函数的值域与最值(检测)-2019年高考数学(文)名师揭秘之一轮总复习+Word版含解析

《2019年高考数学名师揭秘》之一轮总复习（理科）
专题5函数的值域与最值
本专题特别注意： 1.求值域时定义域陷阱； 2.复合函数值域问题陷阱； 3.隐含条件陷阱；
4.抽象函数及其性质陷阱；
5.抽象函数的隐含定义域问题陷阱； 6．参数讨论陷阱；
7.均值不等式求最值的三个条件； 8．分段函数问题 9.数形结合求值域问题 10.函数实际应用
【学习目标】
理解函数的最大(小)值的概念及几何意义，熟练掌握基本初等函数的值域，掌握求函数的值域和最值的基本方法． 【知识要点】 1．函数的值域
函数f (x )的值域是____________的集合，记为{y |y ＝f (x )，x ∈A }，其中A 为f (x )的定义域． 2．常见函数的值域
(1)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为________． (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，
当a ＞0时，值域为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
4ac －b 24a ，＋∞；
函数值y
R
当a ＜0时，值域为⎝
⎛⎦⎥⎤
－∞，
4ac －b 24a . (3)反比例函数y ＝k x
(k ≠0)的值域为_______________________．
(4)指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域为___________． (5)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域为____ ________．
(6)正、余弦函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域为___________；正切函数y ＝tan x 的值域为________． 3．函数的最值
一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M ：
(1)若∀x ∈I ，f (x )≤M 且∃x 0∈I ，f (x 0)＝M ，则称M 为f (x )的____________
． (2)若∀x ∈I ，f (x )≥M 且∃x 0∈I ，f (x 0)＝M ，则称M 为f (x
)的____________．
高考考点训练
一、单选题
1．【山东、湖北部分重点中学2018届高考冲刺模拟】已知，记
表示不超过的最大整数，
如，则的值域为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
若为整数，则
若
不为整数，设
其中，
的值域为
.
(－∞，0)∪(0，＋∞) (0，＋∞)
R [－1，1] R 最大值 最小值
故选B.
方法总结：本题考查了函数的中心对称性，得到，从而可将函数的两个量转换为一个量的讨
论，
为整数时易得解，
不为整数时，设为整数加小数部分的结构代入即可.
2．【山西省运城市2018期中考试试题】已知函数()2321f x x x =--+, ()g x =若对(),t ∀∈-∞+∞,[]
1,7s ∃∈，使()()(0)f t a g s a +≤>成立，则实数的a 取值范围是 A. (]0,2 B. (]2,3 C. []3,6 D. [
)4,+∞ 【答案】A
令[]
43cos ,0,x θθπ=+∈，
则()g x =
sin 6222θθθϕ⎛⎫⎛⎫
==+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
（其中tan ϕ=． ∴()max 6g x =．
由46a +≤，解得2a ≤， 又0a >，故02a <≤，
∴实数的a 取值范围是(]
0,2．选A ． 方法总结：
（1）对于求y x a x b ＝－＋－或y x a x b ＝＋－－型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如
y x a x b ＝－＋－的函数只有最小值，形如y x a x b ＝＋－－的函数既有最大值又有最小值．
（2）求函数的最值时要根据函数解析式的特点选择相应的方法，对于含有绝对值符号的函数求最值时，一般采用换元的方法进行，将问题转化为二次函数或三角函数的问题求解．
3．【江西省2018届高三质量监测】函数()f x 的定义域为D ，若满足：①()f x 在D 内是单调函数；②存在[],a b D ⊆使得()f x 在[]
,a b 上的值域为,22a b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，则称函数()f x 为“成功函数”.若函数
()()2x
m
t
m
f x lo
g +=（其中0m >，且1m ≠）是“成功函数”，则实数t
的取值范围为（ ）
A. ()0,+∞
B. 1,8⎛
⎤
-∞ ⎥⎝⎦ C. 11,84⎡⎫
⎪⎢⎣⎭ D. 10,8⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】D
方法总结：本题以新定义为背景考查方程解的个数问题，利用变量分离的方法，把问题转化为两个图象的交点问题，通过换元的手段把问题归结为二次函数的图象与性质问题. 4．设m ∈Z，对于给定的实数x ，若x ∈
，则我们就把整数m 叫做距实数x 最近的整数，并把它
记为{x }，现有关于函数f (x )＝x －{x }的四个命题： ①f
＝－；
②函数f (x )的值域是；
③函数f (x )是奇函数；
④函数f (x )是周期函数，其最小正周期为1. 其中，真命题的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 【答案】C
④中，
所以周期为1，故④正确；
故答案为B.
