2017高考数学一轮总复习(文理科)配套课件：第八章 解析几何 8.3
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射线y=- 3x(x<0)交于M,与x轴正半轴交于N,则当r变化时,|AM|+|BN|的最小值为
【解题思路】由题意可得M
2x+y+4=0.
− 2 − 3 = 0,
= −1,
得
则圆心为(-1,-2),
= −2,
2 + + 4 = 0
又r= (2 + 1)2 + (−3 + 2)2 = 10,
所以圆的标准方程是(x+1)2+(y+2)2=10.
【参考答案】(x+1)2+(y+2)2=10
由
第八页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
)
2
3
A.a<-2
B.- <a<0
C.-2<a<0
D.-2<a<3
2
2
3.D 【解析】由已知可得 a2+4a2-4(2a2+a-1)>0,化简得 3a2+4a-4<0,解得-2<a<3.
第六页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
第三节 圆的方程
第八章
主干知识回顾
主干知识回顾
4.如果实数x,y满足x2+y2-8x+4=0,那么 的最大值为
(1)求 的最大值和最小值;
(2)求y-x的最大值和最小值;
(3)求x2+y2的最大值和最小值.
【解题思路】根据代数式的几何意义,借助平面几何知识,数形结合求解.
【参考答案】原方程可化为(x-2)2+y2=3.
(1) 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率, 由图可知, 过原点的直线与圆相切时, 取得最大值或最小值.
①(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔点M在圆上;
②(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔点M在圆外;
③(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔点M在圆内.
4.常用的数学方法与思想
直接法、定义法、数形结合思想、转化化归思想.
第五页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
第八章
第三节 圆的方程
主干知识回顾
唯一的公共点,则圆的方程为
.
x2+y2=1或x2+y2=37 【解析】直线CA的方程是x+2y-4=0,原点O到AB,BC,CA的距离分别为2,1,
4 5
. 当圆的半径为1时,
5
圆与相切, 与其余两边相离, 所以与三角形有唯一的公共点, 此时圆
的方程为x2+y2=1. 又因为 = 13, = 5, = 37,所以当圆经过C点时,与三角形有唯一的公共点,此时圆的方程
数法和几何法.代数法是根据条件设出合适的方程,再根据条件建立方程
组求解;几何法则是根据圆的几何性质求解.
★★★
(2)与圆有关的最值问题也是重要考点,通常考查与截距、斜率或者距离
有关的最值或者取值范围,要熟悉几种常见目标函数的几何意义.
第二页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
第三节 圆的方程
第八章
主干知识回顾
典例1
.
(2 − a)2 + (−3 − )2 = 2 ,
= −1,
由条件知 (−2 − )2 + (−5 − )2 = 2 , 解方程组得 = −2,
2 = 10,
− 2 − 3 = 0,
即圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
1
2
解法2:kAB= ,AB的中点是(0,-4),所以AB的中垂线方程为
与圆有关的最值问题的类型和解法
-
型的,转化为直线斜率
-
涉及与圆有关的最值问题,一般要借助图形性质,利用数形结合求解.一般地,形如 u=
的最值问题求解;形如 z=ax+by 型的,转化为动直线截距的最值问题求解;形如 m=(x-a)2+(y-b)2 型的,转化为两
点间距离平方的最值问题求解.
第十四页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
.
1 + 25 − + 5 + = 0,
5.x2+y2-4x-2y-20=0 【解析】设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入A,B,C三点的坐标,得 4 + 4 − 2 − 2 + = 0,
25 + 25 Байду номын сангаас 5 + 5 + = 0,
= −4,
解方程组得 = −2, 故△ABC的外接圆的方程为x2+y2-4x-2y-20=0.
= −20,
第七页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
第八章
第三节 圆的方程
主干知识回顾
名师考点精讲
综合能力提升
-8-
考点 1 求圆的方程
圆心在直线x-2y-3=0上,且过A(2,-3),B(-2,-5),则圆的标准方程为
【解题思路】可以用待定系数法或者几何法求圆的方程.
