2023-2024学年北京五十五中高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京五十五中高一（上）期中数学试卷
一、选择题8小题，每小题5分，共40分
1．设非空集合P ，Q 满足P ⊆Q ，则表述正确的是（ ） A ．∀x ∈Q ，有x ∈P B ．∀x ∈P ，有x ∈Q C ．∃x ∉Q ，使得x ∈P
D ．∃x ∈P ，使得x ∉Q
2．不等式（x +1）（x +3）＜0的解集是（ ） A ．R
B ．∅
C ．{x |﹣3＜x ＜﹣1}
D ．{x |x ＜﹣3，或x ＞﹣1}
3．设a ，b ，c ，d ∈R ．且a ＞b ，c ＞d ，则下列结论中正确的是（ ） A ．a
d
＞b
c
B ．a ﹣c ＞b ﹣d
C ．ac ＞bd
D ．a +c ＞b +d
4．函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时f （x ）＝﹣x +1，则当x ＜0时，f （x ）的表达式为（ ） A ．f （x ）＝﹣x +1
B ．f （x ）＝﹣x ﹣1
C ．f （x ）＝x +1
D ．f （x ）＝x ﹣1
5．下面各组函数中表示同一个函数的是（ ） A ．f （x ）＝|x |，g(x)=(√x 2)
B ．f （x ）＝x ，g(x)=(√x)2
C ．f(x)=x 2−1
x−1
，g （x ）＝x +1
D ．f(x)=
|x|
x ，g(x)={1，x ≥0−1，x ＜0
6．若幂函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣5）x m 在（0，+∞）单调递减，则m ＝（ ） A ．3
B ．3，﹣2
C ．﹣3，2
D ．﹣2
7．“关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有实数根”是“ac ＜0”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件
D ．非充分非必要条件
8．已知函数y ＝f （x ）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f （2a ﹣1）＜f （1﹣a ），则实数a 的取值范围是（ ） A ．（2
3，+∞）
B ．（2
3
，1)
C ．（0，2）
D ．（0，+∞）
二、填空题6小题，每小题5分，共30分
9．已知集合A ＝{x |﹣2≤x ≤0}，B ＝{x |0＜x ≤3}，则A ∪B ＝ ． 10．函数y =
1
x+2
(x −1)0的定义域为 ． 11．函数y ＝x （5﹣2x ）（0＜x ＜2）的最大值是 ． 12．不等式
x+22x−1
＜0的解集为 ．
13．化简：(a 2⋅√a 35)÷(√a ⋅√a 910
)= ．（用分数指数幂表示）．
14．已知f （x ）是定义在[2b ，1﹣b ]上的偶函数，且在[2b ，0]上为增函数，则f （x ﹣1）≤f （2x ）的解集为 ．
三、解答题6小题，共80分
15．（13分）已知A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |﹣3＜x ≤3}． （1）求集合A ；
（2）求∁R （A ∩B ），（∁R A ）∩B ．
16．（13分）已知函数f （x ）＝x 2+（2a ﹣1）x ﹣3．
（1）当a ＝2，x ∈[﹣2，3]时，求函数f （x ）的最大值和最小值； （2）若函数f （x ）在[1，3]上的最大值为1，求实数a 的值．
17．（13分）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 18．（14分）已知函数f(x)=
x
x 2+1
．
（Ⅰ）判断函数f （x ）的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅱ）证明函数f （x ）在[1，+∞）上是减函数；
（Ⅲ）写出函数f （x ）在（﹣∞，﹣1]上的单调性（结论不要求证明）． 19．（13分）已知二次函数f （x ）＝x 2+2ax +2．
（1）若1≤x ≤5时，不等式f （x ）＞3ax 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式（a +1）x 2+x ＞f （x ）（其中a ∈R ）．
20．（14分）记∑ k t=1a t =a 1+a 2+⋯+a k ，t =1π
k
