声速测定数据的处理方法

(
2Κ)
n 2
+
1,
x
n+
- n
2
+
2
x n+ 2=
n 2
(
2Κ)
n 2
+
2,
……x
2n -
x n+
n 2
=
n 2
(
2Κ) n。 从
而
2Κ=
1 n
[
(
2Κ) 1+
( 2Κ) 2+ …+
(
2Κ)
n 2
+
(
2Κ)
n 2
+
1+
(
2Κ)
n 2
+
2+
…+
( 2Κ) n ]=
2 n2
[
(x
n 2
+
1-
x 1) +
距离, 即每隔半个波长 2Κ读一个数, 共读 2n 个数, 即: x 1, x 2, …, x n, x n+ 1, …, x 2n。 其间共有 (2n - 1) 个半波长。
数据处理方法的讨论:
方法一, 一次相减
2Κ=
x 2n2n -
x1 1
,
(1)
方法二, 采用逐差法
x n+ 1- x 1= n ( 2Κ) 1; x n+ 2- x 2= n ( 2Κ) 2; ……x 2n- x n= n ( 2Κ) n。 从而
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第 3 期 声速测定数据的处理方法 47
Ρ3= 2
n
2n
2
Ρ=
n 2
2Ρ
n
为了方便比较 Ρ1、Ρ2、Ρ3 的大小, 我们列出下表 (用表中数据乘上因子
的数值。)
(6) 2 Ρ 得到 Ρ1、Ρ2、Ρ3
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 2n- 1
杨菁菁
(杭州电子工业学院 浙江杭州 310012)
1 引言
用极值法测定声波波长[1]: 当超声声速测定仪接收器与声源的距离改变时, 接收器处的声
压振幅将交替出现极大值和极小值, 两相邻极大值或极小值之间的距离为 2Κ, 极大值与极小值 的数值不随接收器与声源的距离而变化。据此可以测定声波波长 Κ。实验测量各极大值之间的
用了全部数据, 具有对数据取得某种平均和减少相对误差的效果, 这是显而易见的。
3 讨 论
上述关于数据处理的讨论存在什么问题呢? 由测量的物理内容知道
x = ( 2Κ) ·m + c (m = 1, 2, …, 2n)
(7)
这是一个线性方程。
因此, 根据上述 x 的 2n 个读数 (x 1, x 2, …, 2n) 求 2Κ的数值, 既不同于简单的数据求平均, 也不同于那种将直接测量值代入公式计算得出一个最终结果的间接测量, 而是利用 2n 组数据 (1, x 1) , (2, x 2) , …, (2n, x 2n) 求线性方程 (T ) 的系数。方法一只用了这 2n 组数据中的首尾两组 ( 1, x 1)、(2n, x 2n) 来求线性方程的系数, 从拟合直线的角度来看, 这种方法是很粗略的。 因此, 计算误差就没有意义了。 计算它的标准误差可能会得出谬误的结论。 这就是上述数据处理方
1 01333 012 01143 01111 010909 010769 010667 010588 01526
1 nn
2 nn
1 0. 354 0. 192 0. 125 0. 0894 0. 0680 0. 0540 0. 0442 0. 0370 0. 0316 2 0. 707 0. 385 0. 25 0. 179 0. 136 0. 108 0. 0884 0. 0741 0. 0632
n
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1 2n- 1
0. 0476 0. 0435 0. 04 0. 0370 0. 0345 0. 0323 0. 0303 0. 0286 0. 0270 0. 0256
1 nn
2 nn
0. 0274 0. 0241 0. 0213 0. 0191 0. 0172 0. 0156 0. 0143 0. 0131 0. 0121 0. 0112 0. 0548 0. 0481 0. 0427 0. 0382 0. 0344 0. 0313 0. 0285 0. 0262 0. 0241 0. 0223
从表中知 Ρ2< Ρ3, 这可以解释为逐差法采用方法二的数据对半分组法比方法三的分组方 法更为合理。
但是, 当 n< 15 时, Ρ1< Ρ3, 即当测量次数 2n< 30 时 (本实验测量次数通常不超过 30 次) , 用方法三所得的测量结果不如方法一所得的结果准确。 这很难加以解释。 因为方法三也是利
则有:
Ρ1 =
2 2n -
1Ρ;
Ρ2 =
2n n2
Ρ=
n
2 Ρ。
n
(3)
可以证明, 当 n ≥3 时, n + 1 n < 2, 从而有 n n > 2n - 1 (当 n ≥3) , 所以, Ρ2 < Ρ1 (当 n ≥
3) , 即用逐差法所得的结果更准确。
2 问 题
上述关于数据处理方法的讨论是否正确?我们不妨将数据换一种方式分组逐差, 然后仍按
(x
n 2
+

x 2) + …+
(x n-
x
n 2
)
+
(x n+
n 2
+
1-
x n+ 1) +
(x n+
n 2
+
2-
x n+ 2) + …+
(x 2n-
x n+
n)
2
]。
(5)
用 Ρ3 表示这种方法测量 2Κ的标准误差, 则有
3 收稿日期: 1998 年 10 月 16 日 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
上述的思路进行讨论, 比较结果。
方法三,
为了方便数据分组,
我们假设上述的
2n
个数据可以分成
4
组,
每组为
n 2
个数据,
然后
在每两组中逐差。
x
n 2
+
1-
x 1=
n 2
(
2Κ) 1,
x
n 2
+
2-
x 2=
n 2
(
2Κ) 2,
……x n-
x
n 2
=
n 2
(
2Κ)
n 2
,
x
n+
- n
2
+
1
x n+ 1=
n 2
2Κ=
1 n
[
(
2Κ)
1+
( 2Κ) 2+ …+
( 2Κ) n ]n=
1 2
[
(x
n+
1-
x 1) +
(x n+ 2-
x 2) + …+
(x 2n-
x n) ]。
(2)
上述两种方法中哪一种方法得到的结果更准确? 假设每一次读数的标准误差为 Ρ, 用两种方法
测量
Κ的标准误差分别用 2
Ρ1 ,
Ρ2
表示,
当超声声速测定仪接收器与声源的距离改变时接收器处的声压振幅将交替出现极大值和极小值两相邻极大值或极小值之间的距离为2极大值与极小值的数值不随接收器与声源的距离而变化
第 19
卷 第 4
期 广 西 物 理 GU AN GX IW U L
I V
o
l.
19 N o.
4
1998
声速测定数据的处理方法
法的讨论[1 ]存在的问题。
如果一定要从量的角度来讨论哪一种方法得到的结果更准确, 我们知道用最小二乘法求
线性方程
(7)
的系数即求
Κ是一种最可靠的方法。 2
因此,
将各种方法所得的结果与用最小二乘
法处理的结果进行比较, 可以得到正确的结论[2]。 对此, 本文不再赘述。
参 考 文 献
1 龚镇雄, 刘雪林主编 1 普通物理实验指导力学、热学和分子物理学 1 北京大学出版社, 19901139～ 142 2 龚镇雄著 1 普通物理实验中的数据处理 1 西北电讯工程学院出版社 11985 3 张兆奎等主编 1 大学物理实验 1 华东理工大学出版社 11990