解法1:设所求的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
第八章
第三节 圆的方程
主干知识回顾
名师考点精讲
综合能力提升
-11-
【变式训练】
(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O
为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.
4. 3
名师考点精讲
综合能力提升
-7-
.
【解析】代数式 的几何意义是圆上的点与原点连线的斜率, 当直线与圆相切, 且直线的斜率大于零
时, 斜率最大, 设直线方程为 = , > 0, 则
|4|
2 +1
= 2 3, 解得 = 3(负值已舍), 即 的最大值为 3.
5.(2015·湘潭质检)△ABC的三个顶点坐标分别是A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),则△ABC的外接圆的方程为
要充分应用圆的几何性质,如“圆心在圆的任意一条弦的垂直平分线上”、“半径、弦心距、弦长的一半构成
直角三角形”等.
第四页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
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第三节 圆的方程
主干知识回顾
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综合能力提升
-5-
3.点与圆的位置关系
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0).
2
2
0),把一般方程配方得
为圆心,
1
2
2
+
2
+
2
+
2
=
2 + 2 −4
.
4
2 + 2 − 4 为半径的圆;
2
2
②当D2+E2-4F=0时,方程只有实数解x=- ,y=- ,即只表示一个点 − , −
;
2
③当D2+E2-4F<0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.
综上所述,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有当D2+E2-4F>0时,它表示的曲线才是圆.
第三页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
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第三节 圆的方程
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综合能力提升
-4-
2.圆的方程的几种求法
(1)待定系数法(代数法)
使用待定系数法的一般步骤:
又过原点的圆的切线斜率为 ± 3,
故 的最大值是 3, 最小值是 − 3.
第十三页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
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第三节 圆的方程
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综合能力提升
-14-
(2)y-x可以看作直线y=x+b在y轴上的截距.当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时
|2+|
①根据题设,选择标准方程或一般方程;
②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;
③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.
(2)几何法:利用圆的几何性质求解.
说明:求圆的方程必须具备三个独立条件.从圆的标准方程上来讲,关键在于求出圆心坐标和半径;从圆的一
般方程来讲,能够知道圆上三点即可求出,因此,待定系数法是求圆的方程的常用方法.用几何法求圆的方程,
为x2+y2=37.综上,所求圆的方程为x2+y2=1或x2+y2=37.
第九页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
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第三节 圆的方程
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-10-
考点 2 与圆有关的轨迹问题
典例2
已知B(1,0),C(2,3),满足EB= 2EC,点E在曲线τ上,则曲线τ的方程为
2
= 3, 解得 = −2 ± 6,
故y-x的最大值是-2+ 6, 最小值是 − 2 −
6.
(3)x2+y2表示圆上一点与原点距离的平方.
由平面几何知识知,原点与圆心连线所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.
又圆心到原点的距离为2,
故x2+y2的最大值为(2+ 3)2 = 7 + 4 3, 最小值为(2 − 3)2 = 7 − 4 3.
.
【解题思路】设出点E的坐标,利用直接法求曲线τ的方程.设点E(x,y),则由EB= 2EC得(x-1)2+y2=
2[(x-2)2+(y-3)2],化简得(x-3)2+(y-6)2=20,即为曲线τ的方程.
【参考答案】(x-3)2+(y-6)2=20
求与圆有关的轨迹问题的四种方法
第十页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
1
3
8
3
故l的方程为y=- + .
又|OM|=|OP|=2 2, 到的距离为
4 10
, ||
5
=
4 10
,
5
16
所以△POM的面积为 5 .
第十二页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
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-13-
考点 3 与圆有关的最值问题
典例3 已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.
