山东省威海文登市高三数学3月质量检测 理 新人教B版

高三理科数学适应性练习
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将本试卷答题纸和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 选择题（共60分） 注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
3.答第Ⅱ卷前将答题纸密封线内的项目填写清楚.
4.第Ⅱ卷试题解答要作在答题纸各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效.
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数11i
z i +=
-，则2121i z +-的共轭复数是 A ．12i -- B ．12i -+ C ．12i - D ．12
i +
2.已知集合11,2A ⎧
⎫=-⎨⎬⎩
⎭
，{}
01=-=mx x B ，若B B A =I ，则所有实数m 组成的集合是
A ．{}0,1,2-
B ．1,0,12⎧⎫-
⎨⎬⎩⎭ C ．{}1,2- D ． 11,0,2⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭
3.下列各小题中，p 是q 的充要条件的是 （1）:cos cos ;p αβ= :sin sin q αβ=；
（2）()
:
1;()
f x p f x -=- :()q y f x =是奇函数； （3）:;p A B B =U :U U q C B C A ⊆；
（4）:2p m <或6m >；2
:3q y x mx m =+++有两个不同的零点. A ．(1)(3) B ．(3)(4) C ．(3) D ．(4)
4.已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.9P ξ<=，则(02)P ξ<<=
A.0.2
B.0.3
C.0.4
D.0.6
5.方程22
123
x y m m -=--表示双曲线，则m 的取值范围是
A ．23m <<
B ．30m -<< 或02m <<或3m >
C ．3>m 或23<<-m
D ．23m <<或3m <-
6.一个样本容量为20的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{}n a ，若38a =且前
4项和428S =，则此样本的平均数和中位数分别是
A ．22,23
B ． 23,22
C ．23,23
D ．23,24
7.右面的程序框图中，若输出S 的值为126，则图中应填上的
条件为
A ．5n ≤
B ．6n ≤
C ．7n ≤
D ．8n ≤ 8.设函数()sin(2)6
f x x π
=+
，则下列结论正确的是
A ．()f x 的图像关于直线3
x π
=对称
B ．()f x 的图像关于点(
,0)6
π
对称
C ．()f x 的最小正周期为π，且在[0,]12
π
上为增函数
D ．把()f x 的图像向右平移
12π
个单位，得到一个偶函数的图像 9.设,,,O A B M 为平面上四点，(1),(0,1)OM OA OB λλλ=+-∈u u u u r u u u r u u u r
，则
A ．点M 在线段A
B 上 B ．点B 在线段AM 上
C ．点A 在线段BM 上
D ．,,,O A B M 四点共线
10.二项式3(ax -
的展开式的第二项的系数为-2
2a x dx -⎰的值为
A.3
B. 73
C. 3或73
D. 3或10
3
-
11.在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为2
2
8150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为 A.2 B.
43 C. 2
3
D. 3 12.对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合：12,x x R ∀∈且21x x >，
有212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-.下列结论中正确的是 A. 若12(),()f x M g x M αα∈∈，则12()()f x g x M αα++∈
B. 若12(),()f x M g x M αα∈∈且12αα>，则12()()f x g x M αα--∈
C. 若12(),()f x M g x M αα∈∈，则12()()f x g x M αα⋅⋅∈
D. 若12(),()f x M g x M αα∈∈且()0g x ≠，则
12
()
()f x M g x αα∈ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13.设不等式组01
02
x y ≤≤⎧⎨
≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原
点的距离大于1的概率是 ．
14.已知命题[]2:1,4,p x x a ∀∈≥,命题,022,:2
=-++∈∃a ax x R x q 若命题“q p 且”是真命题,则实数a 的取值范围为 . 15.如图，已知球O 的面上有四点,,,A B C D ，
DA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,2DA AB BC ===, 则球O 的体积与表面积的比为 ．
16.函数12
()3sin log f x x x π=-的零点的个数是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且1
cos 2
a C c
b -=. (Ⅰ)求角A 的大小;
(Ⅱ)若1a =,求ABC ∆的周长l 的取值范围.