a t ＝a 1×a 2×⋯×a k ，存在正整数n ，且n ≥2．若集合A ＝{a 1，a 2，⋯，a n }满足∑ n t=1a t =t =1π
k
a t ，则称集合A 为“谐调集”． （1）分别判断集合E ＝{1，2}、集合F ＝{﹣1，0，1}是否为“谐调集”；
（2）已知实数x 、y ，若集合{x ，y }为“谐调集”，是否存在实数z 满足z 2＝xy ，并且使得{x ，y ，z }为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z ，若不存在，请说明理由；
（3）若有限集M 为“谐调集”，且集合M 中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合M ．
2023-2024学年北京五十五中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题8小题，每小题5分，共40分
1．设非空集合P，Q满足P⊆Q，则表述正确的是（）
A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∈P，有x∈Q
C．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q
解：因为非空集合P，Q满足P⊆Q，
若x∈Q，有x∈P不一定成立，A错误；
所以∀x∈P，有x∈Q，B正确；
若x∉Q，使得x∉P，若x∈P时，x∈Q一定成立，C，D错误．
故选：B．
2．不等式（x+1）（x+3）＜0的解集是（）
A．R B．∅
C．{x|﹣3＜x＜﹣1}D．{x|x＜﹣3，或x＞﹣1}
解：（x+1）（x+3）＜0，解得﹣3＜x＜﹣1，
∴原不等式的解集为{x|﹣3＜x＜﹣1}．
故选：C．
3．设a，b，c，d∈R．且a＞b，c＞d，则下列结论中正确的是（）
A．a
d ＞
b
c
B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．a+c＞b+d
解：A．取a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3时不成立．
B．取a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3时不成立．
C．取a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3时不成立．
D．由不等式的基本性质可得：a+c＞b+d．
故选：D．
4．函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时f（x）＝﹣x+1，则当x＜0时，f（x）的表达式为（）A．f（x）＝﹣x+1B．f（x）＝﹣x﹣1C．f（x）＝x+1D．f（x）＝x﹣1
解：当x＜0时，则﹣x＞0
∵x＞0时f（x）＝﹣x+1，
∴f（﹣x）＝﹣（﹣x）+1＝x+1，
∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣x ﹣1 故选：B ．
5．下面各组函数中表示同一个函数的是（ ） A ．f （x ）＝|x |，g(x)=(√x 2)
B ．f （x ）＝x ，g(x)=(√x)2
C ．f(x)=x 2−1
x−1，g （x ）＝x +1
D ．f(x)=|x|
x ，g(x)={1，x ≥0−1，x ＜0
解：】对于A ，f （x ）＝|x |，定义域为R ，g （x ）=√x 2=|x |，定义域为R ，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于B ，f （x ）＝x ，定义域为R ，g （x ）=(√x)2=x ，定义域为[0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数； 对于C ，f （x ）=x 2−1
x−1
=x +1，定义域为{x |x ≠1}，g （x ）＝x +1，定义域为R ，两函数的定义域不同，不是同一函数； 对于D ，f （x ）=
|x|
x ={1，x ＞0−1，x ＜0，定义域为{x |x ≠0}，g （x ）={1，x ≥0−1，x ＜0
，定义域为R ，两函数的定义域不同，不是同一函数． 故选：A ．
6．若幂函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣5）x m 在（0，+∞）单调递减，则m ＝（ ） A ．3
B ．3，﹣2
C ．﹣3，2
D ．﹣2
解：由题设{m 2−m −5=1
