(人教版)西安市选修一第一单元《空间向量与立体几何》检测卷(答案解析)

一、选择题
1．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB yAC x y AD =+-+-，点N 满足()1BN BA BC λλ=+-，当AM 、BN 最短时,AM MN ⋅=（ ） A ．43
-
B ．
43
C ．13
-
D ．
13
2．在直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=，1AB BC CC ==，则异面直线1AB 与
1BC 所成角的余弦值为（ ）
A ．3-
B ．34
-
C ．
34
D ．
3 3．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）
A ．306
B 6
C 3
D 64．在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ） A ．一个球
B ．一个圆
C ．半圆
D ．一个点
5．若直线l 的方向向量,1)2(,m x -=，平面α的法向量2,2(),4n -=-，且直线l ⊥平面
α，则实数x 的值是( )
A ．1
B ．5
C ．﹣1
D ．﹣5
6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别为棱AD ，1CC ，11A D 的中点，则1B P 与MN 所成角的余弦值为（ ）
A ．
3010
B ．15
-
C ．
7010
D ．
15
7．在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，22AC =，PB ⊥平面ABC ，点M ，N 分别AC ，PB 的中点，6MN =
，Q 为线段AB 上的点，使得异面直线PM 与CQ 所
成的角的余弦值为34
34，则BQ BA
为（ ）
A ．
1
4
B ．
13
C ．
12
D ．
34
8．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，13AA =，
2AB AC BC ===，则1AA 与平面11AB C 所成角的大小为
A ．30
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
9．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//BC AD ，且
2AB BC ==，3AD =，PA ⊥平面ABCD 且2PA =，则PB 与平面PCD 所成角的正弦值为（ ）
A ．
427
B ．
33
C ．
77
D ．
63
10．如图，平行六面体中1111ABCD A B C D -中，各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，则对角线1BD 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
11．给出下列命题：
①若空间向量,a b 满足a b =，则a b =； ②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量c ，由a c b c ⋅=⋅，则a b =； ④在向量的数量积运算中()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅. 其中假．命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
12．正四面体ABCD 的棱长为2，动点P 在以BC 为直径的球面上，则AP AD ⋅的最大值
为（ ） A ．2
B ．23
C ．4
D ．43
13．如图，在棱长均相等的四面体O ABC -中，点D 为AB 的中点，1
2
CE ED =
，设OA a =，OB b =，OC c =，则OE =（ ）
A ．
111663
a b c ++ B ．1
11333
a b b ++
C ．
111663
a b c +- D ．
112
663
a b c ++ 二、填空题
14．若面α的法向量(1,,1)n λ=，面β的法向量(2,1,2)m =--，两面夹角的正弦值为
34
，则λ=________. 15．在三棱锥P -ABC 中，PA ，AB ，AC 两两垂直，D 为棱PC 上一动点，2PA AC ==，
3AB =.当BD 与平面PAC 所成角最大时，AD 与平面PBC 所成角的正弦值为________.
16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，O 是面ABCD 的中心，点P 在棱11C D 上移动，则OP 的最小值时，直线OP 与对角面11A ACC 所成的线面角正切值为__________．
17．已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC AA ==，点E 、F 分别为
1AA 、11A C 的中点，则直线BE 和CF 所成角的余弦值为___________.
18．如图，在棱长为2的正方体中，点P 在正方体的对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上，若P 为动点，Q 为动点，则PQ 的最小值为_____.
19．设向量(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-，且//a b ，则a b ⋅的值为__________．
20．已知非零向量n b 、及平面α，向量n 是平面α的一个法向量,则0n b ⋅=是“向量b 所在直线在平面α内”的____________条件.
