高考数学大一轮复习 4.7正弦定理、余弦定理学案 理 苏教版-苏教版高三全册数学学案

学案22 正弦定理和余弦定理
导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
自主梳理
1．三角形的有关性质
(1)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝____； (2)a ＋b ____c ，a －b <c ；
(3)a>b ⇔sin A ____sin B ⇔A ____B ； (4)三角形面积公式：S △ABC ＝12ah ＝1
2ab sin C
＝1
2
ac sin B ＝____________________； (5)在三角形中有：sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或______________⇔三角形为等腰或直角三角形；
sin(A ＋B )＝sin C ，sin A ＋B
2＝cos C
2
. 2．正弦定理和余弦定理 定理
正弦定理
余弦定理
内容
________________＝2R
a 2＝____________，
b 2＝____________，
c 2＝____________
变形
形式
①a ＝________，
b ＝________，
c ＝________；
②sin A ＝________，
sin B ＝________， sin C ＝________； ③a ∶b ∶c ＝________；
cos A ＝____________________；
cos B ＝____________________； cos C ＝____________________
④a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a
sin A
解决 的问题
①已知两角和任一边，求另一角
和其他两条边．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其
他两个角. 自我检测
1．(2010·上海改编)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则
a ∶
b ∶
c ＝________.
2．(2010·天津改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2
－b 2
＝3
bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________.
3．(2010·烟台一模)在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，△ABC 的面积为3，则边a 的值为________．
4．(2010·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．
5．(2010·北京)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π
3
，则a ＝________.
探究点一 正弦定理的应用
例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ； (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c .
变式迁移1 (1)在△ABC 中，若tan A ＝1
3，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________；
(2)在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝________. 探究点二 余弦定理的应用
例2 已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2
＋c 2
－b 2
＝ac .
(1)求角B 的大小；
(2)若c ＝3a ，求tan A 的值．
变式迁移2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π
3，b ＝13，a ＋c ＝4，
求a .
探究点三 正余弦定理的综合应用
例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2
＋b 2
)sin(A －
B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．
变式迁移3 (2010·天津)在△ABC 中，AC AB ＝cos B
cos C
.
(1)证明：B ＝C ；
(2)若cos A ＝－13，求sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4B ＋π3的值．
1．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用．
2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．
3．在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口．
(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．(2010·湖北改编)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________. 2．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →
＝________.
3．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c
(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为________． 4．(2011·苏州调研)在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为________．
5．(2010·湖南改编)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，
c ＝2a ，则a ，b 的大小关系为________．
6．在△ABC 中，B ＝60°，b 2
＝ac ，则△ABC 的形状为______________．
7．(2010·广东)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.
8．(2010·福建龙岩高三一模)在锐角△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，且BD ∶DC ∶AD ＝2∶3∶6，则∠BAC 的大小为________．
二、解答题(共42分)
9．(14分)(2009·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos
A
2＝255
，AB →·AC →＝3.
(1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值．
10．(14分)(2010·陕西)在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．
11．(14分)(2010·重庆)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且3b 2
＋3c 2
－3a 2
＝42bc .
(1)求sin A 的值；
(2)求2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
A ＋π4sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
B ＋
C ＋π41－cos 2A 的值．
答案 自主梳理
1．(1)π (2)> (3)> > (4)12bc sin A (5)A ＋B ＝π2 2.a sin A ＝b sin B ＝c sin C b
2
＋c 2
－2bc cos A a 2
＋c 2
－2ac cos B a 2
＋b 2
－2ab cos C 2R sin A 2R sin B 2R sin C a
2R
b 2R
c 2R sin A ∶sin B ∶sin C b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22ac a 2＋b 2－c 22ab
自我检测
1．5∶11∶13 2.30° 3.13 4.π
6
5．1
解析 方法一 由正弦定理，有3sin
2π3＝1
sin B ，
∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π
6，
∴A ＝π
6
.∴a ＝b ＝1.
