A ≤1 000？和n ＝n ＋2
解析 因为题目要求的是“满足3n
－2n
>1 000的最小偶数n ”，所以n 的叠加值为2，所以▭内填入“n ＝n ＋2”.由程序框图知，当◇内的条件不满足时，输出n ，所以◇内填入“A ≤1
000？”.
答案 D
命题角度3 辨析程序框图的功能
【例2－3】阅读如图所示的程序框图，该算法的功能是( )
A.计算(1＋20)＋(2＋21)＋(3＋22)＋…＋(n＋1＋2n)的值
B.计算(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)的值
C.计算(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)的值
D.计算[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋(20＋21＋22＋…＋2n)的值
解析初始值k＝1，S＝0，第1次进入循环体时，S＝1＋20，k＝2；第2次进入循环体时，S＝1＋20＋2＋21，k＝3；第3次进入循环体时，S＝1＋20＋2＋21＋3＋22，k＝4；…；给定正整数n，当k＝n时，最后一次进入循环体，则有S＝1＋20＋2＋21＋…＋n＋2n－1，k＝n＋1，终止循环体，输出S＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1).
答案 C
规律方法与循环结构有关问题的常见类型及解题策略
(1)已知程序框图，求输出的结果，可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果.
(2)完善程序框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式.
(3)对于辨析程序框图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断.
【训练2】(1)(2017·全国Ⅲ卷)执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
(2)(2018·郑州调研)如图，程序输出的结果S ＝132，则判断框中应填( )
A.i ≥10?
B.i ≥11?
C.i ≤11?
D.i ≥12?
解析 (1)已知t ＝1，M ＝100，S ＝0，进入循环：
第一次进入循环：S ＝0＋100＝100>91，M ＝－100
10＝－10，t ＝t ＋1＝2<N 成立，继续循环；
第二次进入循环：S ＝100－10＝90<91，M ＝－－10
10＝1，t ＝2＋1＝3≤N 不成立，结束循环，
所以2≤N <4，所以输入N 的最小值为2.
(2)由题意，S 表示从12开始的逐渐减小的若干个连续整数的乘积，由于12×11＝132，故此循环体需要执行两次，∴每次执行后i 的值依次为11，10，由于i 的值为10时，就应该结束循环，再考察四个选项，B 符合题意. 答案 (1)D (2)B 考点三 基本算法语句
【例3】 (2017·宜春模拟)如下是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序，若x 依次
取数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
n 2
＋4n (n ∈N *)的项，则所得y 值的最小值为( )
A.4
B.9
C.16
D.20
解析 由条件语句知，y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
，x <5，
5x ，x ≥5.
又n 2＋4n ＝n ＋4
n
≥4(当且仅当n ＝2时等号成立)，
所以当x ＝4时，y 有最小值42
＝16. 答案 C
规律方法 1.本题主要考查条件语句、输入与输出语句，要注意赋值语句一般格式中的“＝”不同于等式中的“＝”，其实质是计算“＝”右边表达式的值，并将该值赋给“＝”左边的变量.
2.解决此类问题关键要理解各语句的含义，以及基本算法语句与算法结构的对应关系. 【训练3】 按照如图程序运行，则输出k 的值是________.
解析 第一次循环，x ＝7，k ＝1； 第二次循环，x ＝15，k ＝2； 第三次循环，x ＝31，k ＝3； 终止循环，输出k 的值是3. 答案 3
基础巩固题组 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1.(2018·山西晋城一中、临汾一中等五校联考)执行如图所示的程序框图，则输出的x 等于( )
A.16
B.8
C.4
D.2
解析 执行一次循环体y ＝－2，x ＝2；执行两次循环体y ＝3，x ＝4；执行三次循环体y ＝1，
x ＝8，此时输出x ＝8.
答案 B
2.(2018·宜春二模)若开始输入x 的值为3，则输出的x 的值是( )
A.6
B.21
C.156
D.231
解析 输入x ＝3，得x ＝
x （x ＋1）
2
＝6<100，进入循环，
x ＝x （x ＋1）2＝21<100，进入循环，
x ＝x （x ＋1）2
＝231>100，停止循环，
则最后输出的x 的值是231. 答案 D
3.(2018·湖南长郡中学、衡阳八中等十三校联考)如图给出的是计算1＋13＋15＋…＋
12 017的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )
A.i ≤1 009
B.i >1 009
C.i ≤1 010
D.i >1 010
解析 开始i ＝1，S ＝0；第1次循环：S ＝0＋1，i ＝2； 第2次循环：S ＝1＋1
3，i ＝3；
第3次循环：S ＝1＋13＋1
5，i ＝4；
……
第1 009次循环：S ＝1＋13＋15＋…＋1
2 017，i ＝1 010，退出循环，其中判断框内应填入的
条件是i ≤1 009. 答案 A
4.(2018·莆田质检)我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a ，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为( )
A.121
B.81
C.74
D.49
解析 a ＝1，S ＝0，n ＝1，第一次循环：S ＝1，n ＝2，a ＝8； 第二次循环：S ＝9，n ＝3，a ＝16； 第三次循环：S ＝25，n ＝4，a ＝24； 第四次循环：S ＝49，n ＝5，a ＝32；
第五次循环：S ＝81，n ＝6，a ＝40>32，输出S ＝81.