21．已知空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，
2OM MA =，点N 在BC 上，3BN NC =，则MN 等于__________．（用a ，b ，c 表
示）
22．如图，在ABC ∆和AEF ∆中，B 是EF 的中点，2AB =，4EF =，
3CA CB ==，若7AB AE AC AF ⋅+⋅=，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于
__________．
23．已知向量a =（4，﹣5，12），b =（3，t ，2
3
），若a 与b 的夹角为锐角，则实数t 的取值范围为_____．
24．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1160BAD A AB A AD ∠=∠=∠=︒，
14,3,5AD AB AA ===，1AC =__．
25．点(1,A 2，1)，(3,B 3，2)，(1,C λ+4，3)，若,AB AC 的夹角为锐角，则λ的取
值范围为______．
26．平面α的法向量u =(x,1,-2),平面β的法向量v =1-1,,
2y ⎛⎫
⎪⎝⎭
,已知α∥β,则x+y=______.
参考答案
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
根据题意可知M ∈平面BCD ，N ∈直线AC ，根据题意知，当M 为BCD ∆的中心、
N 为线段AC 的中点时，AM 、BN 最短，然后利用MC 、MA 表示MN ，利用空间向
量数量积的运算律和定义可求出AM MN ⋅的值. 【详解】
由共面向量基本定理和共线向量基本定理可知，M ∈平面BCD ，N ∈直线AC ， 当AM 、BN 最短时，AM ⊥平面BCD ，BN AC ⊥， 所以，M 为BCD ∆的中心，N 为AC 的中点， 此时，242sin 60MC =
=
23
MC ∴= AM ⊥平面BCD ，MC ⊂平面BCD ，AM MC ∴⊥，
2
2
2MA AC MC ∴=
-== 又()
12MN MC MA =+，()
2114
223
AM MN AM MC AM MA MA ∴⋅=⋅+⋅=-=-. 故选：A. 【点睛】
本题考查空间向量数量积的计算，同时也涉及了利用共面向量和共线向量来判断四点共面和三点共线，确定动点的位置是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
2．C
解析：C 【分析】
作出图形，分别取AC 、11A C 的中点O 、1O ，连接OB 、1OO ，然后以点O 为坐标原点，OA 、OB 、1OO 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设
12AB BC CC ===，利用空间向量法可求出异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值.
【详解】
设12AB BC CC ===，分别取AC 、11A C 的中点O 、1O ，连接OB 、1OO ， 在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 为平行四边形，则11//AC A C 且
11AC A C =，
O 、1O 分别为AC 、11A C 的中点，所以，11//AO AO 且11AO A O =，
所以，四边形11AAO O 为平行四边形，11//OO AA ∴，
1AA ⊥底面ABC ，1OO ∴⊥底面ABC ，AB BC =，O 为AC 的中点，
OB AC ∴⊥，
以点O 为坐标原点，OA 、OB 、1OO 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系
O xyz -，
由于120ABC ∠=，则()
3,0,0A
、()0,1,0B 、
()10,1,2B 、()
13,0,2C -，
()13,1,2AB =-，(
)
13,1,2BC =--， 111111
3
cos ,4
2222AB BC AB BC AB BC ⋅=
=
=⨯⋅，
因此，异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为34
. 故选：C.
【点睛】
本题考查利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值，考查计算能力，属于中等题.
3．D
解析：D
根据三棱柱的边长和角度关系，设棱长为1，分别求得AB AC ⋅、1AB AA ⋅、1AC AA ⋅的数量积，并用1,,AA AC AB 表示出1AB 和1BC ，结合空间向量数量积的定义求得
11AB BC ⋅，再求得1AB 和1BC ，即可由向量的夹角公式求得异面直线1AB 与1BC 所成角
的余弦值. 【详解】
三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，设棱长为1，
则111cos602AB AC ⋅=⨯⨯︒=
，1111cos602
AB AA ⋅=⨯⨯︒=，1111cos602
AC AA ⋅=⨯⨯︒=
. 11AB AB AA =+，11BC AA AC AB =+-，
所以()()
1111AB BC AB AA AA AC AB ⋅=+⋅+-
22
1111AB AA AB AC AB AA AA AC AA AB =⋅+⋅-++⋅-⋅
11111112222
=
+-++-= 而()
2
22
11
11
23AB AB AA AB AB AA AA =
+=+⋅+=，
(
)
2
111
BC AA AC AB
=
+-==，
所以111111
cos 6
2AB BC AB BC AB BC ⋅<⋅>==
=⋅， 故选：D. 【点睛】
本题考查了空间向量的线性运算，空间向量数量积的定义与运算，异面直线夹角的向量求法，属于中档题.
