【成才之路】2018-2019学年高中数学 1.2充分条件与必要条件练习 北师大版选修2-1

第一章 1.2 充分条件与必要条件
一、选择题
1．(2018·湖南文，2)“1<x<2”是“x<2”成立的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 因为“1<x<2”⇒“x>2”，而x>2⇒/ “1<x<2”，故“1<x<2”是“x>2”的充分不必要条件，故选A．
2．设x∈R，则“x>1
2
”是“2x2＋x－1>0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 本题考查充要条件，解一元二次不等式的知识．由2x2＋x－1>0得(x＋1)(2x－1)>0，
即x<－1或x>1
2
，又因为x>
1
2
⇒2x2＋x－1>0，
而2x2＋x－1>0⇒/ x>1
2
，选A．
3．(2018·揭阳一中期中)设集合M＝{x||x－1|<2}，N＝{x|x(x－3)<0}，那么“a∈M”是“a∈N”的( ) A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] M＝{x|－1<x<3}，N＝{x|0<x<3}，∵，∴选A．
4．已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( ) A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 本小题主要考查空间线面的垂直关系和应用充要条件解题的能力．由已知α，若α⊥β则有m⊥β，或m∥β或m与β相交；反之，若m⊥β，∵α，∴由面面垂直的判定定理知α⊥β.∴α⊥β是
m⊥β的必要不充分条件．故选B．
5．“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] a＝1能够使y＝|x－1|在[1，＋∞)上是增函数，但f(x)＝|x－a|在[1，＋∞)上是增函数，a可以小于1.
6．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 若m＝2，则A＝{1,4}，B＝{2,4}，
A∩B＝{4}，即m＝2⇒A∩B＝{4}，
若A∩B＝{4}，则m2＝4，m＝±2，
即A∩B＝{4}⇒/ m＝2，
∴m＝2是A∩B＝{4}的充分不必要条件．
二、填空题
7．已知数列{a n}，那么“对任意的n∈N＋，点P n(n，a n)，都在直线y＝2x＋1上”是“{a n}为等差数列”的________________条件．
[答案] 充分不必要
[解析] 点P n(n，a n)都在直线y＝2x＋1上，即a n＝2n＋1，
∴{a n}为等差数列，但是{a n}是等差数列却不一定就是a n＝2n＋1.
8．下列说法不正确的是________________．
①x2≠1是x≠1的必要条件；
②x>5是x>4的充分不必要条件；
③xy＝0是x＝0且y＝0的充要条件；
④x2<4是x<2的充分不必要条件．
[答案] ①③
[解析] “若x2≠1，则x≠1”的逆否
三、解答题
9．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.
[证明] 充分性：因为a－b＋c＝0，
即a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，
所以－1是ax2＋bx＋c＝0的一个根．
必要性：因为ax 2
＋bx ＋c ＝0有一个根为－1，
所以a·(－1)2＋b·(－1)＋c ＝0，即a －b ＋c ＝0.
综上可得ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为－1的充要条件是a －b ＋c ＝0.
[总结反思] 充要条件的判定和证明需要从充分性和必要性两个方面说明．
10．在下列各题中，判定p 是q 的什么条件．
(1)p ：x －2＝0；q ：(x －2)(x －3)＝0.
(2)p ：m<－2；q ：方程x 2－x －m ＝0无实根．
(3)p ：一个四边形是矩形；q ：四边形的对角线相等．
[分析] 看p 是否推出q ，q 是否推出p.
[解析] (1)∵x －2＝0⇒(x －2)(x －3)＝0；而(x －2)(x －3)＝0⇒/ x －2＝0.
所以p 是q 的充分不必要条件．
(2)∵m<－2⇒方程x 2－x －m ＝0无实根；而方程x 2－x －m ＝0无实根⇒/ m<－2.