m ＜0，则{(m −3)(m +2)=0m ＜0，可得m ＝﹣2．
故选：D ．
7．“关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有实数根”是“ac ＜0”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件
D ．非充分非必要条件
解：若方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有实数根，则Δ＝b 2﹣4ac ≥0， 即b 2≥4ac ，但不一定有ac ＜0，充分性不成立；
若ac ＜0，则Δ＝b 2﹣4ac ＞0，即方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有实数根，必要性成立； 所以“关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有实数根”是“ac ＜0”的必要非充分条件． 故选：B ．
8．已知函数y ＝f （x ）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f （2a ﹣1）＜f （1﹣a ），则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（2
3
，+∞）
B ．（2
3
，1)
C ．（0，2）
D ．（0，+∞）
解：函数y ＝f （x ）在定义域（﹣1，1）上是减函数，
则有：{1＞2a −1＞−1
−1＜1−a ＜1
2a −1＞1−a
，解得：23
＜a ＜1，
故选：B ．
二、填空题6小题，每小题5分，共30分
9．已知集合A ＝{x |﹣2≤x ≤0}，B ＝{x |0＜x ≤3}，则A ∪B ＝ {x |﹣2≤x ≤3} ． 解：集合A ＝{x |﹣2≤x ≤0}，B ＝{x |0＜x ≤3}， 则A ∪B ＝{x |﹣2≤x ≤3}． 故答案为：{x |﹣2≤x ≤3}． 10．函数y =
1
√x+2
(x −1)0的定义域为 {x |x ＞﹣2，且x ≠1} ． 解：要使函数有意义，须满足{x +2＞0x −1≠0，解得x ＞﹣2，且x ≠1，
故函数y =
x+2
(x −1)0的定义域为{x |x ＞﹣2，且x ≠1}， 故答案为：{x |x ＞﹣2，且x ≠1}．
11．函数y ＝x （5﹣2x ）（0＜x ＜2）的最大值是
258
．
解：方法一：y =x(5−2x)=1
2⋅2x ⋅(5−2x)， ∵0＜x ＜2，∴0＜2x ＜4，1＜5﹣2x ＜5， ∴y ≤1
2×[
2x+(5−2x)2
]2=12×254=25
8， 当且仅当2x ＝5﹣2x ，即x =5
4
时取等号， 故当x =54
时，y max =
258． 方法二：由0＜x ＜2知52
−x ＞0，
∴y =2x(52−x)≤2[x+(52−x)2]2
=258
，
当且仅当x =52−x ，即x =5
4时取等号． 故当x =54
时，y max =258
． 故答案为：
258．
12．不等式
x+2
2x−1
＜0的解集为 (−2，1
2) ．
解：由题设(x +2)(2x −1)＜0⇒−2＜x ＜1
2， 所以不等式解集为(−2，12
)． 故答案为：(−2，1
2)． 13．化简：(a 2
⋅√a 35
)÷(√a ⋅
√a 910
)=
a 65
（用分数指数幂表示）．
解：(a 2
⋅
√a 35
)÷
(√a ⋅√a 910
)=(a
2
⋅a 35)÷(a 1
2
⋅a 9
10)
=a
2+
3
5
÷a 12+910
=
a 135÷a 1410
=
a 135−75
=
a 65．
故答案为：a 6
5．
14．已知f （x ）是定义在[2b ，1﹣b ]上的偶函数，且在[2b ，0]上为增函数，则f （x ﹣1）≤f （2x ）的解集为 {x |﹣1≤x ≤1
3
} ．
解：∵f （x ）是定义在[2b ，1﹣b ]上的偶函数， ∴2b +1﹣b ＝0， ∴b ＝﹣1，
∵f （x ）在[﹣2，0]上为增函数，
∴f （x ）在[0，2]上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小， 由f （x ﹣1）≤f （2x ）可得|x ﹣1|≥|2x |，且﹣2≤x ﹣1≤2，﹣2≤2x ≤2， 解得﹣1≤x ≤1
3，
故不等式的解集为{x |﹣1≤x ≤1
3}． 故答案为：{x |﹣1≤x ≤13
}． 三、解答题6小题，共80分
15．（13分）已知A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |﹣3＜x ≤3}． （1）求集合A ；