4．B
解析：B 【分析】
利用共面向量的概念及向量的模即可得答案． 【详解】
解：平行于同一平面的所有非零向量是共面向量，把它们的起点放在同一点，则终点在同一平面内，又这些向量的长度相等，则终点到起点的距离为定值．
故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是一个圆．
【点睛】
本题考查方程，关键是理解共面向量的概念，属于基础题．
5．C
解析：C 【分析】
根据直线与平面垂直时直线的方向量与平面的法向量共线，利用共线时对应的坐标关系即可计算出x 的值. 【详解】
因为直线l ⊥平面α，所以//m n ， 所以
12224
x -==--，所以1x =-. 故选：C. 【点睛】
本题考查根据直线与平面的位置关系求解参数，其中涉及到空间向量的共线计算，难度一般.已知直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若//l α则有a b ⊥，若l α⊥则有
//a b . 6．A
解析：A 【分析】
如图以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出
1B P 和MN 的坐标，设1B P 与MN 所成的角为θ，利用11cos B P MN B P MN
θ=
⋅⋅即可求解.
【详解】
如图以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则()0,1,0M ，()2,2,1N ，()12,0,2B ，()0,1,2P ， 所以()12,1,0B P =-，()2,1,1MN =，
设1B P与MN所成的角为θ，
所以
1
1
22130 cos
56
B P MN
B P MN
θ=
⋅-⨯+
==
⨯
⋅
，
1
B P与MN所成角的余弦值为30，
故选：A
【点睛】
方法点睛：
求空间角的常用方法：
（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果. 7．A
解析：A
【分析】
以B为原点，,,
BA BC BP坐标轴建立空间直角坐标系，设
BQ
BA
λ
=,由异面直线PM与
CQ所成的角的余弦值为34可列式
2
2234
34
3244
PM CQ
PM CQ
，求出λ即可.【详解】
如图，在三棱锥P ABC
-中，2
AB BC
==，22
AC=，BA BC
∴⊥, PB⊥平面ABC，以B为原点，,,
BA BC BP坐标轴建立空间直角坐标系，
可知()0,0,0B ，()0,2,0C ，()1,1,0M ，
2,6BM MN
，22
2BN MN BM ，
4PB ∴=，则()0,0,4P ，
设
BQ
BA
λ=，且01λ<<，则2,0,0Q ，
可知1,1,4,2,2,0PM CQ
, 12
1
2
4
02
2PM CQ ， 2
22
114
32PM
，2
4
4CQ
，
异面直线PM 与CQ 所成的角的余弦值为
34
， 2
22
3432
4
4
PM CQ PM CQ ，解得1
4
λ=或4λ=（舍去）， 14
BQ BA
∴=. 故选：A. 【点睛】
本题考查向量法求空间线段的比例分点，属于中档题.
8．A
解析：A 【分析】
建立空间坐标系，计算1AA 坐标，计算平面11AB C 的法向量，运用空间向量数量积公式，计算夹角即可． 【详解】
取AB 的中点D ，连接CD ，以AD 为x 轴，以CD 为y 轴，以1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，
可得()1,0,0A ，()11
,0,3A ，故()()()11,0,31,0,00,0,3AA =-=，而 ()()
111,0,3,0,3,3B C -
，设平面11AB C 的法向量为()=,,m a b c ，根据
110,0m AB m AC ⋅=⋅=，解得()
3,3,2m =-，
111 1
,?2
|?|m AA cos m AA m AA =
=.