方法二 由余弦定理c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos C 得， 3＝a 2
＋a ＋1，即a 2
＋a －2＝0， 解得a ＝1，a ＝－2(舍去)． 课堂活动区
例1 解题导引 已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．具体判断方法如下：在△ABC 中，已知a 、b 和A ，求B .若A 为锐角，①当a ≥b 时，有一解；②当a ＝b sin A 时，有一解；③当b sin A <a <b 时，有两解；④当a <b sin A 时，无解．若A 为直
角或钝角，①当a >b 时，有一解；②当a ≤b 时，无解．
解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，sin A ＝3
2
.
∵a >b ，∴A >B ，∴A ＝60°或A ＝120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，
c ＝b sin C sin B ＝6＋2
2
；
当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，
c ＝b sin C sin B ＝6－22
.
综上，A ＝60°，C ＝75°，c ＝
6＋2
2
， 或A ＝120°，C ＝15°，c ＝
6－2
2
. (2)∵B ＝60°，C ＝75°，∴A ＝45°. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ，
得b ＝
a ·sin B sin A ＝46，c ＝a ·sin C
sin A
＝43＋4.
∴b ＝46，c ＝43＋4. 变式迁移1 (1)
10
2
(2)60°或120° 解析 (1)∵在△ABC 中，tan A ＝1
3，C ＝150°，
∴A 为锐角，∴sin A ＝
110
.又∵BC ＝1.
∴根据正弦定理得AB ＝
BC ·sin C sin A ＝10
2.
(2)由b >a ，得B >A ，由a
sin A ＝b
sin B ， 得sin B ＝
b sin A a ＝25650×22＝3
2
， ∵0°<B <180°，∴B ＝60°或B ＝120°. 例2 解 (1)∵a 2
＋c 2
－b 2
＝ac ，
∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∵0<B <π，∴B ＝π
3
.
(2)方法一 将c ＝3a 代入a 2
＋c 2
－b 2
＝ac ，得b ＝7a .
由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝57
14
.
∵0<A <π，∴sin A ＝1－cos 2
A ＝21
14
， ∴tan A ＝sin A cos A ＝3
5
.
方法二 将c ＝3a 代入a 2
＋c 2
－b 2＝ac ， 得b ＝7a .由正弦定理，得sin B ＝7sin A . 由(1)知，B ＝π3，∴sin A ＝21
14.
又b ＝7a >a ，∴B >A ，
∴cos A ＝1－sin 2
A ＝5714.∴tan A ＝sin A cos A ＝35.
方法三 ∵c ＝3a ，由正弦定理，得sin C ＝3sin A . ∵B ＝π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝2π
3－A ，
∴sin(2π
3
－A )＝3sin A ，
∴sin 2π3cos A －cos 2π
3sin A ＝3sin A ，
∴
32cos A ＋1
2
sin A ＝3sin A ， ∴5sin A ＝3cos A ，∴tan A ＝sin A cos A ＝3
5
.
变式迁移2 解 由余弦定理得，b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2
－ac .
又∵a ＋c ＝4，b ＝13，∴ac ＝3，
联立⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＋c ＝4ac ＝3
，解得a ＝1，c ＝3，或a ＝3，c ＝1.
∴a 等于1或3.
例 3 解题导引 利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．
解 方法一 ∵(a 2
＋b 2
)sin(A －B )＝(a 2
－b 2
)sin(A ＋B ) ⇔a 2
[sin(A －B )－sin(A ＋B )]
＝b 2
[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2a 2
cos A sin B ＝2b 2
cos B sin A ，
由正弦定理，得sin 2
A cos A sin
B ＝sin 2
B cos B sin A ， ∴sin A sin B (sin A cos A －sin B cos B )＝0， ∴sin 2A ＝sin 2B ，由0<2A <2π，0<2B <2π， 得2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，
即△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
方法二 同方法一可得2a 2
cos A sin B ＝2b 2
cos B sin A ， 由正、余弦定理，即得
a 2
b ×b 2＋
c 2－a 22bc ＝b 2a ×a 2＋c 2－b 2
2ac
，
∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2
)，
即(a 2
－b 2
)(c 2
－a 2
－b 2
)＝0，∴a ＝b 或c 2
＝a 2
＋b 2
， ∴三角形为等腰三角形或直角三角形．
变式迁移3 (1)证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知得 sin B sin C ＝cos B cos C
.于是sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0.因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0. 所以B ＝C .