答案 B
5.(2017·全国Ⅱ卷)执行下面的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝( )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析阅读程序框图，初始化数值a＝－1，K＝1，S＝0，
循环结果执行如下：
第一次：S＝0－1＝－1，a＝1，K＝2；
第二次：S＝－1＋2＝1，a＝－1，K＝3；
第三次：S＝1－3＝－2，a＝1，K＝4；
第四次：S＝－2＋4＝2，a＝－1，K＝5；
第五次：S＝2－5＝－3，a＝1，K＝6；
第六次：S＝－3＋6＝3，a＝－1，K＝7；
结束循环，输出S＝3.
答案 B
6.根据如图算法语句，当输入x为60时，输出y的值为( )
A.25
B.30
C.31
D.61
解析通过阅读理解知，算法语句是一个分段函数
y ＝f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧0.5x ，x ≤50，
25＋0.6（x －50），x ＞50，
∴y ＝f (60)＝25＋0.6×(60－50)＝31. 答案 C
7.(2018·长春质检)运行如图所示的程序框图，则输出结果为( )
A.1 008
B.1 009
C.2 016
D.2 017
解析 由已知，得S ＝0－1＋2－3＋4＋…－2 015＋2 016＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 015＋2 016)＝1 008. 答案 A
8.(2018·石家庄质检)执行下面的程序框图，则输出K 的值为( )
A.98
B.99
C.100
D.101
解析 由题意，知S ＝lg 21＋lg 32＋…＋lg K ＋1K ＝lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫21×3
2×…×K ＋1K ＝lg(K ＋1)，令lg(K
＋1)≥2，得K ＋1≥102
，即K ≥99，而当K ＝99时，S ＝2，故输出K 的值为99. 答案 B
二、填空题
9.执行下面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的y 的值是________.
解析 当x ＝1时，1<2，则x ＝1＋1＝2；当x ＝2时，不满足x <2，则y ＝3×22
＋1＝13. 答案 13
10.(2018·广州五校联考)如图所示的程序框图，其输出结果为________.
解析 由程序框图，得S ＝11×2＋12×3＋…＋16×7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫16－17＝1－17＝67
， 故输出的结果为6
7.
答案 67
11.已知实数x ∈[2，30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率为________.
解析 由程序框图可知，经过3次循环跳出，设输入的初始值为x ＝x 0，则输出的x ＝2[2(2x 0＋1)＋1]＋1≥103，所以8x 0≥96，即x 0≥12，故输出的x 不小于103的概率为P ＝30－1230－2＝
1828＝914. 答案
914
12.(2018·资阳诊断)MOD(m ，n )表示m 除以n 的余数，例如MOD(8，3)＝2.如图是某个算法的程序框图，若输入m 的值为48，则输出i 的值为________.
解析 由程序框图可知，该程序框图计算输入值m 除去自身的约数的个数.48的非自身的约数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，共9个，易知输出i 的值为9. 答案 9
能力提升题组 (建议用时：15分钟)
13.(2017·山东卷)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为( )
A.0，0
B.1，1
C.0，1
D.1，0
解析第一次输入x的值为7，
流程如下：b2＝22＜7，又7不能被2整除，所以b＝3，此时b2＝9>7＝x，所以终止循环，a ＝1，则输出a＝1；
第二次输入x的值为9，流程如下：b2＝22＜9，又9不能被2整除，所以b＝3，此时b2＝9＞x＝9不成立，又9能被3整除，所以终止循环，a＝0，所以输出a＝0.
答案 D
14.如图(1)是某县参加2017年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10(如A2表示身高(单位：cm)在[150，155)内的学生人数).图(2)是统计图(1)中身高在一定范围内学生人数的一个程序框图.现要统计身高在160～180 cm(含160 cm，不含180 cm)的学生人数，则在流程图中的判断框内应填写( )
A.i<6?
B.i<7?
C.i <8?
D.i <9?
解析 统计身高在160～180 cm 的学生人数，则求A 4＋A 5＋A 6＋A 7的值.当4≤i ≤7时，符合要求. 答案 C
15.执行如图所示的程序框图，如果输入的t ＝50，则输出的n ＝________.
解析 第一次运行后S ＝2，a ＝3，n ＝1； 第二次运行后S ＝5，a ＝5，n ＝2； 第三次运行后S ＝10，a ＝9，n ＝3； 第四次运行后S ＝19，a ＝17，n ＝4； 第五次运行后S ＝36，a ＝33，n ＝5； 第六次运行后S ＝69，a ＝65，n ＝6； 此时不满足S <t ，退出循环，输出n ＝6. 答案 6
16.关于函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧－x ，1<x ≤4，cos x ，－1≤x ≤1的程序框图如图所示，现输入区间[a ，b ]，则输出
的区间是________.
解析由程序框图的第一个判断条件为f(x)>0，当f(x)＝cos x，x∈[－1，1]时满足.然后进入第二个判断框，需要解不等式f′(x)＝－sin x≤0，即0≤x≤1.故输出区间为[0，1]. 答案[0，1]。