故1AA 与平面11AB C 所成角的大小为030，故选A ． 【点睛】
考查了空间向量数量积坐标运算，关键构造空间直角坐标系，难度偏难．
9．C
解析：C 【分析】
以A 为坐标原点建立空间坐标系，进而求得PB 和平面PCD 的法向量，再由向量的数量积即可求得PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 【详解】
依题意，以A 为坐标原点,分别以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，
2,3,2AB BC AD PA ====,
则()()()()0,0,2,2,0,0,2,2,0,0,3,0P B C D , 从而()()()2,0,2,2,2,2,0,3,2PB PC PD =-=-=- 设平面PCD 的法向量为(),,n a b c =,00
n PC n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即2220
320
a b c b c +-=⎧⎨
-=⎩，
不妨取3c =c=3,则1,2a b ==,
所以平面PCD 的一个法向量为()1,2,3n =， 所以PB 与平面PCD 所成角的正弦值
sin cos ,PB n θ==
=
， 故选C. 【点睛】
本题主要考查了线面所成的角, 其中求解平面的法向量是解题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.
10．B
解析：B 【分析】
在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，利用空间向量的加法运算得到
11BD BA BB BC =++，再根据模的求法，结合各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两
所成的角为60°，由
()(
)
2
2
1
1BD BA BB BC
=++222
111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅求解.
【详解】
在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，
因为各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，
所以111111cos120,11cos6022
BA BB BA BC BC BB ⋅=⋅=⨯⨯=-⋅=⨯⨯=， 所以11BD BA BB BC =++， 所以()()2
2
1
1
BD BA BB BC =++，
2
2
2
111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅，
113+22+2222⎛⎫
=⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭
，
所以12BD =
故选：B 【点睛】
本题主要考查空间向量的运算以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
11．D
解析：D 【分析】
结合向量的性质，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】
对于①，空间向量,a b 的方向不一定相同，即a b =不一定成立，故①错误； 对于②，单位向量的方向不一定相同，故②错误；
对于③，取()0,0,0a =，()1,0,0b =，()0,1,0c =，满足0a c b c ⋅=⋅=，且0c ≠，但是a b ≠，故③错误；
对于④，因为a b ⋅和b c ⋅都是常数，所以()
a b c ⋅⋅和()
a b c ⋅⋅表示两个向量，若a 和c 方向不同，则()
a b c ⋅⋅和()
a b c ⋅⋅不相等，故④错误. 故选：D. 【点睛】
本题考查向量的概念与性质，考查向量的数量积，考查学生的推理论证能力，属于基础题.
12．C
解析：C 【分析】
建立空间坐标系，设(),,P x y z ，求出AP AD ⋅关于,,x y z 的表达式，根据球的半径得出
,,x y z 的取值范围，利用简单的线性规划得出答案.
【详解】
设BC 的中点为M ，以M 为原点建立如图所示的空间坐标系，
则)
326,3,0,0A D
⎝⎭
，
设(),,P x y z ，则326,AP x y z ⎛= ⎝
⎭，2326AD ⎛= ⎝⎭
，
23
26
233
AP AD x z ∴⋅=
-+， P 在以M 为球心，以1为半径的球面上， 2221x y z ∴++=，
01y ≤≤，2201x z ≤+≤，
令
2326233
x z m -+=， 2326
20x z m -+-=与单位圆221x z +=相切时，截距取得最小值， 22
21
232633m
-=⎛⎫
⎛⎫
+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得0m =或4m =
∴AP AD ⋅的最大值为4. 故选：C
【点睛】
本题考查了空间向量的数量积以及简单的线性规划，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于难题.
13．D
解析：D 【分析】
利用空间向量的加法和减法法则可将OE 用a 、b 、c 表示. 【详解】
12CE ED =
，()
11111
1=33323
6CE CD CA AD CA AB CA AB ⎛⎫∴==+=++ ⎪⎝⎭，
()()
1111
3636
OE OC CE OC CA AB OC OA OC OB OA
∴=+=++=+-+-112112663663OA OB OC a b c =++=++. 故选：D. 【点睛】
本题考查空间向量的基底分解，解题时要灵活利用空间向量加法和减法法则，考查计算能力，属于中等题.
二、填空题
14．【分析】设平面的夹角为利用空间向量夹角公式得：由已知知建立关于的方程解方程即可得到答案【详解】设平面的夹角为又面的法向量面的法向量则利用空间向量夹角公式得：由已知得故故即解得：故答案为：【点睛】结论
解析：
【分析】
设平面,αβ的夹角为θ，利用空间向量夹角公式得：cos 3⋅=
=
m n m n
λ
θλ，由已知
sin =
θ，知2
1cos 18=θ，建立关于λ的方程，解方程即可得到答案.