5．【2018北京市中关村月考试题】设,S T 是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:
①(){}
|T f x x S =∈;②对任意12,x x S ∈,当12x x <时,恒有()()12f x f x <;那么称这两个集合“保序同构”,以下集合对不是“保序同构”的是 A. *
,A N B N ==
B. {|13},{|8A x x B x x =-≤≤==-或010}x <≤
C. {|01},A x x B R =<<=
D. ,A Z B Q == 【答案】D
【解析】对于*
,A N B N ==存在函数*
1f x x x N =-∈（）， ，满足： {|}i B f x x A ii =∈（）（
）；（） 对
任意12x x A ∈，， 当12x x ＜ 时，恒有12f x f x （）＜（）
，所以选项A 是“保序同构”； 对于{|13},{|8A x x B x x =-≤≤==-或010}x <≤，存在函数()81
{ 551322
x f x x x --+-≤，＝＝，＜，满
足：
【方法总结】本题是新定义题，考查了函数的定义域和值域，考查了函数的单调性，综合考查了不同类型函数的基本性质，是基础题．
6．【郑州市2018学年期末考试】已知函数()243,2
{ log ,2
ax a x f x x x -+<=≥的值域为R ，则实数a 的取值范围
是（ ） A. 30,
4⎛⎫
⎪⎝⎭ B. (]0,1 C. 31,2⎛⎫
⎪⎝⎭ D. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】B
【解析】函数()243,2
{
log ,2
ax a x f x x x -+<=≥，
当2x ≥时， ()[
)2log 1,f x x =∈+∞； 当2x <时， () 43f x ax a =-+， 根据题意知函数()243,2{ log ,2ax a x f x x x -+<=≥的值域为R ，则0
{ 2431
a a a >-+≥，解得01a <≤.
故选B.
7．若函数()y f x =的值域是1,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，则函数()()()1
F x f x f x =+的值域是（ ）
A. 1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B. 102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C. 510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D. 103,3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【答案】B
故选项为B.
8．【广东省中山市2018期末考试试题】若函数()
f x =()0,+∞，则实数m
的取值范围是（ ）
A. ()1,4
B. ()(),14,-∞⋃+∞
C. ][()0,14,⋃+∞
D. ][)
0,14,⎡⋃+∞⎣ 【答案】D
【解析】函数()
f x =
()0,+∞，
则g （x ）=mx 2+2（m ﹣2）x+1的值域能取到（0，+∞）， ①当m=0时，g （x ）=﹣4x +1，值域为R ，包括了（0，+∞），
②要使f （x ）能取（0，+∞），则g （x ）的最小值小于等于0，
则()
2
2
{ 44240
44m m m ac b a
m
>---=
≤，
解得：0＜m≤1或m ≥4．
综上可得实数m 的取值范围是][)
0,14,⎡⋃+∞⎣ 故选：D ．
9．【湖南省衡阳县2018届高三12月联考数学】若函数(
)12x a f x a -+=+的定义域与值域相同，
则a =（ ）
A. -1
B. 1
C. 0
D. 1± 【答案】
B
10．【湖北省重点高中联考协作体】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]
x 表示不超过
x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如： []3.54-=-， []2.12=，已知函数
()1
12
x x e f x e =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域是（ ）
A. {}0,1
B. {}1
C. {}1,0,1-
D. {}1,0- 【答案】D
【解析】()()()()
()11,2121x x
x x
e e
f x f x f x e e --=
-==-++ ， ()f x ∴为奇函数， 函数()1,12x x e f x e =-∴+化简得出： ()
11,1121x
x f x e e =-+>+ ， 1011x e ∴<<+， 11112212x e -
<-<+， ∴当()1,02f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时， ()()1,0f x f x ⎡⎤⎡⎤=--=⎣⎦⎣⎦，当()10,2f x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时， ()()0,1f x f x ⎡⎤⎡⎤=-=-⎣⎦⎣⎦，当()0f x =时， ()()0,0f x f x ⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦， ∴函数()()y f x f x ⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦的值域为{}1,0-，故选D.