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-3-
1.圆的方程
(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程;
(2)圆的一般方程:x +y
2
2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>
2
①当D2+E2-4F>0时,方程表示以 − , −
第八章
第三节 圆的方程
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-9-
圆的方程的求解方法
(1)待定系数法(代数法):根据需要先设出圆的标准方程或一般方程,再根据题意建立方程组,解方程组即可;
(2)几何法:应用圆的几何性质求解圆心坐标和半径.
【变式训练】
(2015·山东实验中学月考)已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-2,3),B(-2,-1),C(6,-1),以原点为圆心的圆与三角形有
)
A.(x-3)2+(y+1)2=4
B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(x-1)2+(y-1)2=4
D.(x+1)2+(y-1)2=4
2.C 【解析】线段MN的中垂线方程为y=x,与x+y-2=0联立,解得圆心为A(1,1),半径AM=2,所以该圆的标
准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
3.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则实数a的取值范围是(
【解析】(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,
所以圆心为C(0,4),半径为4.
设M(x,y),则 = (, − 4), =(2-x,2-y).
由题设知 · =0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,
即(x-1)2+(y-3)2=2.
由于点P在圆C的内部,
所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.
第十一页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
第八章
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-12-
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 2为半径的圆.
由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,
又P在圆N上,从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3,
1
3
所以l的斜率为- ,
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1.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是 (
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-6-
)
A.(-1,1)
B.(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.{-1,1}
1.A 【解析】由题意可得(1-a)2+(1+a)2<4,化简得a2<1,解得-1<a<1.
2.(2015·银川一中月考)已知圆过点M(1,-1),N(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上,则该圆的标准方程是(
第八章
第三节 圆的方程
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-15-
对称性与圆的综合应用
圆是对称性图形,解题时灵活应用圆的对称性可以使问题事半功倍,否则可能会出现因为繁琐的运算导致错误,或者根本
算不出结果.
典例 (2015·上海十三校联考)在平面直角坐标系中有两点A(-1,3 3),B(1, 3),以原点为圆心,r(r>0)为半径作一个圆,与
第三节 圆的方程
第一页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
第八章
考纲概述
(1)掌握确定圆的几何要
素,掌握圆的标准方程与
第三节 圆的方程
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考查热点
圆的方程
一般方程;
与圆相关的
(2)初步了解用代数方法
最值或取值
处理几何问题的思想.
范围
考查频次
★★★★
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综合能力提升
-2-
备考指导
(1)圆的方程是重要考点,主要考查根据已知条件求圆的方程,解法有代
【解题思路】由题意可得M
2x+y+4=0.
− 2 − 3 = 0,
= −1,
得
则圆心为(-1,-2),
= −2,
2 + + 4 = 0
又r= (2 + 1)2 + (−3 + 2)2 = 10,
所以圆的标准方程是(x+1)2+(y+2)2=10.
【参考答案】(x+1)2+(y+2)2=10
由
第八页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
)
2
3
A.a<-2
B.- <a<0
C.-2<a<0
D.-2<a<3
2
2
3.D 【解析】由已知可得 a2+4a2-4(2a2+a-1)>0,化简得 3a2+4a-4<0,解得-2<a<3.
第六页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
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第八章
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4.如果实数x,y满足x2+y2-8x+4=0,那么 的最大值为
(1)求 的最大值和最小值;
(2)求y-x的最大值和最小值;
(3)求x2+y2的最大值和最小值.
【解题思路】根据代数式的几何意义,借助平面几何知识,数形结合求解.
【参考答案】原方程可化为(x-2)2+y2=3.
(1) 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率, 由图可知, 过原点的直线与圆相切时, 取得最大值或最小值.
①(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔点M在圆上;
②(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔点M在圆外;
③(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔点M在圆内.
4.常用的数学方法与思想
直接法、定义法、数形结合思想、转化化归思想.
