等差等比数列(例、练及答案)

专题十：等差等比数列（例、练及答案）
1．等差数列的性质
例1：已知数列，为等差数列，若，，则_______． 2．等比数列的性质
例2：已知数列为等比数列，若，则的值为（） A ．
B ．
C ．
D ．
3．等差、等比综合
例3：设是等差数列，为等比数列，其公比，且，若，，
则有（） A ． B ．
C ．
D ．或
练习
一、单选题
1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（） A ．6斤
B ．7斤
C ．8斤
D ．9斤
2．设为等差数列的前项和，若，，则（） A ．66
B ．68
C ．77
D ．84
3．已知等比数列的前项和为，且满足，则的值为（）
A ．4
B ．2
C ．
D ．
4．已知等差数列的前项和为，，则（）
{}n a {}n b 117a b +=3321a b +=55a b +={}n a 4610a a +=()713392a a a a a ++1020100200{}n a {}n b 1q ≠()01,2,3,,i b i n >=L 11a b =1111a b =66a b =66a b >66a b <66a b >66a b <n S {}n a n 540S =9126S =7S ={}n a n n S 122n n S λ+=+λ2-4-{}n a n n S 5714a a +=11S =
A ．140
B ．70
C ．154
D ．77
5．已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则公比的值为（） A ．
B ．
C ．1或
D ．或
6．公比不为1的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，
则（） A ．
B ．0
C ．5
D ．7
7．等比数列的各项均为正数，且，则（） A ．12
B ．10
C ．8
D ．
8．设公差为的等差数列，如果，那么等于（） A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知等差数列的前项和为，且，则数列的第三项为（） A ．3
B ．
C ．
D ．6
10．等差数列的前项和为，若，则（） A ．27
B ．36
C ．45
D ．66
11．设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论错误．．的是（） A ． B ．
C ．
D ．与均为的最大值
12．定义函数如下表，数列满足，，若，则（）
{}n a q 1a 3a 2a q 12
-2-12
-1-12
{}n a n n S 12a -212
a -3a 11a =4S =5-{}n a 564718a a a a +=3132310log log log a a a +++=L 32log 5+2-{}n a 1479750a a a a +++=+L 36999a a a a ++++L 182-78-148-82-{}n a n n S 133215S S -={}n a 4-5-{}n a n n S 81026a a =+11S ={}n a q n K n 56K K <678K K K =>01q <<71a =95K K >6K 7K n K ()f x {}n a ()1n n a f a +=n *∈N 12a =1232018a a a a ++++=L
A ．7042
B ．7058
C ．7063
D ．7262
二、填空题
13．已知等差数列，若，则________．
14．已知等比数列的前项和为，若公比，且，则的值
是___________．
15．设是等差数列的前项和，若
，则_______． 16．在等差数列中，，则的值是_______．
三、解答题
17．已知数列中，，． （1）求；
（2）若，求数列的前5项的和．
18．设是等差数列，其前项和为；是等比数列，公比大于0
，其前{}n a 2376a a a ++=17a a +={}n a n n
S q =1231a a a ++=12S n S {}n a n 53109a a =95
S
S ={}n a 14101619100a a a a a ++++=161913a a a -+{}n a 12a =12n n a a +=n a n n b n a =+{}n b 5S {}n a n ()
*n S n ∈N {}n b n
项和为．
已知，，，． （1）求和；
（2）若，求正整数的值．
参考答案
1．【答案】
【解析】∵，为等差数列，∴也为等差数列， ∴，∴． 2．【答案】C
【解析】与条件联系，可将所求表达式向，靠拢，
从而，
即所求表达式的值为．故选C ． 3．【答案】B
【解析】抓住，和，的序数和与，的关系，从而以此为入手点． 由等差数列性质出发，，， 因为，而为等比数列，联想到与有关，
所以利用均值不等式可得：；
（故，均值不等式等号不成立）
所以．即．故选B ．
()
*n T n ∈N 11b =322b b =+435b a a =+5462b a a =+n S n T ()124n n n n S T T T a b ++++=+L n 35{}n a {}n b {}n n a b +()()()3311552a b a b a b +=+++()()553311235a b a b a b +=+-+=4610a a +=4a 6a ()()2
2271339717339446646222a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+1001a 11a 1b 11b 6a 6b 11a b =1111111111a b a a b b =⇒+=+11162a a a +={}n b 111b b ⋅6
b 11162b b b +>=1q ≠111b b ≠1111116622a a b b a b +=+⇒>66a b >
练习
一、单选题 1．【答案】D
【解析】原问题等价于等差数列中，已知，，求的值． 由等差数列的性质可知：，， 则，即中间三尺共重9斤．故选D ．
2．【答案】C
【解析】根据等差数列的求和公式，，化简得，
根据等差数列通项公式得，解方程组得，
．故选C ．
3．【答案】C
【解析】根据题意，当时，，故当时，， ∵数列是等比数列，则，故；解得．故选C ． 4．【答案】D
