高中数学 3.1.2空间向量的数乘运算课时作业 新人教A版

空间向量的数乘运算
(30分钟50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量,,是( )
A.有相同起点的向量
B.等长向量
C.共面向量
D.不共面向量
【解析】选C.由题意知,==-,所以向量,,是共面向量.
2.(2014·沈阳高二检测)下列命题中正确的是( )
A.若a∥b,b∥c,则a与c所在直线平行
B.向量a,b,c共面即它们所在直线共面
C.空间任意两个向量共面
D.若a∥b,则存在惟一的实数λ,使a=λb
【解析】选C.对A.若a∥b,b∥c,则a与c所在直线平行,错误.当b=0时不成立;B.向量a,b,c共面即它们所在直线共面,错误,因为空间平行的向量也是共面的;C.空间任意两个向量共面,正确;D.若a∥b,则存在惟一的实数λ,使a=λb,错误,当b=0时不成立.
【变式训练】与共线是直线AB∥CD的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.若与共线,则∥,此时AB与CD可能平行也可能为同一直线;而若AB∥CD,则必有与共线.
3.(2014·西安高二检测)对空间任一点O和不共线三点A,B,C,能得到P,A,B,C四点共面的是( )
A.=++
B.=++
C.=-++
D.以上都不对
【解析】选B.因为=++,
所以3=++,
所以-=(-)+(-),
所以=+,
所以=--,所以P,A,B,C共面.
【变式训练】对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C有6=+2+3,则( )
A.四点O,A,B,C必共面
B.四点P,A,B,C必共面
C.四点O,P,B,C必共面
D.五点O,P,A,B,C必共面
【解析】选B.由6=+2+3,
得(-)=2(-)+3(-),
即=2+3.
由共面向量定理,知P,A,B,C四点共面.
4.已知两非零向量e1,e2不共线,设a=λe1+μe2(λ,μ∈R且λ,μ≠0),则
( ) A.a∥e1 B.a∥e2
C.a与e1,e2共面
D.以上三种情况均有可能
【解析】选C.若a∥e1,则存在实数t使得a=t e1,
所以t e1=λe1+μe2,所以(t-λ)e1=μe2,
则e1与e2共线,不符合题意.
同理,a与e2也不平行.
由向量共面的充要条件知C正确.
5.(2014·南宁高二检测)已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2+=0,则等于( )
A.2-
B.-+2
C.-
D.-+
【解析】选A.由已知得2(-)+(-)=0,
所以=2-.
6.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是( )
A.-a+b+c
B.a+b+c
C.a-b+c
D.-a-b+c
【解析】选A.=+
=+(-)=+-
=-a+b+c.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.已知e1,e2是不共线向量,a=3e1+4e2,b=-3e1+8e2,则a与b是否共线(填是或否).
【解析】设a=λb,
即3e1+4e2=λ(-3e1+8e2)=-3λe1+8λe2,
所以⇒
所以不存在λ,使a=λb,即a与b不共线.
答案:否
8.(2014·福州高二检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点.用,,表示向量,则= .
【解析】=++
=++(+)
=++(-+)
=++.
答案:++
9.如图所示,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,=a,=b,=c,若=x a+y b+z c,则x+y+z= .
【解析】在△OBD中,=+=+-
=+-
=+--(-)
=+-
=a-b+c,
故x+y+z=1.
答案:1
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=,=2.
设=a,=b,=c,试用a,b,c表示.
【解题指南】先利用三角形法则进行向量的加减运算,将表示成其他向量,然后进一步用a,b,c表示.
【解析】如图所示,连接AN,
则=-
=+-
=+-(+)
=+(-)-(+)
=c+(b-c)-(a+b)
=-a+b+c.
【拓展延伸】数形结合法表示向量
用已知向量表示未知向量,体现了向量的数乘运算.解题时要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量逐渐转化为已知向量.本题也可以先将表示为=++.
11.(2014·武汉高二检测)已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任意一点O,若点M满足
=++.