【方法总结】本题考查函数的值域、指数式的运算以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义高斯函数达到考查函数的值域、指数式的运算的目的. 11．【黑龙江省大庆第一中学2018学年第二次阶段测试】设函数 ()e e x
x
f x -=-，
()21lg 4g x mx x ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，若对任意 (]1,0x ∞∈-，都存在 2x ∈R ，使得 ()()12f x g x =，则实数 m 的最小值为 () A. 13-
B. 1-
C. 1
2
- D. 0 【答案】A
【解析】∵f （x ）=e x -e -x 在（-∞，0]为增函数，∴f （x ）≤f （0）=0， ∵∃x 2∈R ，使f （x 1）=g （x 2），∴g （x ）=lg 214mx x ⎛
⎫
-+
⎪⎝⎭
的值域包含（-∞，0]， 当m=0时，g （x ）= 1lg 4x ⎛⎫
-+
⎪⎝⎭
显然成立； 当m≠0时，要使g （x ）= 21lg 4mx x ⎛⎫
-+
⎪⎝
⎭
的值域包含（-∞，0]，
则mx 2-x+
1
4的最大值大于等于1， ()20
1
1{ 041341
4m m m m
<∴-≤<⨯--≥
故选A
方法总结：本题考查函数的值域，体现了数学转化思想方法，对任意 (]
1,0x ∞∈-，都存在 2x ∈R ，使得 ()()12f x g x =，转化为()f x 在(]
,0∞-上的值域是()g x 在R 上值域的子集.
12．已知函数()()()2
4log 4f x ax x a
a R =-+∈，若()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）
A. []0,2
B. ()2,+∞
C. (]
0,2 D. ()2,2- 【答案】
A
13．【】四川省成都市第七中学2018学年试题】函数()231f x x x =-+-的值域为( ) A. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B. 1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭ C. [
)1,+∞ D. ()1,+∞
【答案】A
【解析】函数()231f x x x =-+- 43,1
3{2,1 23
34,2
x x x x x x -≤=-<<-≥
,即函数的值域为1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭,故选A.
二、填空题
14．函数的值域为______．
【答案】
【解析】函数的定义域为，则：
，，，
即函数的值域为.
15．函数的最小值是___________.
【答案】
【解析】，函数是轴上的点与两定点距离之和，的最小值就是的最小值，由平面几何知识可知，若关于轴的对称点为，的最小值等于，即，，故答案为.
【方法点晴】本题主要考查两点间距离公式及求最值问题，属于难题.求最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.
16．已知函数f（＋2）＝x＋2，则函数f（x）的值域为________.
【答案】[0，＋∞）
17．定义区间[]12,x x 的长度为21x x -，已知函数()3x f x =的定义域为[],a b ，值域为[]1,9，则区间[]
,a b
的长度的最小值为__________． 【答案】2
【解析】函数()3x
f x =的定义域为[],a b ，值域为[]1,9， []0,a b ∴∈,2和-2至少有一个属于区间[]
,a b ,
故区间[]
,a b 的长度最小时为[-2,0]或[0,2],即区间的长度最小值为2,故填2. 18．已知函数()41
21
x f x x -=- ，则12320162017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
__________. 【答案】4032 【解析】由题()41
21
x f x x -=
-，则()()()()()()41141142141411421211212121
x x x x x f x f x x x x x x -------+-=+=-==------ 12320164100840322017201720172017f f f f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫∴+
+++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
三、解答题
19．【上海市普陀区2018届高三下学期质量调研（二模）】定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的实数x ，存在非零常数t ，都有()()f x t tf x +=-成立. （1）若函数()3f x kx =+，求实数k 和t 的值；
（2）当2t =时，若[]0,2x ∈， ()()2f x x x =-，求函数()f x 在闭区间[]
2,6-上的值域； （3）设函数()f x 的值域为[
]
,a a -，证明：函数()f x 为周期函数. 【答案】(1) 0
{
1
k t ==- (2) []2,4- (3)见解析 【解析】试题分析：（1）由()()f x t tf x +=-得， ()()330k kt x k t ++++=对R x ∈恒成立，则
()()10
{330 0
k t k t t +=++=≠，
从而可得结果；（2）先根据[]0,2x ∈， ()()2f x x x =-，求出函数在[]2,0-， []2,4，
[]4,6上的解析式，从而可求得在对应区间上函数值的范围，
综合可得函数()f x 在闭区间[]2,6-上的值域；（3）由函数()f x 的值域为[],a a -得， ()f x t +的取值集合也为[]
,a a -，当0t >时，
()()[],f x t tf x ta ta +=-∈-，则{
ta a ta a
-=-=，即1t =. 由()()1f x f x +=-得
()()()21f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是以2为周期的函数，同理可得当0t <时，函数()f x 是以1
为周期的函数.