(2)解 由A ＋B ＋C ＝π和(1)得A ＝π－2B ， 故cos 2B ＝－cos(π－2B )＝－cos A ＝1
3.
又0<2B <π，于是sin 2B ＝1－cos 2
2B ＝223.
从而sin 4B ＝2sin 2B cos 2B ＝42
9，
cos 4B ＝cos 22B －sin 2
2B ＝－79
.
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4B ＋π3＝sin 4B cos π3＋cos 4B sin π3 ＝
42－7318
. 课后练习区 1.63
解析 根据正弦定理
a sin A ＝b
sin B
， 可得15sin 60°＝10sin B ，解得sin B ＝3
3，
又因为b <a ，则B <A ，故B 为锐角， 所以cos B ＝1－sin 2
B ＝63
. 2.32
解析 由余弦定理得，cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－102×3×2＝14，∴AB →·AC →
＝3×2×14＝32
.
3．直角三角形 解析 ∵sin 2
A 2
＝
1－cos A 2＝c －b
2c
， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc
⇒a 2＋b 2＝c 2
，符合勾股定理，
即△ABC 为直角三角形． 4．45°
解析 ∵BC >AC ，∴A >B ，所以角B 是锐角， 由正弦定理得，BC sin A ＝AC
sin B
，
即sin B ＝AC ·sin A BC ＝42×
3
243＝2
2，所以B ＝45°.
5．a >b
解析 因为C ＝120°，c ＝2a ，
所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C,2a 2＝a 2＋b 2
－2ab ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12.
所以a 2－b 2
＝ab ，a －b ＝ab
a ＋b
，因为a >0，b >0， 所以a －b ＝
ab
a ＋b
>0，所以a >b . 6．等边三角形
解析 ∵b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ，∴ac ＝a 2
＋c 2
－ac ， ∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． 7．1
解析 由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°知，B ＝60°. 由正弦定理知，1sin A ＝3sin 60°，即sin A ＝1
2.
由a <b 知，A <B ，∴A ＝30°，
C ＝180°－A －B ＝180°－30°－60°＝90°，
∴sin C ＝sin 90°＝1. 8.π
4
解析 设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β， 则tan α＝13，tan β＝1
2
，
∴tan∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β＝13＋1
21－13×1
2＝1.
∴∠BAC 的大小为π
4
.
9．解 (1)因为cos A 2＝25
5
，
所以cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝4
5
.……………………………………………………(5
分)
又由AB →·AC →
＝3得bc cos A ＝3，所以bc ＝5，
因此S △ABC ＝1
2
bc sin A ＝2.…………………………………………………………………(9
(2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6，
由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－165
bc ＝20，所以a ＝2 5.………(14分)
10．解 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，
由余弦定理得，
cos∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 2
2AD ·DC
＝
100＋36－1962×10×6＝－12，…………………………………………………………………(6分)
∴∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.…………………………………………………………(8分)
在△ABD 中，AD ＝10，B ＝45°， ∠ADB ＝60°，
由正弦定理得AB sin∠ADB ＝AD sin B
， ∴AB ＝AD ·sin∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°
＝10×
3
22
2＝5 6.…………………………………………………………………………(14
分) 11．解 (1)∵3b 2＋3c 2－3a 2
＝42bc ，
∴b 2＋c 2－a 2＝423bc . 由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝223
，……………………………………………(4分) 又0<A <π，故sin A ＝1－cos 2A ＝13
.……………………………………………………(6
(2)原式＝
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－A ＋π41－cos 2A
………………………………………………………(8分) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π
4sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫A －π
42sin 2A
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2
2sin A ＋22cos A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
22sin A －22cos A 2sin 2A ………………(11分)
＝sin 2A －cos 2
A
2sin 2A ＝－7
2.
所以2sin A ＋π4sin B ＋C ＋π
4
1－cos 2A
＝－7
2.……………………………………………………(14分)。