18.（本小题满分12分）
某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为
2
3
，且各局比赛胜负互不影响. （Ⅰ）求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；
（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）
如图，在多面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，AD ⊥平面DEFG ，BA AC ⊥,DG ED ⊥,EF ∥DG ． 且1,2AC AB ED EF ==== , 4AD DG ==．
A B
C
D
E
G
F
（Ⅰ）求证：BE ⊥平面DEFG ; （Ⅱ）求证：BF ∥平面ACGD ； （Ⅲ）求二面角F BC A --的余弦值． 20．（本题满分12分）
已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，n S 为前n 项和，5a 和7a 的等差中项为11，且
25114a a a a ⋅=⋅．令1
1
,n n n b a a +=
⋅数列{}n b 的前n 项和为n T ．
（Ⅰ）求n a 及n T ；
（Ⅱ）是否存在正整数1,(1),,,m n m n m n T T T <<使得成等比数列？若存在，求出所有的
,m n 的值；若不存在，请说明理由．
21.(本小题满分12分）
设点(,)P x y 到直线2x =的距离与它到定点(1,0)
，并记点P 的轨迹为曲线C ．
（Ⅰ）求曲线C 的方程;
（Ⅱ）设(2,0)M -，过点M 的直线l 与曲线C 相交于,E F 两点，当线段EF 的中点落在由四点1212(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)C C B B --构成的四边形内（包括边界）时，求直线l 斜率的取值范围．
22.(本小题满分14分）
已知函数()ln(1)(x
f x e a a =++为常数)是实数集R 上的奇函数，函数
()()sin g x f x x λ=+在区间[]1,1-上是减函数．
（Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）若()1g x t λ≤-在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数t 的最大值； （Ⅲ）若关于x 的方程
2ln 2()
x
x ex m f x =-+有且只有一个实数根，求m 的值． 201303理科数学 参考答案及评分标准
一、,,BACCD CBCAC BA
二、13.18
π
-
14. 1a =或2a ≤- 15. 1:9 三．解答题
17.解(Ⅰ)由1cos 2a C c b -
=得1
sin cos sin sin 2
A C C
B -= …………2分 又sin sin()sin cos cos sin B A
C A C A C =+=+
11
sin cos sin ,sin 0,cos 22
C A C C A ∴=-≠∴=-Q …………4分 又0A π<<Q 23
A π
∴= …………6分
(Ⅱ)由正弦定理得:B A B a b sin 32sin sin ==
,C c sin 3
2
=
)())1sin sin 1sin sin
l a b c B C B A B =++=+
+=+++
11(sin )1)
223B B B π
=+=+…………9分
22,(0,),(,)33333
A B B πππππ
=
∴∈∴+∈Q ,…………10分
sin()3B π∴+∈
故ABC ∆的周长l 的取值范围为1]+. …………12分
18解（Ⅰ）由题意知，乙每局获胜的概率皆为21
133
-
=.…………1分 比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即头两局乙胜一局，3,4局连胜，则
12212114333381
P C =⋅⋅⋅=. …………4分
（Ⅱ）由题意知，ξ的取值为2,4,6. ………5分 则22215
(2)()()339
P ξ==+=
…………6分
1212
2212212120(4)()()33333381
P C C ξ==+= …………7分
12
21216(6)()3381
P C ξ=== …………9分
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 2 4 6 P
59
2081
1681
………10分
则52016266
2469818181
E ξ=⨯
+⨯+⨯=
…………12 19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）Q 平面ABC ∥平面DEFG ,平面ABC I 平面ADEB AB =,平面DEFG I 平面
ADEB DE =,AB ∴∥DE ………1分
又,AB DE =∴Q 四边形ADEB 为平行四边形，BE ∴∥AD ……2分
AD ⊥Q 面,DEFG BE ∴⊥平面.DEFG ……3分
（Ⅱ）设DG 的中点为M ，连接,AM MF ，则1
22
DM DG =
=， 2,EF EF =Q ∥DG ,∴四边形DEFM 是平行四边形…………4分
∴MF DE MF =且∥DE ，由（Ⅰ）知，ADEB 为平行四边形，∴AB DE =且AB ∥DE ,∴AB MF =且AB ∥MF , ∴四边形ABFM 是平行四边形，…………5分
即BF ∥AM ，又BF ⊄平面ACGD ,故 BF ∥平面
ACGD ；…………6分
（Ⅲ）由已知，,,AD DE DG 两两垂直，建立如图的空间坐标系，则
(0,0,4),(2,0,4),(0,1,4),(2,2,0)A B C F ∴(0,2,4),(2,1,0)BF BC =-=-u u u r u u u r
设平面FBC 的法向量为1(,,)n x y z =u r