（2）求∁R （A ∩B ），（∁R A ）∩B ． 解：（1）因为A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，
所以解不等式x 2﹣x ﹣6＜0可得：﹣2＜x ＜3， 故集合A ＝{x |﹣2＜x ＜3}
（2）由（1）可知：A ＝{x |﹣2＜x ＜3}，又B ＝{x |﹣3＜x ≤3}， 所以A ∩B ＝{x |﹣2＜x ＜3}，所以∁R （A ∩B ）＝{x |x ≤﹣2或x ≥3}．
∁R A ＝{x |x ≤﹣2或x ≥3}，（∁R A ）∩B ＝{x |﹣3＜x ≤﹣2或x ＝3}． 16．（13分）已知函数f （x ）＝x 2+（2a ﹣1）x ﹣3．
（1）当a ＝2，x ∈[﹣2，3]时，求函数f （x ）的最大值和最小值； （2）若函数f （x ）在[1，3]上的最大值为1，求实数a 的值．
解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝x 2+3x ﹣3＝（x +3
2）2−21
4，对称轴为x =−3
2＜3， ∴函数在[﹣2，−3
2]上单调递减函数，在[−3
2，3]上单调递增函数， ∴f （3
2）≤y ≤f （3），
∴f （x ）max ＝f （3）＝15，f （x ）min ＝f （−3
2）=−
214
． （2）解：函数f （x ）的图象开口向上，对称轴为直线x =1−2a
2
． ①当
1−2a 2
≤1时，即当a ≥−12
时，函数f （x ）在区间[1，3]上单调递增，
此时f （x ）max ＝f （3）＝6a +3＝1，解得a =−13
，合乎题意； ②当1＜
1−2a 2＜3时，即当−52＜a ＜−1
2
时， 函数f （x ）在[1，
1−2a 2)上单调递减，在(1−2a
2
，3]上单调递增， 所以，f(x)max
=max{f(1)，f(3)}={6a +3，−3
2≤a ＜−1
2
2a −3，−52＜a ＜−3
2
．
若−3
2≤a ＜−12
，由f （x ）max ＝6a +3＝1，可得a =−13
，不合乎题意； 若−5
2＜a ＜−3
2，由f （x ）max ＝2a ﹣3＝1，可得a ＝2，不合乎题意； ③当
1−2a 2
≥3时，即当a ≤−52
时，函数f （x ）在[1，3]上单调递减，
此时f （x ）max ＝f （1）＝2a ﹣3＝1，解得a ＝2，不合乎题意． 综上所述，a =−1
3
．
17．（13分）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解：水池容积为4800m 3，深为3m ，则底面积为1600m 2， 水池底面一边的长度为x 米，则另一边的长度为
1600x
m ．
水池的总造价等于池底造价150×1600与池壁造价120（6x +6×
1600
x
）的和．
即y＝240000+720（x+1600
x
）（x＞0）．
y≥240000+720×2√x⋅1600
x
＝240000+720×2×40＝297600．
当x=1600
x
即x＝40时，y有最小值297600．
因此，当水池是底面边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元．
18．（14分）已知函数f(x)=x
x2+1
．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明函数f（x）在[1，+∞）上是减函数；
（Ⅲ）写出函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性（结论不要求证明）．
解：（Ⅰ）根据题意，函数f(x)=
x
x2+1
，其定义域为R，
则函数f(−x)=
−x
x2+1
=−f（x），
故函数f（x）为奇函数；（Ⅱ）证明：设1≤x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=
x1
x12+1
−
x2
x22+1
=
x1(x22+1)−x2(x12+1)
(x12+1)(x22+1)
=
(x1x2−1)(x2−x1)
(x12+1)(x22+1)
，
又由1≤x1＜x2，则x2﹣x1＞0，x1x2﹣1＞0，
则f（x1）﹣f（x2）＞0，
故函数f（x）在[1，+∞）上是减函数；
（Ⅲ）根据题意，f（x）为奇函数且f（x）在[1，+∞）上是减函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上是减函数．