∴p 是q 的充分不必要条件．
(3)由p ⇒q ，而q ⇒/ p ．所以p 是q 的充分不必要条件．
[总结反思] 用定义判断p 是q 的什么条件的基本程序是：
①定条件：确定条件和结论．
②找推式：确定p 与q 哪一个能推出哪一个．
③下结论：根据推式和结论下定义．
一、选择题
1．(2018·天津理)设a ，b ∈R ，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 本题考查简易逻辑中充分性、必要性．
当a>b ⇒a|a|>b|b|
当a>b>0时，a|a|－b|b|＝a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)>0成立
当b<a<0时a|a|－b|b|＝a 2＋b 2＝(b －a)(b ＋a)>0成立
当b<0<a 时，a|a|－b|b|＝a 2＋b 2>0成立
同理由a|a|>b|b|⇒a>B ．选C ．
2．若a 、b 为实数，则“0<ab<1”是“a<1b 或b>1a
”的( ) A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 本题主要考查不等式的性质及充要条件的判定等基础知识．
“0<ab<1”，则a，b同号，若a>0，b>0，由ab<1得a<1
b
；若a<0，b<0，由ab<1，得b>
1
a
，故“0<ab<1”
⇒“a<1
b
或b>
1
a
”；
当a<1
b
时，a－
1
b
＝
ab－1
b
<0，若b>0，则ab<1，但ab不一定满足ab>0；
若b<0，则ab>1，故“a<1
b
或b>
1
a
”⇒/ “0<ab<1”．选A．
3．设x、y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 本题主要考查充分必要条件．由x≥2且y≥2，则x2＋y2≥4一定成立，而x2＋y2≥4时，x≥2且y≥2不一定成立，如x≥3且y≥0，故是充分不必要条件．
4．(2018·江西临川十中期中)已知平面向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则“m＝1”是“(a－mb)⊥a”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] ∵|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝1×2×cos60°＝1，(a－mb)⊥a⇔(a－mb)·a＝0⇔|a|2－ma·b＝0⇔m＝1，故选C．
二、填空题
5．用“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”填空：
(1)“m≠3”是“|m|≠3”的________________；
(2)“四边形ABCD为平行四边形”是“AB∥CD”的________________；
(3)“a>b，c>d”是“a－c>b－d”的________________．
[答案] (1)必要不充分条件
(2)充分不必要条件
(3)既不充分也不必要条件
6．设m、n是整数，则“m、n均为偶数”是“m＋n是偶数”的________________．
[答案] 充分不必要条件
[解析] 当“m、n均为偶数”时，“m＋n是偶数”是成立的；而当“m＋n是偶数”时，“m、n均为偶数”不一定成立，如：3＋5＝8为偶数，但3,5都是奇数，∴“m、n均为偶数”是“m＋n是偶数”的充分不必要条件．
三、解答题
7．指出下列各组
(1)p：|x|＝|y|；q：x＝y；
(2)p：c＝0；q：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过原点；
(3)p ：四边形ABCD 为平行四边形；q ：四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ．
[解析] 观察各题中是由p ⇒q ，还是由q ⇒p ，然后利用定义得答案．
(1)因为“p ⇒q”为假
(2)c ＝0⇒抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)过原点；抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c(a≠0)过原点⇒c ＝0，所以p 是q 的充要条件，q 是p 的充要条件．
(3)因为p ⇔q 为真，所以p 是q 的充要条件，q 是p 的充要条件．
8．设p ：|4x －3|≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a≤0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． [解析] ∵|4x －3|≤1，∴12≤x≤1，
即p ：12≤x≤1.
由x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a≤0，
得(x －a)[x －(a ＋1)]≤0，
∴a≤x≤a＋1，即q ：a≤x≤a＋1.
∵p 是q 的充分不必要条件，∴p ⇒q ，q ⇒/
p. ∴{x|1
2＋1}．
故有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≥1
a≤1
2，解得0≤a≤
12.
所以a 的取值范围是0≤a≤1
2.。