【详解】
设平面,αβ的夹角为θ，又面α的法向量(1,,1)n λ=，面β的法向量(2,1,2)m =--，
则利用空间向量夹角公式得：cos 1⋅=
=
=
+
m n m n
θ
由已知得sin 6=θ，故2
2
22
1cos 1sin 1118=-=-=-=
⎝⎭⎝⎭θθ 故2
118=，即222
2
11
9(2)1822=⇒=
++λλλλ，解得：λ=故答案为： 【点睛】
结论点睛：本题考查利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,u v ，则 ①两直线,l m 所成的角为θ(02
π
θ<≤
),cos a b a b
θ⋅=
；
②直线l 与平面α所成的角为θ(02
π
θ≤≤
),sin a u a u
θ⋅=
；
③二面角l αβ--的大小为θ(0θπ≤≤),cos .u v u v
θ⋅=
15．【分析】首先可证平面PAC 则BD 与平面PAC 所成角为所以当D 为PC 的中点时取得最大值如图建立空间直角坐标系利用空间向量法求出线面角的正弦
值；【详解】解：因为PAABAC 两两垂直所以平面PAC 则BD 与 解析：
311
【分析】
首先可证AB ⊥平面PAC ，则BD 与平面PAC 所成角为ADB ∠，所以当D 为PC 的中点时
ADB ∠取得最大值，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值； 【详解】
解：因为PA ，AB ，AC 两两垂直，PA AC A =
所以AB ⊥平面PAC ，则BD 与平面PAC 所成角为ADB ∠， 所以3
tan AB ADB AD AD
∠=
=， 当AD 取得最小值时，ADB ∠取得最大值在等腰Rt PAC △中， 当D 为PC 的中点时，AD 取得最小值，以A 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，
则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)D ， 则(0,1,1)AD =，(0,2,2)PC
=-，(3,2,0)BC =-，
设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0n PC n BC ⋅=⋅=，
即220320y z x y -=⎧⎨-+=⎩
，令3y =，得(2,3,3)n =.
因为311
cos ,11222
n AD 〈〉=
=⨯， 所以AD 与平面PBC 311
. 311
【点睛】
(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
16．【分析】由题意以为坐标原点为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系求得以当即为中点时求得和平面的一个法向量为利用向量的夹角公式即可求解【详解】由题意以为坐标原点为轴轴轴正方向建立空间直角坐标系则设则所以当即
解析：1
3
【分析】
由题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，求得以当1x =，即P 为11C D 中点时，求得(0,1,2)OP =和平面11A ACC 的一个法向量为BD ，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】
由题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系， 则()1,1,0O ，
设()(),2,202P x x ≤≤
．则OP == 所以当1x =，即P 为11C D 中点时，OP
此时点(1,2,2)P ，所以(0,1,2)OP =, 又由BD ⊥平面11A ACC ，且(2,2,0)BD =-, 即平面11A ACC 的一个法向量为(2,2,0)BD =-， 设OP 与平面11A ACC 所成的角为θ，
由线面角的公式可得sin cos ,210OP BD OP BD OP BD
θ⋅==
=
=⋅, 因为(0,
)2π
θ∈，由三角函数的基本关系式，可得1
tan 3
θ=.
