北京市崇文区2004年第二学期初三统一练习

北京市崇文区2004年第二学期初三统一练习（二）
数学试卷
第Ⅰ卷 （选择题，共48分）
一、选择题：（本题共48分，每小题4分）
在下列各题的四个备选答案中，只有一个选项是正确的． 1．-2的倒数是（ ） A ．2 B ．21 C ．-2 D ．2
1 2．分式
296
31a a -+-运算结果为（ ） A ．31+a B ．3
1-a C ．99
2-+a a D ．3+a
3．若关于x 的方程01)12(2=-++-m x m mx 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）
A ．81-
>m B ．81
->m 且0≠m C ．81-≥m 且0≠m D ．8
1
>m
4．已知a ＜0，ab ＜0，则点P （a ，b ）关于x 轴对称的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 5．抛物线322-+-=x x y 的顶点坐标是（ ）
A ．（1，-2）
B ．（1，2）
C ．（1，-4）
D ．（-1，-2） 6．函数)1(+=x k y 与)0(≠=
k x
k
y 在同一直角坐标系内的大致图象是（ ）
7．抽查初三年级10名学生一周做数学作业的时间分别为：（单位：时）
4 5 4 6 7 6 8 6 7 8 则这组数据中的众数和中位数分别是（ ）
A ．6，7
B ．6，6
C ．8，6
D ．6，6.5
8．已知在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝4cm ，则菱形ABCD 的面积为（ ）
A ．2
cm 316 B ．2
16cm C ．2cm 38 D ．2
8cm
9．如图，E 是□ABCD 的边AD 延长线上一点，且BC ∶DE ＝3∶2，则AB ∶DF 等于（ ）
A ．3∶2
B ．5∶2
C ．5∶3
D ．3∶1
10．⊙O 上有A 、B 、C 三点，若弦AC 的长恰好等于⊙O 半径长的3倍，则∠ABC 的度数为（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．60°或120°
11．如果两圆的圆心距为6，半径分别为2和4，那么这两圆的公切线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
12．某小区内有一块边长为a 的正方形土地，园艺师设计了四种不同的图案，如下图所示，其中的阴影部分用于种植花草，你认为种植花草部分面积最大的图案是（ ）
二、填空题：（本题共16分，每小题4分）
13．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是AB 延长线上一点，CD 交⊙O 于点E 、D ，连结AD 、BE ．若∠CBE ＝110°，则∠BDE ＝________°．
14．如果圆锥的高为4cm ，底面圆半径为3cm ，那么它的侧面展开图的圆心角为
________°．
15．两年期定期储蓄的年利率为2.25％．国家规定，所得利息要缴纳20％的利息税．陈先生在年初存入银行一笔钱，若两年到期可得税后利息360元，则陈先生的存款数为________元．
16．如图，半圆O 的直径AB ＝4，与半圆O 内切的动圆1O 与AB 切于点M ，设⊙1O 的半径为y ，AM 的长为x ，则y 关于x 的函数关系式是________，自变量x 的取值范围是________．
三、（本题共17分，第17题3分，第18题、19题每题4分，第20题6分） 17．因式分解：4
12
2
++-x y x ．
18．计算：sin 21
21
24-+--45°0)12(--
19．若关于x 的一元二次方程0322
=--mx x 的一个根为1，求m 的值和方程的另一个根．
20．用换元法解方程：82
2)1(22=+-
+x
x x x ．
四、（本题6分）
21．如图，在△ABC 中，∠C ＝60°，分别以BC 、AB 为边作两个等边三角形△BCE 和△ABD ．请你判断BC 是否与DE 平行，并说明你的理由．
五、（本题共5分）
22．某学生发现学校的电动伸缩门从完全收拢到完全打开的过程中，电动伸缩门伸缩后的总长度l （米）与按电钮开关的时间t （秒）之间存在某种函数关系（电动伸缩门初始状