第五页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
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唯一的公共点,则圆的方程为
.
x2+y2=1或x2+y2=37 【解析】直线CA的方程是x+2y-4=0,原点O到AB,BC,CA的距离分别为2,1,
4 5
. 当圆的半径为1时,
5
圆与相切, 与其余两边相离, 所以与三角形有唯一的公共点, 此时圆
的方程为x2+y2=1. 又因为 = 13, = 5, = 37,所以当圆经过C点时,与三角形有唯一的公共点,此时圆的方程
数法和几何法.代数法是根据条件设出合适的方程,再根据条件建立方程
组求解;几何法则是根据圆的几何性质求解.
★★★
(2)与圆有关的最值问题也是重要考点,通常考查与截距、斜率或者距离
有关的最值或者取值范围,要熟悉几种常见目标函数的几何意义.
第二页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
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典例1
.
(2 − a)2 + (−3 − )2 = 2 ,
= −1,
由条件知 (−2 − )2 + (−5 − )2 = 2 , 解方程组得 = −2,
2 = 10,
− 2 − 3 = 0,
即圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
1
2
解法2:kAB= ,AB的中点是(0,-4),所以AB的中垂线方程为
与圆有关的最值问题的类型和解法
-
型的,转化为直线斜率
-
涉及与圆有关的最值问题,一般要借助图形性质,利用数形结合求解.一般地,形如 u=
的最值问题求解;形如 z=ax+by 型的,转化为动直线截距的最值问题求解;形如 m=(x-a)2+(y-b)2 型的,转化为两
点间距离平方的最值问题求解.
第十四页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
.
1 + 25 − + 5 + = 0,
5.x2+y2-4x-2y-20=0 【解析】设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入A,B,C三点的坐标,得 4 + 4 − 2 − 2 + = 0,
25 + 25 Байду номын сангаас 5 + 5 + = 0,
= −4,
解方程组得 = −2, 故△ABC的外接圆的方程为x2+y2-4x-2y-20=0.
= −20,
第七页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
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考点 1 求圆的方程
圆心在直线x-2y-3=0上,且过A(2,-3),B(-2,-5),则圆的标准方程为
【解题思路】可以用待定系数法或者几何法求圆的方程.
解法1:设所求的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
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【变式训练】
(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O
为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.
4. 3
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-7-
.
【解析】代数式 的几何意义是圆上的点与原点连线的斜率, 当直线与圆相切, 且直线的斜率大于零
时, 斜率最大, 设直线方程为 = , > 0, 则
|4|
2 +1
= 2 3, 解得 = 3(负值已舍), 即 的最大值为 3.
5.(2015·湘潭质检)△ABC的三个顶点坐标分别是A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),则△ABC的外接圆的方程为
要充分应用圆的几何性质,如“圆心在圆的任意一条弦的垂直平分线上”、“半径、弦心距、弦长的一半构成
直角三角形”等.
第四页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
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3.点与圆的位置关系
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0).
2
2
0),把一般方程配方得
为圆心,
1
2
2
+
2
+
2
+
2
=
2 + 2 −4
.
4
2 + 2 − 4 为半径的圆;
2
2
②当D2+E2-4F=0时,方程只有实数解x=- ,y=- ,即只表示一个点 − , −
;
2
③当D2+E2-4F<0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.
综上所述,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有当D2+E2-4F>0时,它表示的曲线才是圆.
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-4-
2.圆的方程的几种求法
(1)待定系数法(代数法)
使用待定系数法的一般步骤:
又过原点的圆的切线斜率为 ± 3,
故 的最大值是 3, 最小值是 − 3.
第十三页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
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-14-
(2)y-x可以看作直线y=x+b在y轴上的截距.当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时
|2+|
①根据题设,选择标准方程或一般方程;
②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;
③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.
(2)几何法:利用圆的几何性质求解.
说明:求圆的方程必须具备三个独立条件.从圆的标准方程上来讲,关键在于求出圆心坐标和半径;从圆的一
般方程来讲,能够知道圆上三点即可求出,因此,待定系数法是求圆的方程的常用方法.用几何法求圆的方程,
为x2+y2=37.综上,所求圆的方程为x2+y2=1或x2+y2=37.