【点睛】
本题主要考查了空间向量在空间角的求解中的应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，确定出点P 的位置，再利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
17．【分析】作出图形设然后以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法可求得直线和所成角的余弦值【详解】设由于平面以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如下图所示：则因此直线
解析：2
5
【分析】
作出图形，设12AB AC AA ===，然后以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线BE 和CF 所成角的余弦值. 【详解】
设12AB AC AA ===，由于1AA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，
以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则()2,0,0B 、()0,2,0C 、()0,0,1E 、()0,1,2F ，()2,0,1BE =-，()0,1,2CF =-，
2
cos ,5
55BE CF BE CF BE CF
⋅<>=
=
=⨯⋅. 因此，直线BE 和CF 所成角的余弦值为25
. 故答案为：25
. 【点睛】
方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
18．【分析】建立空间直角坐标系利用三点共线设出点P(λλ2﹣λ)0≤λ≤2以及Q(02μ)0≤μ≤2根据两点间的距离公式以及配方法即可求解【详解】建立如图所示空间直角坐标系设P(λλ2﹣λ)Q(02μ) 解析：2
【分析】
建立空间直角坐标系，利用,,A B P 三点共线设出点P (λ，λ，2﹣λ)，0≤λ≤2，以及Q (0，2，μ)，0≤μ≤2，根据两点间的距离公式，以及配方法，即可求解. 【详解】
建立如图所示空间直角坐标系，设P (λ，λ，2﹣λ)， Q (0，2，μ)(0≤λ≤2且0≤μ≤2)，
可得PQ =22222(2)(2)2(1)(2)2λλλμλλμ+-+--=
-+--+，
∵2(λ﹣1)2≥0，(2﹣λ﹣μ)2≥0，∴2(λ﹣1)2+(2﹣λ﹣μ)2+2≥2， 当且仅当λ﹣1=2﹣λ﹣μ=0时，等号成立，此时λ=μ=1， ∴当且仅当P ､Q 分别为AB ､CD 的中点时， PQ 的最小值为2. 故答案为:2.
【点睛】
本题考查空间向量法求两点间的距离，将动点用坐标表示是解题的关键，考查配方法求最值，属于中档题.
19．168【分析】根据向量设列出方程组求得得到再利用向量的数量积的运算公式即可求解【详解】由题意向量设又因为所以即解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的共线的坐标运算以及向量的数量积的运算其
解析：168 【分析】
根据向量//a b ，设λa
b ，列出方程组，求得1
2
λ=
，得到(2,4,8),(4,8,16)a b ==，再利用向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】
由题意，向量//a b ，设λa
b ，
又因为(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-， 所以(2,23,2)(4,21,32)m n m n λ-+=+-，
即2423(21)2(32)
m m n n λλλ=⨯⎧⎪-=+⎨⎪+=-⎩
，解得17
,,622m n λ===，
所以(2,4,8),(4,8,16)a b ==， 所以2448816168a b ⋅=⨯+⨯+⨯=. 故答案为：168. 【点睛】
本题主要考查了向量的共线的坐标运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的共线条件，熟练应用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
20．必要不充分【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：若向量是平面的法向量则若则则向量所在直线平行于平面或在平面内即充分性不成立若向量所在直线平行于平面或在平面内则向量是平面的法向量
解析：必要不充分 【分析】
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
解：若向量n 是平面α的法向量，则n α⊥，
若0n b =，则//b α，则向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内，即充分性不成立， 若向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内，则//b α， 向量n 是平面α的法向量，
∴n α⊥，
则n b ⊥，即0n b =，即必要性成立，
则0n b =是向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内的必要条件，
故答案为：必要不充分
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量和平面的位置关系是解决本题的关键．
21．【分析】利用向量加法和减法的三角形法则以及向量线性运算的运算律即可用表示【详解】因为所以【点睛】主要考查向量的线性运算法则以及运算律属于基础题 解析：213344
a b c -++ 【分析】
利用向量加法和减法的三角形法则，以及向量线性运算的运算律即可用,,a b c 表示MN
【详解】
因为
213344
MN a b c =-++ 所以//AC BC
【点睛】
主要考查向量的线性运算法则以及运算律，属于基础题.
22．【分析】由题意可得由此求得由以及两个向量的加减法的法则及其几何意义可求得由数量积的定义即可得到结果【详解】由题意可得∴由可得∴即∴故答案为【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则以及其几何意义两个
解析：16
【分析】
由题意可得22 9()BC AC AB ==-，由此求得2AC AB ⋅=，由 7AB AE AC AF ⋅+⋅=以及两个向量的加减法的法则及其几何意义可求得 2EF BC ⋅=，由数量积的定义即可得到结果.
