1静电场高斯定理PPT课件

kx.
4πx
2
dx
ε E´=
kR4
4
r2
0
习题： 如图所示,一厚度为a的无限大带电平板,其电荷体
密度分布为 kx (0 x a)式中k 为正常数,试证明:
(1) 平板外空间的场强为均匀电场,大小为 ka 2
2
4 0
(2)
平板内 x
a 2
处E=0.
解(1) 据分析可知平板外的电场是均
匀电场,作如图封闭圆柱面为高斯面
++
rr
+ +q
+
+
+
+
+
+++ +
（2）r > R
. sE
dS = E 4π r 2
q
ε = 0
得：
q
E = 4επ0 r 2
E
q
ε 4π
R2
0
0
++ + + E
+
+
+R
r
+
+
+
q+
+++ +
∝
1 r2
高斯面
r
R
例2. 均匀带电球体的电场。体电荷密度为 ρ
（1）r < R
sE . dS = E 4π r 2
+ E
一对等量正点电荷的电场线
+
+
+
+
E
一对异号不等量点电荷的电场线
E
+2q
q
带电平行板电容器的电场线 ++ ++ + + + + + E
习题：一个带负电荷的质点，在电场力作用下从
Ａ点出发经Ｃ点运动到Ｂ点，其运动轨道如图所示。 已知质点运动的速率是增加的，下面关于Ｃ点场强方 向的四个图示中正确的是：
处的P点的电场强度大小E为：
r
1
P
2
答案： E 1 2
2 0r
习题：设电荷体密度沿 x 轴方向按余弦规律 ＝０cos x分
布在整个空间，试求空间场强分布。
yoz平面
解：如图所示，由于cosx
S
为偶函数，故其电荷分布
关于yoz平面对称，电场 强度亦关于yoz平面对称，
-x
做面积为Ｓ，高为2x的长
Ｅ的分布，r表示离对称中心的距离，这是什么带电
体产生的电场？
答案：这是半径为 R的均匀带电体产 生的电场。
E o
Ｅ１/r2
r
习题：如图，求空腔内任一点Ｐ的场强。
解：求空腔内任一点
场强，挖去体密度为 的小
球，相当于不挖，而在同
一位置处，放一体密度为
一-的小球产生的场强的迭
加。
r1
Ｐ
r2
oo
E1
E2
r r
Ｑ
S
S EdSE4r2Q0dV
(1)
d V rA 4r 2 d r 2A (r 2 a 2 )代 入 （ １ ） ar
E 4Q 0 r 2 2 A 0 2 A 0 r 2 2 a 2 A 0 (4 Q 0 2 A 0 2)r a 1 2
A
Q 2 a2
A E
2ε 0
ρ i
3ε0
r3 4d2
i
E P E P 1 E P 2
ρ
r3
(
d)i
3ε 0 4d2
P O1 r
d d O2
x
习题：有一带球壳，内外半径分别为a和b,电荷 密度 =A/r,在球
心处有一 点电荷Q，证明当Ａ=Q/2a2 时，球壳区域内的场强Ｅ
的大小与r无关。
4 r2dr
证明：
以Q为圆心，半径 r作一球 面为高斯面，则利用ＧＳ定 理与场分 布具有球对称性的 特点可得
从点电荷特例引出此定理
. sE
dS
=
s
+q
4πε0 r
2
dS
cos 0 0
dS E
讨论：
=
+q
ε 4π
r2
0
s dS
q
=
ε + 0
q + r
1. 若 q 为负值，则 E 的方向与 dS 方向相 反, 上式积分值为负值。
上式中的 q 应理解为代数值。
s
E
.
dS
q
ε = 0
2. 此式的意义是通过闭合曲面的电场线条数
规定：面元方向 由闭合面内指向面外
EdS确定的值 S
E ds<0 电力线穿入
E
Eds>0
电力线穿出
dS
S
dS
三.静电场的高斯定理 Gauss theorem 1.表述 在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量
等于这闭合面所包围的电量的代数和除以 0 。
qi内
E dS
S
i
0
高斯定理
q Q
S
答案：(D)
习题：已知一高斯面所包围的体积内电
量代数和为零，则可以肯定： （Ａ）高斯面上各点场强均为零； （Ｂ）穿过高斯面上每一面元的电通量为零； （Ｃ）穿过整个高斯面上的电通量为零； （Ｄ）以上说法均不对。
答案：(C)
习题：如图所示，一个带电量为q的点电荷位于立 方体的Ａ角上，则通过侧面abcd的电通量为多少？如果 放在中心处，则又是多少？
E
Ｃ ＢＣ
Ａ
EＡ
ＢＣ Ａ
ＢE
Ｂ
E
Ｃ
Ａ
（Ａ） （Ｂ）
（C） （D）
答案：（ Ｄ ）
d
E dS
dEds
若面积元不垂直电场强度，
匀强电场 E
ds
E
dS dS
电场强度与电力线条数、面积元的
关系怎样？
由图可知 通过 ds和 ds 电力线条数相同
dsd^sn
dEdsEdcsos dEdS
二.电通量 (electric flux) 藉助电力线认识电通量 通过任一面的电力线条数
=
ρ 0
1+
(
r a
)2
2
l 2 r dr
q =
r
0
ρ 0
1+ (ar )2
2
l 2 r dr
=
lρ
a2
0
1+
(
a r
)2
dr r
高斯面内的电量为： 由高斯定律：
q=
lρ
a2
0
1+
(
a r
)2
s
E
. dS
q
ε = 0
ε E 2 r l
=
lρ
0
a
2
.