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考点 2 与圆有关的轨迹问题
典例2
已知B(1,0),C(2,3),满足EB= 2EC,点E在曲线τ上,则曲线τ的方程为
2
= 3, 解得 = −2 ± 6,
故y-x的最大值是-2+ 6, 最小值是 − 2 −
6.
(3)x2+y2表示圆上一点与原点距离的平方.
由平面几何知识知,原点与圆心连线所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.
又圆心到原点的距离为2,
故x2+y2的最大值为(2+ 3)2 = 7 + 4 3, 最小值为(2 − 3)2 = 7 − 4 3.
.
【解题思路】设出点E的坐标,利用直接法求曲线τ的方程.设点E(x,y),则由EB= 2EC得(x-1)2+y2=
2[(x-2)2+(y-3)2],化简得(x-3)2+(y-6)2=20,即为曲线τ的方程.
【参考答案】(x-3)2+(y-6)2=20
求与圆有关的轨迹问题的四种方法
第十页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
1
3
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3
故l的方程为y=- + .
又|OM|=|OP|=2 2, 到的距离为
4 10
, ||
5
=
4 10
,
5
16
所以△POM的面积为 5 .
第十二页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
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名师考点精讲
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-13-
考点 3 与圆有关的最值问题
典例3 已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.
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综合能力提升
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1.圆的方程
(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程;
(2)圆的一般方程:x +y
2
2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>
2
①当D2+E2-4F>0时,方程表示以 − , −
第八章
第三节 圆的方程
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圆的方程的求解方法
(1)待定系数法(代数法):根据需要先设出圆的标准方程或一般方程,再根据题意建立方程组,解方程组即可;
(2)几何法:应用圆的几何性质求解圆心坐标和半径.
【变式训练】
(2015·山东实验中学月考)已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-2,3),B(-2,-1),C(6,-1),以原点为圆心的圆与三角形有
)
A.(x-3)2+(y+1)2=4
B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(x-1)2+(y-1)2=4
D.(x+1)2+(y-1)2=4
2.C 【解析】线段MN的中垂线方程为y=x,与x+y-2=0联立,解得圆心为A(1,1),半径AM=2,所以该圆的标
准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
3.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则实数a的取值范围是(
【解析】(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,
所以圆心为C(0,4),半径为4.
设M(x,y),则 = (, − 4), =(2-x,2-y).
由题设知 · =0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,
即(x-1)2+(y-3)2=2.
由于点P在圆C的内部,
所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.
第十一页，编辑于星期六：二十点 四十二分。
第八章
第三节 圆的方程
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(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 2为半径的圆.
由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,
又P在圆N上,从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3,
1
3
所以l的斜率为- ,
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1.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是 (
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)
A.(-1,1)
B.(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.{-1,1}
1.A 【解析】由题意可得(1-a)2+(1+a)2<4,化简得a2<1,解得-1<a<1.
2.(2015·银川一中月考)已知圆过点M(1,-1),N(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上,则该圆的标准方程是(
第八章
第三节 圆的方程
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对称性与圆的综合应用
圆是对称性图形,解题时灵活应用圆的对称性可以使问题事半功倍,否则可能会出现因为繁琐的运算导致错误,或者根本
算不出结果.
典例 (2015·上海十三校联考)在平面直角坐标系中有两点A(-1,3 3),B(1, 3),以原点为圆心,r(r>0)为半径作一个圆,与
第三节 圆的方程
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第八章
考纲概述
(1)掌握确定圆的几何要
素,掌握圆的标准方程与
第三节 圆的方程
主干知识回顾
考查热点
圆的方程
一般方程;
与圆相关的
(2)初步了解用代数方法
最值或取值
处理几何问题的思想.
范围
考查频次
★★★★
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备考指导
(1)圆的方程是重要考点,主要考查根据已知条件求圆的方程,解法有代