【详解】
由题意可得()229BC AC AB
==- 22
2AC AB AC AB =+-⋅ 942AC AB =+-⋅， ∴2AC AB ⋅=.
由7AB AE AC AF ⋅+⋅=，可得 ()()AB AB BE AC AB BF ⋅++⋅+ 2AB AB BE AC AB AC BF =+⋅+⋅+⋅ ()
42AB BF AC BF =+⋅-++⋅
()1662
BF AC AB EF BC =+⋅-=+⋅. ∴2EF BC ⋅=，即43cos ,2EF BC ⨯⨯=， ∴1cos ,6EF BC =，故答案为16
. 【点睛】
本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义、以及运算性质，属于中档题． 23．（﹣∞4）【分析】由题意利用两个向量的夹角的定义两个向量共线的性质求得实数的取值范围【详解】解：向量若与的夹角为锐角且与不共线即且不成立解得则实数的取值范为故答案为：【点睛】本题主要考查两个向量的夹 解析：（﹣∞，4）
【分析】
由题意利用两个向量的夹角的定义，两个向量共线的性质，求得实数t 的取值范围．
【详解】 解：向量(4a =，5-，12)，(3b =，t ，2)3
，若a 与b 的夹角为锐角， ∴·0a b >，且a 与b 不共线， 即24351203t ⨯-+⨯>，且2334512
t ==- 不成立，解得4t <， 则实数t 的取值范为(,4)-∞，
故答案为：(,4)-∞．
【点睛】
本题主要考查两个向量的夹角，两个向量共线的性质，属于基础题．
24．【分析】先由空间向量的基本定理将向量用一组基底表示再利用向量数量积的性质计算即可【详解】∵六面体ABCD ﹣A1B1C1D1是平行六面体∵=++∴=（++）2=+++2+2+2又∵∠BAD=∠A1AB
【分析】
先由空间向量的基本定理，将向量1AC 用一组基底1
AA AD AB ，，表示，再利用向量数量积的性质22a a =，计算1AC 即可
【详解】
∵六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是平行六面体，
∵1AC =1AA +AD +AB ∴21AC =（1AA +AD +AB ）2=21AA +2AB +2AD +21AA AD ⋅+21AA AB ⋅+2AB AD ⋅
又∵∠BAD=∠A 1AB=∠A 1AD=60°，AD=4，AB=3，AA 1=5， ∴21AC =16+9+25+2×5×4×cos60°+2×5×3×cos60°+2×3×4×cos60°=97
∴197AC =
【点睛】
本题考察了空间向量的基本定理，向量数量积运算的意义即运算性质，解题时要特别注意空间向量与平面向量的异同 25．【分析】根据的夹角为锐角可得且不能同向共线解出即可得出【详解】12的夹角为锐角且不能同向共线解得则的取值范围为故答案为【点睛】本题主要考查了向量夹角公式向量共线定理考查了推理能力与计算能力属于中档题 解析：()()2,44,∞-⋃+
【分析】 根据,AB AC 的夹角为锐角，可得0AB AC ⋅>，且不能同向共线.解出即可得出．
【详解】
(2,AB =1，1)，(,AC λ=2，2)，
,AB AC 的夹角为锐角，2220AB AC λ∴⋅=++>，且不能同向共线．
解得2λ>-，4λ≠．则λ的取值范围为()()2,44,∞-⋃+．
故答案为()()2,44,∞-⋃+．
【点睛】
本题主要考查了向量夹角公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
26．【解析】【分析】由α∥β可得∥利用向量共线定理即可得出【详解】因为α∥β所以u ∥v 则即故x+y=【点睛】本题考查了空间面面平行与法向量的关系向量共线定理考查了推理能力与计算能力属于中档题
解析：154
【解析】
【分析】
由α∥β，可得u ∥v ．利用向量共线定理即可得出．
【详解】
因为α∥β,所以u ∥v .则1-21-12
x y
==,
即
4,
1
-,
4
x
y
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
故x+y=
15
4
.
【点睛】
本题考查了空间面面平行与法向量的关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。