（1）请你在已建立的平面直角坐标系中，通过①描点、连线，②猜测l 与t 之间的函数关系，③求出函数的解析式，④验证，这四个步骤确定l 与t 之间的函数关系； （2）已知学校的大门宽为5米，问将校门完全关闭再完全打开共用多少秒？
六、列方程或方程组解应用题（本题共6分） 23．北京地坛春季书市上，某出版社准备了一种精品图书，共200套．其中一部分批发，一部分零售，批发和零售的套数不同，但按预算销售后所得的销售额恰好相等．负责批发的销售员对负责零售的销售员说：“如果把你们分到的零售的这部分给我们卖，可卖得1600元”；负责零售的销售员对负责批发的销售员说：“如果把你们分到的批发的这部分给我们卖，可卖得3600元”．请问分到零售和批发的书各有多少套？
七、（本题共7分）
24．已知□ABCD 中，对角线AC 长为5，AB 、BC 长为关于x 的一元二次方程023)32(22=++++-k k x k x 的两个实数根（AB ＞BC ）
． （1）当k 取何值时，□ABCD 是矩形；
（2）如图，在（1）的情况下，点E 是边CD 上的动点，点E 不与点D 重合，AE 的垂直平分线FG 分别交边AD 、线段AE 、射线CB 、射线AB 于点F 、H 、K 、G ．设DE ＝x ，
y HK
FH
=，求y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围．
（3）是否存在x 的值，使得AE 的垂直平分线经过点B ．若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．
八、（本题共7分）
25．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，点D 是圆上一点，分别延长BD 、CA 相交于点F ，若过点D 的⊙O 的切线垂直CF ，交CF 于点E ． （1）判断ED 与BC 之间的数量关系，并证明你的结论； （2）若ED ∶AC ＝2∶3，EF ＝4，求BF 的长；
（3）设EC ∶ED ＝k ，当k 取何值，△ACB 与△AED 相似，并证明你的结论．
九、（本题8分）
26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，且23tan =
∠CAO ，5
5sin =∠CBO ，2=AB ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）过点C 的直线2
3
21+=
x y 交抛物线于另一点D ，P 、Q 分别是x 轴和线段CD 上的动点，当CQ 的长取不同的值时，除PQ 垂直CD 的三角形外，△CPQ 是否可能是直角三
角形？若可能，请说明所有情况；若不可能，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若存在△CPQ 是直角三角形的情况，请你求出使得△CPQ 的面积最大的点P 的坐标和△CPQ 的最大面积．
参考答案
二、填空题：（本题共16分，每小题4分）
13．20； 14．216； 15．10000； 16．x x y +-
=2
4
1，40<<x ． 三、（本题共17分，第17题3分，第18题、19题每题4分，第20题6分） 17．因式分解：4
1
2
2
+
+-x y x ． 解：原式2
2)2
1(y x -+= 2分 )2
1)(21(+-++=y x y x 3分
18．计算：sin 21
21
24-+--
45°0)12(-- 解：原式12
2
2)12(22
-⨯
---= 2分 122232--+-= 3分 22-=
4分
19．若关于x 的一元二次方程0322
=--mx x 的一个根为1，求m 的值和方程的另一根．
解：设此方程的两个根分别为1x ，2x ．
由根与系数的关系可得 m x x 221=+，321-=x x ． 1分 ∵ 11=x ，∴ 32-=x ． 2分 ∴ m 2)3(1=-+ 3分 ∴ 1-=m ． 4分 答：m 的值为-1，方程的另一个根为-3．
20．用换元法解方程：82
2)1(22=+-
+x
x x x ．
解：原方程变形为82
2)1(222=+-+x