19．（13分）已知二次函数f（x）＝x2+2ax+2．
（1）若1≤x≤5时，不等式f（x）＞3ax恒成立，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式（a+1）x2+x＞f（x）（其中a∈R）．
解：（1）不等式f（x）＞3ax即为：x2+2ax+2＞3ax，
当x∈[1，5]时，不等式可变形为a＜x2+2
x
=x+
2
x
，
因为x+2
x
≥2√x⋅
2
x
=2√2，当x=√2时取等号，
且√2∈[1，5]，所以（x+2
x
）min＝2√2，
所以a＜2√2，
即实数a 的取值范围是（﹣∞，2√2）；
（2）不等式 （a +1）x 2+x ＞f （x ），即 （a +1）x 2+x ＞x 2+2ax +2， 等价于 （a +1）x 2+x ﹣2ax ﹣x 2﹣2＞0，即 ax 2+（1﹣2a ）x ﹣2＞0， 转化为 （x ﹣2）（ax +1）＞0；
①当a ＝0时，不等式为x ﹣2＞0，解得x ＞2； ②当a ＞0时，因为−1
a
＜0＜2，
所以不等式 （x ﹣2）（ax +1）＞0 的解集为{x |x ＜−1
a 或 x ＞2}； ③当−12＜a ＜0时，因为−1a
＞2，
所以不等式（x ﹣2）（ax +1）＞0 的解集为{x |2＜x ＜−1
a }； ④当a =−12时，因为−1a
=2，
所以不等式（x ﹣2）（ax +1）＞0 的解集为∅； ⑤当a ＜−12时，因为−1
a ＜2，
所以不等式（x ﹣2）（ax +1）＞0 的解集为{x |−1
a ＜x ＜2}； 综上知，当a ＝0时，不等式的解集为（2，+∞）； 当a ＞0时，不等式的解集为（﹣∞，−1a
）∪（2，+∞）； 当−12＜a ＜0时，不等式的解集为（2，−1
a ）； 当a =−1
2时，不等式的解集为∅；
当a ＜−12时，不等式的解集为（−1a
，2）．
20．（14分）记∑ k t=1a t =a 1+a 2+⋯+a k ，t =1π
k
a t ＝a 1×a 2×⋯×a k ，存在正整数n ，且n ≥2．若集合A ＝{a 1，a 2，⋯，a n }满足∑ n t=1a t =t =1π
k
a t ，则称集合A 为“谐调集”． （1）分别判断集合E ＝{1，2}、集合F ＝{﹣1，0，1}是否为“谐调集”；
（2）已知实数x 、y ，若集合{x ，y }为“谐调集”，是否存在实数z 满足z 2＝xy ，并且使得{x ，y ，z }为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z ，若不存在，请说明理由；
（3）若有限集M 为“谐调集”，且集合M 中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合M ． 解：（1）因为1×2≠1+2，所以E 不是“谐调集”， 因为（﹣1）×0×1＝（﹣1）+0+1，所以F 是“谐调集”；
（2）若存在符合题意的实数z，则{
z2=xy
x+y=xy
x+y+z=xyz
，
所以z2+z＝z3，即z（z2﹣z﹣1）＝0，解得z＝0或z=1−√5
2或z=
1+√5
2
，
当z＝0时，则x＝0，y＝0，不符合题意；
当z=1−√5
2
时，x+y=
3−√5
2
，xy=
3−√5
2
，
由此，x、y是方程t2−3−√5
2
t+
3−√5
2
=0的实数解．
但Δ=(3−√5
2
)2−4(
3−√5
2
)=√
5−5
2
＜0，方程无实数解，所以不符合题意；
当z=1+√5
2
时，同理z=
1−√5
2
，可得不符合题意，
综上，不存在符合题意的实数z；
（3）不妨设A中所有元素满足a1＜a2＜⋯＜a n，则a1×a2×⋯×a n＝a1+a2+⋯+a n，
于是，a1×a2×⋯×a n−1=a1
a n
+
a2
a n
+⋯+
a n−1
a n
+1＜1+1+⋯+1=n，
即a1×a2×⋯×a n﹣1＜n，
当n＝2时，则a1＜2，∴a1＝1，但1•a2＝1+a2无解，所以不存在符合题意的“谐调集”，当n＝3时，则a1a2＜3，∴a1＝1，a2＝2，1×2×a3＝1+2+a3，∴a3＝3，
当n≥4时，∵a1，a2，⋯，a n均为正整数，∴a1≥1，a2≥2，⋯，a n≥n．
∴a1×a2×⋯×a n﹣1≥1×2×⋯×（n﹣1）≥（n﹣2）（n﹣1），
又n＞a1×a2×⋯×a n﹣1，∴n＞（n﹣2）（n﹣1），即n2﹣4n+2＜0，
但当n≥4时，n2﹣4n+2＝n（n﹣4）+2＞0，矛盾．
所以不存在符合题意的“谐调集”
综上，符合题意的“谐调集”为{1，2，3}．。