2020版高考数学一轮复习课后限时集训9对数与对数函数(理)(含解析)北师大版

课后限时集训(九) 对数与对数函数
(建议用时：60分钟) A 组 基础达标
一、选择题 1．函数f (x )＝
ln
x ＋3
1－2
x
的定义域是( )
A
．(－3,0) B ．(－3,0]
C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)
D ．(－∞，－3)∪(－3,0)
A [因为f (x )＝
ln
x ＋3
1－2
x
，所以要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋3＞0，
1－2x
＞0，
即－3＜x ＜0.]
2．函数y ＝ln 1
|2x －3|
的图像为( )
A B
C D
A [由题意易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C ，D.当x ＞32时，函数为减函数，当x ＜3
2时，函数
为增函数，故选A.]
3．若函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为( ) A.2
4
B.22
C.14
D.12
A [∵0＜a ＜1，∴函数f (x )在定义域上是减函数，所以当x ∈[a,2a ]时，f (x )max ＝log a a ＝1，
f (x )min ＝lo
g a 2a .由已知得1＝3log a 2a ，∴a ＝(2a )3，解得a ＝
2
4
.故选A.] 4．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131
2，c ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π，则( ) A ．c ＜a ＜b B ．c ＜b ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c
B [法一：因为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＞b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＞0，c ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B. 法二：因为a 3
＝12＞b 3＝
127＝39，所以a ＞b ＞0.又c ＝ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B.]
5．已知定义在R 上的函数f (x )的周期为6，当x ∈[－3,3)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
－x ＋1，则f (－log 2
3)＋f (log 2 12)＝( ) A.373 B.403 C.433
D.463
C [f (－log 2 3)＋f (log 2 12)＝f (－log 2 3)＋f (－6＋log 2 12)＝f (－log 2 3)＋f ⎝
⎛⎭⎪⎫log 2 316＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12－log 2 3
＋log 2 3＋1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12log 2
316－log 2 316＋1＝3＋log 2 16＋2＋163＝433.故选C.]
二、填空题
6．计算：lg 0.001＋ln e ＋2
－1＋log 23
＝________.
－1 [原式＝lg 10－3
＋ln e 12＋2log 23
2＝－3＋12＋32
＝－1.]
7．函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
2x
，x ≤0，log 2x ，x ＞0，
则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14＝________；方程f (－x )＝12的解是________．
－2 －2或1 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2；当x ＜0时，由f (－x )＝log 2(－x )＝12，解得x ＝－2，
当x ≥0时，由f (－x )＝2－x
＝12
，解得x ＝1.]
8．若函数f (x )＝lg(10x
＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.
－12
[∵f (x )是偶函数，∴f (－1)＝f (1)，即lg(10－1＋1)－a ＝lg(101
＋1)＋a ，故2a ＝lg(10－1
＋1)－lg(101
＋1)＝lg 1110－lg 11＝lg 110＝－1，解得a ＝－12，而当a ＝－12
时，f (x )＝lg(10x
＋1)－12x ＝lg(10x ＋1)＋lg 10－1
2x ＝lg[(10x
＋1)10－12x ]＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1012
x ＋10－12x ，此时有f (－
x )＝f (x )，综上可知，若函数f (x )＝lg(10x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝－12
.]
三、解答题
9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；
(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，32上的最大值． [解] (1)∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)， ∴a ＝2.
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
1＋x ＞0，3－x ＞0，得x ∈(－1,3)，
∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )
＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2
＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，
故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.
10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝log 12x .
(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2
－1)＞－2.
[解] (1)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log 12 (－x )．
因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 所以函数f (x )的解析式为
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 12
x ，x ＞0，
0，x ＝0，
log 12
－x ，x ＜0.
(2)因为f (4)＝log 124＝－2，函数f (x )是偶函数，
所以不等式f (x 2
－1)＞－2可化为f (|x 2
－1|)＞f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x 2
－1|＜4，解得－5＜x ＜5， 即不等式的解集为(－5，5)．
B 组 能力提升
1．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x
＝3y
＝5z
，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z
D [令t ＝2x
＝3y
＝5z
， ∵x ，y ，z 为正数，∴t ＞1.
则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg t
lg 5.
∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t 2lg 3－3lg 2
lg 2×lg 3
＝
lg t lg 9－lg 8
lg 2×lg 3
＞0，
∴2x ＞3y .
又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t 2lg 5－5lg 2
lg 2×lg 5
＝
lg t lg 25－lg 32
lg 2×lg 5
＜0，
∴2x ＜5z ， ∴3y ＜2x ＜5z . 故选D.]
2．(2019·广东模拟)已知函数f (x )＝(e x －e －x
)x ，f (log 5 x )＋f (log 15x )≤2f (1)，则x 的取
值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤15，1 B ．[1,5] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，5 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，15∪[5，＋∞) C [∵f (x )＝(e x －e －x
)x ，
∴f (－x )＝－x (e －x
－e x )＝(e x －e －x
)x ＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．
∵f ′(x )＝(e x
－e －x )＋x (e x ＋e －x
)＞0在(0，＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0，＋∞)上递增． ∵f (log 5 x )＋f (log 1
5
x )≤2f (1)，
∴2f (log 5 x )≤2f (1)，即f (log 5 x )≤f (1)， ∴|log 5 x |≤1，∴1
5
≤x ≤5.故选C.]
3．(2019·沈阳质检)已知函数f (x )＝|log 3 x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2
，n ]上的最大值为2，则n
m
＝________.
9 [f (x )＝|log 3 x |＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
－log 3 x ，0＜x ＜1，log 3 x ，x ≥1，
所以f (x )在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，由0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )， 可得⎩⎪⎨⎪
⎧
0＜m ＜1，n ＞1，
log 3 n ＝－log 3 m ，
则⎩⎪⎨⎪
⎧
0＜m ＜1，n ＞1，mn ＝1，
所以0＜m 2
＜m ＜1，则f (x )在[m 2,
1)上递减，在(1，n ]上递增，所以f (m 2
)＞f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3 m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以n
m ＝9.]
4．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0，且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；
(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明；
(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的取值范围． [解] (1)因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1＞0，
1－x ＞0，解得－1＜x ＜1.
故所求函数的定义域为{x |－1＜x ＜1}． (2)f (x )为奇函数．
证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且
f (－x )＝lo
g a (－x ＋1)－log a (1＋x )
＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )． 故f (x )为奇函数．
(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域{x |－1＜x ＜1}上是增函数，由f (x )＞0，得x ＋11－x
＞1，解得
0＜x ＜1.所以x 的取值范围是(0,1)．。