【解析】等差数列的前项和为，， ∴．故选D ． 5．【答案】C
【解析】由题意知：，∴，即， ∴或．故选C ． 6．【答案】A
【解析】设的公比为，由，，成等差数列，可得，
若，可得，解得，
14a =52a =234a a a ++24156a a a a +=+=15
332
a a a +=
=2349a a a ++=53540S a ==959126S a ==35814a a =⎧⎨=⎩1128414a d a d +=⎧⎨+=⎩12
3a d =⎧⎨=⎩()()741773723377S a a d ==+=⨯+⨯=1n =11224S a λ==+2n ≥112n n n n a S S --=-={}n a 11a =412
λ
+=2λ=-{}n a n n S 5714a a +=57111111411111177222
a a a a S ++=
⋅=⋅=⋅=3122a a a =+21112a q a q a =+221q q =+1q =1
2
q =-{}n a q 12a -21
2a -3a 2132a a a -=-+11a =22q q -=-+()21q =-舍去
则，故选A ．
7．【答案】B
【解析】由等比数列的性质结合题意可知：， 且， 据此结合对数的运算法则可得：
．故选B ．
8．【答案】D
【解析】由两式的性质可知：， 则．故选D ． 9．【答案】C
【解析】设等差数列的公差为d ，
∵，∴，∴．故选C ． 10．【答案】D
【解析】∵，∴，∴，∴，故
选D ． 11．【答案】C
【解析】设等比数列，是其前项的积，所以，
由此，， 所以，所以B 正确，
由，各项为正数的等比数列，可知，所以A 正确， ，可知，
由，所以单调递减，
在，7时取最小值，
所以在，7时取最大值，所以D 正确．故选C ．
()()
()
4
4141125112a q S q
---=
=
=----56479a a a a ==110293847569a a a a a a a a a a =====()53132310312103log log log log log 910a a a a a a +++===L L 36999147972222a a a a a d a d a d a d +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++36999506682a a a a d +++⋅⋅⋅+=+=-{}n a 133215S S -=()112312321536a a a a a a ++==--1325a d a +=-=81026a a =+610106a a a +=+66a =()
1111161111662
a a S a +===1
1n n a a q
-=n K n ()12
1
n n n
n K a q
-=55611K K a q <⇒<66711K K a q =⇒=77811K K a q >⇒>6711a a q ==511a q <01q <<6
11a q =()12
1
n n n n K a q
-=()()
1132
2
1
n n n n n n K a q
q
--==01q <<x q ()n n 132
-6n =n K 6n =
12．【答案】C
【解析】由题设知，，，，，， ∵，，，
∴，，，， ，，……，
∴是周期为6的周期数列， ∵，
∴，故选C ．
二、填空题 13．【答案】4
【解析】∵，∴，∴， ∴，∴．故答案为4． 14．【答案】15
【解析】已知，则，
又
；∴．
15．【答案】2
【解析】，又，代入得．
16．【答案】20
【解析】
根据等差数列性质，所以， 根据等差数列性质，．
()13f =()25f =()34f =()46f =()51f =()62f =12a =()1n n a f a +=n *∈N 12a =()225a f ==()351a f ==()413a f ==()534a f ==()646a f ==()762a f =={}n a 201833662=⨯+()1232018336123456257063a a a a ++++=⨯+++++++=L 2376a a a ++=1396a d +=132a d +=42a =17424a a a +==1231a a a ++=()313111a q S q
-=
=-q =11a q =-()()(
)12
12
1121111511q a q S q
q
---=
=
=--()()199553159
92552
a a S a S a a a
+==+53109a a =95910
259S S =⨯=14101619105100a a a a a a ++++==1020a =1619131613191910191020a a a a a a a a a a -+=+-=+-==
三、解答题
17．【答案】（1）；（2）77． 【解析】（1），，
则数列是首项为2，公比为2的等比数列，； （2），
．
18．【答案】（1），；（2）4．
【解析】（1）设等比数列的公比为，由，，可得． 因为，可得，故．所以．
设等差数列的公差为． 由，可得．
由得，从而，， 故，所以．
（2）由（1），有．
由，可得
，
整理得，解得（舍），或． 所以的值为4．
2n n a =12a =12n n a a +={}n a 1222n n n a -=⨯=2n n n b n a n =+=+()()()()()234551222324252S =+++++++++()()23451234522222=+++++++++()5155
222
77212
+⨯-⨯=+=-()
12
n n n S +=21n n T =-{}n b q 11b =322b b =+220q q --=0q >2q =1
2n n b -=122112
n
n n T -==--{}n a d 435b a a =+134a d +=5462b a a =+131316a d +=11a =1d =n a n =()12
n n n S +=
()()1121221222212
22n n n n n T n T T n ++++⨯-=+++-=-=---L L ()124n n n n S T T T a b ++++=+L ()1112222
n n n n n n ++++--=+2340n n --=1n =-4n =n。