，
则1124020
n BF y z n BC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r ，
令1z =，则1(1,2,1)n =u r
，
而平面ABC 的法向量2(0,0,4)n DA ==u u r u u u r
∴
12
1212cos ,||||
n n n n n n ⋅<>=⋅u r u u r
u r u u r u r u u r
＝
=
=
A
B
C
D E
G
F
M
由图形可知，二面角F BC A --的余弦值-
6
6
．……………………12分 20解：（Ⅰ）因为{}n a 为等差数列，设公差为d ，则由题意得
整理得111
5112
12a d d a d a +==⎧⎧⇒⎨
⎨==⎩⎩ 所以1(1)221n a n n =+-⨯=-……………3分 由111111
()(21)(21)22121
n n n b a a n n n n +=
==-⋅-+-+
所以111111(1)2335212121
n n
T n n n =
-+-++-=
-++K ……………5分 （Ⅱ）假设存在 由（Ⅰ）知，21n n T n =
+，所以11,,32121
m n m n
T T T m n ===++ 若1,,m n T T T 成等比，则有
22
212
1()2132144163
m
n m n m n
T T T m n m m n =⋅⇒=⋅⇒=+++++………8分 22
22
441633412m m n m m m n n m
++++-⇒=⇒=，。

（1） 因为0n >，所以2
66
41201122
m m m +->⇒-
<<+，……………10分 因为,1,2,m N m m *
∈>∴=，当2m =时，带入（1）式，得12n =； 综上，当2,12m n ==可以使1,,m n T T T 成等比数列．……………12分 21解:（Ⅰ）有题意
2
2
2(1)x y
=-+， ………………2分
整理得22
12x y +=，所以曲线C 的方程为2212
x y +=………………4分 （Ⅱ）显然直线l 的斜率k 存在，所以可设直线l 的方程为(2)y k x =+. 设点,E F 的坐标分别为1122(,),(,),x y x y 线段EF 的中点为G 00(,)x y ，
5712511411112221022
()(4)(13)
a a a d a a a a a d a d a a d +=⇒+=⎧⎨
⋅=⋅⇒++=+⎩
由22
(2)12
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩
得2
2
2
2
(12)8820k x k x k +++-=
由22
2
2
(8)4(12)(82)0k k k ∆=-+->
解得22
k -
<<．…(1) …………7分 由韦达定理得2
122
812k x x k -+=+，于是
1202x x x +==22412k k -+，00
22(2)12k y k x k =+=+ ……………8分 因为2
02
4012k x k
=-≤+，所以点G 不可能在y 轴的右边， 又直线1211,C B C B ,方程分别为1,1y x y x =+=-- 所以点G 在正方形内（包括边界）的充要条件为
000011y x y x ≤+⎧⎨≥--⎩ 即2
22
2
22
2411212241
1212k k k k k k k k ⎧-≤+⎪⎪++⎨⎪≥-⎪++⎩ 亦即222210,2210.k k k k ⎧+-≤⎪⎨--≤⎪⎩ ………………10分
解得k ≤≤，……………(2) 由（1）（2）知，直线l
斜率的取值范围是11
[,].22
-
………………12分 22．解：（Ⅰ）()ln(1)x
f x e a =++Q 是实数集R 上奇函数，
(0)0f ∴=，即0ln(1)0211e a a a ++=⇒+=⇒=- ……2分．
将1a =-带入()ln x
f x e x ==，显然为奇函数． ……3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()()sin sin g x f x x x x λλ=+=+，[]'()cos ,1,1g x x x λ∴=+∈-
∴要使()g x 是区间[]1,1-上的减函数，则有'()0g x ≤在[]1,1x ∈-恒成立，
min (cos )x λ∴≤-，所以1λ≤-． ……5分
要使()1g x t λ≤-在[]1,1x ∈-上恒成立，
只需max ()(1)sin11g x g t λλ=-=--≤-在1λ≤-时恒成立即可． (1)sin110t λ∴++-≥(其中1λ≤-)恒成立即可． ………7分
令()(1)sin11(1)h t λλλ=++-≤-，则10,
(1)0,t h +≤⎧⎨
-≥⎩
即10,2sin10,t t +≤⎧⎨--+≥⎩
sin12t ∴≤-，所以实数t 的最大值为sin12- ………9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知方程
2ln 2()x x ex m f x =-+，即2ln 2x
x ex m x
=-+， 令212ln (),()2x
f x f x x ex m x
==-+
12
1ln '()x
f x x -=Q 当(]0,x e ∈时，11'()0,()f x f x ≥∴在(]0,e 上为增函数； 当[,)x e ∈+∞时，11'()0,()f x f x ≤∴在[,)e +∞上为减函数； 当x e =时，1max 1
()f x e
=
． ………………11分 而222
2()2()f x x ex m x e m e =-+=-+-
当(]0,x e ∈时2()f x 是减函数，当[,)x e ∈+∞时，2()f x 是增函数，
∴当x e =时，2
2min ()f x m e =-． ………………12分
只有当2
1m e e -=，即2
1m e e
=+时，方程有且只有一个实数根． …………14分。