全国近年高考数学一轮复习坐标系与参数方程第1讲坐标系增分练(2021年整理)

（全国版）2019版高考数学一轮复习坐标系与参数方程第1讲坐标系增分练
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第1讲坐标系
板块三模拟演练·提能增分
［基础能力达标]
1．［2018·广东珠海模拟]在极坐标系中,圆C的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cosθ＋sinθ)－6.若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1)求圆C的参数方程；
(2)在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上一动点,试求x＋y的最大值,并求出此时点P 的直角坐标．
解(1)因为ρ2＝4ρ(cosθ＋sinθ)－6,
所以x2＋y2＝4x＋4y－6，
所以x2＋y2－4x－4y＋6＝0,
整理得(x－2)2＋(y－2）2＝2。

所以圆C的参数方程为错误!（θ为参数）．
（2）由(1）可得x＋y＝4＋2（sinθ＋cosθ）
＝4＋2sin错误!.
当θ＝π
4
，即点P的直角坐标为(3，3）时，x＋y取得最大值，其值为6。

2．[2018·宁波模拟]已知曲线C1的参数方程为错误!(t为参数)，以坐标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ。

(1）把C1的参数方程化为极坐标方程;
（2)求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ〈2π）．
解(1）将{x＝4＋5cos t，，y＝5＋5sin t消去参数t，
化为普通方程（x－4）2＋（y－5）2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0。

将{x＝ρcosθ，，y＝ρsinθ代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0。

所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.
（2）C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.
由错误!
解得错误!或错误!
所以C1与C2交点的极坐标分别为错误!，错误!。

3．［2018·南通模拟]在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为错误!（φ为参数）．以O
为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1）求圆C的普通方程；
(2)直线l的极坐标方程是2ρsin错误!＝5错误!，射线OM：θ＝错误!与圆C的交点为O，P，
与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
解(1)因为圆C的参数方程为错误!（φ为参数)，所以圆心C的坐标为(0，2），半径为2,圆C的普通方程为x2＋（y－2）2＝4。

（2）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋（y－2）2＝4，得圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ.
设P(ρ1,θ1)，则由错误!解得ρ1＝2，θ1＝错误!.
设Q(ρ2，θ2)，则由错误!
解得ρ2＝5，θ2＝错误!.所以|PQ｜＝3.
4．[2018·昆明模拟］将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍,得曲线Γ。

(1）写出Γ的参数方程；
（2）设直线l：3x＋2y－6＝0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．解（1)设(x1,y1）为圆上的点，在已知变换下变为Γ上的点(x，y)，依题意，得错误!即错误!
由x错误!＋y错误!＝1，得错误!2＋错误!2＝1,即曲线Γ的方程为错误!＋错误!＝1.
故Γ的参数方程为错误!(t为参数)．
（2)由错误!解得错误!或错误!
不妨设P1(2，0）,P2(0，3),则线段P1P2的中点坐标为错误!，所求直线的斜率k＝错误!。

于是所求直线方程为y－错误!＝错误!（x－1），即4x－6y＋5＝0，化为极坐标方程，得4ρcosθ－6ρsinθ＋5＝0。

5．［2016·全国卷Ⅲ]在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为错误!(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin错误!＝2 2.
(1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2)设点P在C1上，点Q在C2上，求｜PQ｜的最小值及此时P的直角坐标．
解(1)由曲线C1：错误!得错误!即曲线C1的直角坐标方程为错误!＋y2＝1。

由曲线C2：ρsin错误!＝2错误!，得错误!ρ（sinθ＋cosθ)＝2错误!，即曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(错误!cosα，sinα）．因为C2是直线，所以｜PQ｜的最小值即为P到C2的距离d（α）的最小值，
d（α)＝错误!＝错误!错误!.
当且仅当α＝2kπ＋错误!（k∈Z)时,d(α)取得最小值，最小值为错误!，此时P的直角坐标为错误!.
6．[2018·合肥模拟］在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
｛x＝2cosφ，，y＝sinφ(其中φ为参数）,曲线C2：x2＋y2－2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l:θ＝α（ρ≥0)与曲线C
1
,C2分别交于点A，B(均异于原点O） .
（1）求曲线C1,C2的极坐标方程；
(2)当0<α<错误!时，求｜OA|2＋｜OB|2的取值范围．
解（1）∵错误!（φ为参数)，∴错误!＋y2＝1.
由错误!得曲线C1的极坐标方程为ρ2＝错误!.
∵x2＋y2－2y＝0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.
(2)由（1）得|OA|2＝ρ2＝
2
1＋sin2α
，|OB｜2＝ρ2＝4sin2α，
∴|OA|2＋｜OB|2＝错误!＋4sin2α＝错误!＋4（1＋sin2α）－4，∵0<α<错误!，∴1<1＋sin2α〈2，∴6<错误!＋4（1＋sin2α)<9，∴|OA|2＋｜OB｜2的取值范围为(2,5）．。