x x x ． 设y x
x =+1
2， 1分 则原方程可化为0822=--y y ，
解得41=y ，22-=y ． 3分
当41=y 时，41
2=+x
x ， 解这个方程得321+=x ，322-=x ． 4分
当22-=y 时，21
2-=+x
x ， 解这个方程得13-=x ． 5分 经检验321+=x ，322-=x ，13-=x 是原方程的根． 6分 四、（本题6分）
BC ∥DE 1分 证明：∵ △EBC 为等边三角形，
∴ BC ＝BE ，∠CBE ＝∠C ＝60°． 2分 又∵ △ABD 为等边三角形，
∴ BA ＝BD ，∠DBA ＝60°． 3分 ∴ ∠CBE ＋∠EBA ＝∠DBA ＋∠EBA ．
即∠CBA ＝∠EBD ． 4分
在△ABC 和△DBE 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=BD BA EBD CBA BE BC ，
∴ △ABC ≌△DBE （SAS ）．
∴ ∠C ＝∠BED ＝60°． 5分 ∴ ∠CBE ＝∠BED ．
∴
BC ∥DE ． 6分
五、（本题共5分） 解：（1）通过观察猜测，l 与t 之间的函数关系可能是一次函数． 1分 设这个一次函数的解析式为b kt l +=．
将（0，1）、（1，1.4）代入解析式，得
⎩
⎨⎧=+=b b k 14.1，
解得⎩⎨⎧==1
4
.0b k ．
则一次函数的解析式为14.0+=t l ． 2分 再将（2，1.8）、（3，2.2）、（4，2.6）、（5，3.0）分别代入14.0+=t l 进行验 证，结果成立．
∴ l 与t 之间的函数关系是14.0+=t l ． 3分
（2）当学校的大门宽为5米时，即电动伸缩门完全打开后的总长度为5米． ∴ 14.05+=t ，解得t ＝10． ∴ 2t ＝20（秒）． 4分 答：将校门完全关闭再完全打开共用20秒． （画出函数图象再给1分，共5分） 六、（本题共6分）
解：设分到零售的这部分书有x 套，则分到批发的这部分书有（200-x ）套． 1分
依题意，得x
x x x 1600
)200(2003600⋅⋅
-=-． 3分
2
2
)200(49x x -= 0)24003)(24003(=+--+x x x x
解得4001-=x ，802=x ． 4分
经检验：4001-=x ，802=x 都是原方程的解，但4001-=x 不合题意，故舍去．5分 ∴ 80=x ，12080200200=-=-x ．
答：分到零售的这部分书有80套，分到批发的这部分书有120套． 6分 七、（本题共7分） 解：（1）由题意得01)23(4)]32([22>=++-+-=∆k k k ． 且53221>+=+k x x ，023221>++=k k x x ．
解得1>k ． 1分 又∵ 要使□ABCD 是矩形，即22
2215=+x x ， ∴ 252)(21221=-+x x x x ． 即25)23(2)32(22=++-+k k k 01032
=-+k k
21=k ，52-=k （舍）． 2分 ∴ 当k ＝2时，□ABCD 是矩形．
（2）将k ＝2代入023)32(2
2=++++-k k x k x ， 得01272
=+-x x ，解得31=x ，42=x ． ∴ AB ＝4，BC ＝3． 3分
过点H 作MN ∥AB 交AD 于M ，交BC 于N ． ∵ H 是AE 的中点，
∴ 2x HM =
，2
4x HN -=． ∵ BC AD //，
∴ HM ：HN ＝FH ：HK ．
即y HK FH
x x
==-2
42
∴ x
x
y -=8． 4分 当点F 与点D 重合时，x 取得最大值，x ＝3．
∴ 自变量x 的取值范围是0＜x ≤3． 5分 （3）存在x 的值，使得AE 的垂直平分线经过点B ． 连结BE ，∵ DE ＝x ，∴ EC ＝4-x ．
又∵ BF 垂直平分AE ，∴ AB ＝BE ＝4． 6分
在Rt △BCE 中，2
2
2
CE BC BE +=， 即222)4(34x -+=．
解得741-=x ，742+=x （舍） 7分 ∴ 当74-=x 时，AE 的垂直平分线经过点B ．
八、（本题共7分） 解：（1）BC ED 2
1