(1)判断,,三个向量是否共面.
(2)判断点M是否在平面ABC内.
【解析】(1)由已知,得++=3,
所以-=(-)+(-),
所以=+=--.
所以向量,,共面.
(2)由(1)知向量,,共面,三个向量的基线又过同一点M,所以四点M,A,B,C共面,
所以点M在平面ABC内.
【变式训练】直线AB,CD为两异面直线,M,N分别为线段AC,BD的中点,求证:向量,,共面. 【证明】如图,
在封闭图形ABNM中,
=++, ①
在封闭图形CDNM中,
=++, ②
又因为M,N分别为线段AC,BD的中点,
所以+=0,+=0,
①+②得2=+,
即=+,
所以向量,,共面.
(30分钟50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2014·泰安高二检测)如图所示,已知A,B,C三点不共线,P为平面ABC内一定点,O为平面ABC外任一点,则下列能表示向量的为( )
A.+2+2
B.-3-2
C.+3-2
D.+2-3
【解析】选 C.根据A,B,C,P四点共面的充要条件可知=x+y.由图知x=3,y=-2,所以=+3-2.
2.(2014·济南高二检测)下列命题:①若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;③若a,b共线,则a与b所在直线平行;④对空间任意一点P与不共
线的三点A,B,C,若=x+y+z(x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.其中不正确命题的个数是
( ) A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.①若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0正确;
②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件,错误;
③若a,b共线,则a与b所在直线平行,错误,有可能是共线、平行或者其中有零向量;
④对空间任意一点P与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(x,y,z∈R)且x+y+z=1,则P,A,B,C 四点共面.
【变式训练】在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是( )
A.=3-2-
B.+++=0
C.++=0
D.=-+
【解析】选C.因为++=0,
所以=--,
所以M与A,B,C必共面.
3.(2013·温州高二检测)空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则-+等于( )
A. B.3 C.3 D.2
【解析】选B.-+=-(-)=-=+=+2=3.
4.(2014·石家庄高二检测)已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有=x++,
则x的值为( )
A.1
B.0
C.3
D.
【解析】选D.因为=x++,且M,A,B,C四点共面,所以x++=1,x=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知i与j不共线,则存在两个非零常数m,n,使k=m i+n j是i,j,k共面的
条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个).
【解析】若i不平行于j,则k与i,j共面⇔存在惟一的一对实数x,y使k=x i+y j.
答案:充要
6.有下列命题:
①若∥,则A,B,C,D四点共线;
②若∥,则A,B,C三点共线;
③若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,则a∥b;
④若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0.其中是真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).
【解析】根据共线向量的定义,若∥,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故①错;∥且,
有公共点A,所以②正确;由于a=4e1-e2=-4b,所以a∥b,故③正确;易知④也正确.
答案:②③④
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.设A,B,C及A1,B1,C1分别是异面直线l1,l2上的三点,而M,N,P,Q分别是线段AA1,BA1,BB1,CC1的中点.求证:M,N,P,Q四点共面.
【证明】如图,过B1作l3∥l1取点C2∈l3且BC=B1C2.
因为=,
=,
所以=2,=2.
因为A,B,C及A1,B1,C1分别共线,
所以=λ=2λ,
=μ=2μ.
于是=+=+=+(-)=(+)
=(2λ+2μ)=λ+μ.
因此,,共面.故M,N,P,Q四点共面.
8.已知斜三棱柱ABC-A′B′C′,设=a,=b,=c.在面对角线AC′上和棱BC上分别取点M和N,使=k,=k(0≤k≤1).
求证:(1)与向量a和c共面.
(2)MN∥面A′AB.
【证明】(1)显然=k=k b+k c,
且=+=a+k
=a+k(-a+b)=(1-k)a+k b,
=-=(1-k)a+k b-k b-k c
=(1-k)a-k c.
因此,与向量a和c共面.
(2)由(1)知与向量a,c共面,
a,c在面A′AB内,而不在面A′AB内,
所以MN∥面A′AB.。