试题解析：（1）由()()f x t tf x +=-得， ()()33k x t t kx ++=-+对R x ∈恒成立，
即()()330k kt x k t ++++=对R x ∈恒成立，则()()10
{330 0
k t k t t +=++=≠，
即0
{
1
k t ==-.
（3）（证法一）由函数()f x 的值域为[],a a -得， ()f x t +的取值集合也为[]
,a a -，
当0t >时， ()()[]
,f x t tf x ta ta +=-∈-，则{ ta a ta a
-=-=，即1t =.
由()()1f x f x +=-得()()()21f x f x f x +=-+=， 则函数()f x 是以2为周期的函数.
当0t <时， ()()[]
,f x t tf x ta ta +=-∈-，则{
ta a ta a
-==-，即1t =-.
即()()1f x f x -=，则函数()f x 是以1为周期的函数. 故满足条件的函数()f x 为周期函数.
（证法二）由函数()f x 的值域为[]
,a a -得，必存在0R x ∈，使得()0f x a =， 当1t >时，对1t >，有()()00f x t tf x ta a +=-=-<-， 对1t <-，有()()00f x t tf x ta a +=-=->，则1t >不可能； 当01t <<时，即
1
1t
>， ()()001f x f x t t =-+，
由()f x 的值域为[]
,a a -得，必存在0R x ∈，使得()0f x t a +=， 仿上证法同样得01t <<也不可能，则必有1t = ，以下同证法一.
20．【安徽省宿州市汴北三校联考2018届高三期中考试试题】已知()2a x b
f x x
+=是定义在
][(),31,b b -∞-⋃-+∞上的奇函数.
（1）若()23f =，求,a b 的值;
（2）若1-是函数()f x 的一个零点，求函数()f x 在区间[]
2,4的值域. 【答案】（1）a=1，b=2；（2）[-7.5,-3].
【解析】试题分析：（1）由奇函数定义域关于原点对称得(b-3)+(b-1)=0，解得b=2，再由()23f =可得a ； （2）由1-是函数()f x 的一个零点，得a=-2，进而得函数单调性，由单调性求值域即可. 试题解析：
（1） 由 f(x)为奇函数，则(b-3)+(b-1)=0，解得b=2，
又()23
f=．所以4a+2 =6, ∴a=1 .（2）由条件知，f(-1)=0,∴a+2=0,∴a=-2
即()
2 2
f x x
x
=-+,可见f(x)在区间[2,4]上单调递减.
所以f(x)的最大值为f(2)=-3，最小值为f(4)=-7.5.
故f(x)的值域为[-7.5, -3].
方法总结：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好三个问题：
（1）定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；（2）f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式；
（3）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称. 21．（1）求函数的最小值；
（2）已知实数满足，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【方法总结】求函数值域的常用方法：①单调性法，②配方法，③分离常数法，④数形结合法，⑤换元法(包括代数换元与三角换元)，⑥判别式法，⑦不等式法，⑧导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；⑨图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域；对于二元函数的值域问题，其解法要针对具体题目的条件而定．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．。