=． 1分 证明：∵ ED 是⊙O 的切线， ∴ ∠EDA ＝∠DBA ． 又∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ADB ＝∠ACB ＝90°． ∵ ED ⊥CF ．
∴ ∠DEA ＝90°． ∴ ∠F AD ＝∠BAD ． ∴ ∠F ＝∠FBA ．
∴ △F AB 是等腰三角形． 2分 ∴ D 是BF 的中点． 又∵ ED ∥BC ，
∴ E 是CF 的中点． 3分
∴ BC ED 2
1
=
．
（2）∵ ED ∶AC ＝2∶3，
∴ 设ED ＝2x ，AC ＝3x ．
∴ BC ＝4x ． ∴ AB ＝AF ＝5x ．
又∵ EC EA ED ⋅=2，
∴ AE ＝x ．
∴ EF ＝AF -AE ＝5x -x ＝4x ＝4．
即x ＝1． 4分 ∴ ED ＝2．
在Rt △EFD 中，222EF DE FD +=．
∴ 52=FD ．
∴ 54=BF ． 5分
（3）当3=k 时，△ACB ～△AED ． 6分 证明：∵ EC ∶ED ＝3，∴ EF ∶ED ＝3．
在Rt △EFD 中，由EF ∶ED ＝3可得∠F ＝30°．
∴ ∠F AD ＝60°．
∴ ∠DAB ＝60°．
∴ ∠BAC ＝60°．
即∠F AD ＝∠BAC ． 7分
∴ △ACB ～△AED ．
其他解法请参照评分标准相应给分． 九、（本题共8分）
解：（1）∵ 在Rt △AOC 中，2
tan 3=∠CAO ，
∴ 设CO ＝3x ，AO ＝2x ．
又∵ 在Rt △BOC 中，sin ∠CBO ＝
5
5， ∴ CO ∶OB ＝1∶2．
∴ OB ＝6x ． ∵ AB ＝2，即226=-x x ，2
1=
x ． ∴ A （1，0），B （3，0），C （0，23）． 1分 设经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式
为))((21x x x x a y --=．
将A （1，0），B （3，0），C （0，2
3）代入得，
)30)(10(2
3--=a ． 解得21=a ． ∴ 经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为2
32212+-=x x y ． 2分
（2）∵ 过点C 的直线2
321+=x y 交抛物线于另一点D ， ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+=23
22123212x x y x y
解得⎪⎩
⎪⎨⎧==23011y x ，⎩⎨⎧==4522y x ∴ 点D 的坐标为（5，4）． 3分 若所取的CQ 的长，使得△CPQ 是直角三角形，有两种情况（ⅰ）=''∠CQ P
90°，
（ⅱ）∠CPQ ＝90°．
设直线2
321+=x y 与x 轴的交点为点G ． 则G 点的坐标为（-3，0）．
可得OG ＝3，2
53=GC ． 对于（ⅰ），作CD C P ⊥''于C ，交x 轴于点P ''，可得P O GO CO ''=⋅2．
则43=
''P O ，即43(P ''，)0．此时Q 点是线段CD 上不与C 重合的任一点．4分
对于（ⅱ）即以CQ 为直径的圆与x 轴有交点．
当以CQ 为直径的圆与x 轴相切时，设CQ 的中点为H ，切点为P ，连结HP ．
设⊙H 的半径为k ， ∵ HP ∥y 轴，
∴ GH
GC HP OC =． 即k k +=2
5325
323． 解得8
5315+=k ． 即当4
5315+=CQ 时，存在一个点P ，使得∠CPQ ＝90°． 5分 当453150+<
<CQ 时，不存在点P ，使得△CPQ 是直角三角形； 当4
5315+=CQ 时，存在一个点P ，使得△CPQ 是直角三角形； 作DE ⊥x 轴于E ，可求得255=
CD ． 当2
5545315≤<+CQ 的范围内每一确定的值，都存在两个不同的点P 和P '， 使得△CPQ 是直角三角形． 6分
（3）当点Q 运动到点D 时，由△COP ～△PEQ 可得，
OP ＝2或OP ＝3．
当OP ＝3时，使得Rt △CPQ 的面积最大．
点P 的坐标为（3，0）． 7分 在Rt △COP 中可求得2
53=CP ，在Rt △PEQ 中，可求得52=PQ ． ∴ Rt △CPQ 的最大面积为
2155225321=⨯⨯． 8分。