0
1
1+
(
a r
)2
ε E =
ρ
a2
0
2 0r
若空间电荷 连续分布，则积分值为：
ρ dV
E dS V
S
ε0
6.闭合面内、外电荷的贡献
对 E 都有贡献
对电通量 E dS 的贡献有差别
只有闭合面S 内的电量对电通量有贡献
习题：一点电荷放在球形高斯面的中心处，下列
哪一种情况，通过高斯面的电通量发生变化？ （Ａ）将另一点电荷放在高斯面外； （Ｂ）将另一点电荷放在高斯面内； （Ｃ）将球心处的点电荷移动，但还在高斯面内； （Ｄ）将高斯面半径缩小。
aq
d
Ａ
b
c
答案： q , q
240 60
a
q
A
d
b
c
习题：一无限长均匀带电的空心圆柱体，
内半径为a,外半径为b,电荷体密度为,若作一半
径为r(a<r<b)，长度为L的同轴圆柱形高斯面， 高
则其中包含的电量是多少？
斯
面
答 案 ： L (r2a2)
r
L E
四. 高斯定理在解场方面的应用
对 Q 的分布具有某种对称性的情况下 利用高斯定理解 E 较为方便
E
方向：
2.电力线的性质 1)电力线起始于正电荷(或无穷远处)， 终止于负电荷，不会在没有电荷处中断； 2)两条电场线不会相交； 3)电力线不会形成闭合曲线。 之所以具有这些基本性质， 由静电场的基本性质和场的单值性决定的。 可用静电场的基本性质方程加以证明。
点电荷的电场线
负电荷
正电荷
E
+
一对等量异号电荷的电场线
通过任意面积元的电通量
匀强电场 E
d
S
dS
ds
E
dEdS
通过任意曲面的电通量怎么计算？
把曲面分成许多个面积元
每一面元处视为匀强电场
dEdS
S
S
E dS
S
讨论
正与负
E dS
dEdS 取决于面元的法
S
线方向的选取
如前图 知
Eds>0
若如红箭头所示 则 E ds <0
通过闭合面的电通量 S
SEdS
等于面内的电荷数除以真空中的介电常数。
3. 若电荷在面外，则此积分值为 0。因为
有几条电场线进入面内必然有同样数目的电
场线从面内出来。
4. 若封闭面不是球面，则积分值不变。
q
+q
5. 若面内有若干个电荷，则积分值为：
s
E
.
dS
q
ε =Σ i 0
高斯定理: 在静电场中，通过任意封闭 曲面电场强度矢量的通量，等于面内所包围 的自由电荷代数和除以真空介电常数。
（１）在球形空腔内，球心Ｏ２处的电场强度Ｅ。
（２）在球体内Ｐ点处的E
解 (1) 由上例可知
Eo2
ρd 3ε 0
i
（2）
EP1
ρd 3ε 0
i
P O1 r
d d O2
x
EP2
4π r 3ρ 3 4π ε 0 (2d)2
i
ρd
EP1 3 ε 0 i
EP2
4πr3ρ 3
4πε0 (2d)2
答案：(B)
习题：点电荷 Ｑ被曲面Ｓ所包围，从无穷远处引
入另一点电荷q到曲面外一点，如图所示，则引入前后： (A) 曲面Ｓ的电通量不变，曲面上各点的场强不变； (B) 曲面Ｓ的电通量变化，曲面上各点的场强不变； (C) 曲面Ｓ的电通量变化，曲面上各点的场强变化； (D) 曲面Ｓ的电通量不变，曲面上各点的场强变化;
E2rl
利用高斯定理解出E
E2rl l 0
E
2 0r
r P
dE
dsr
l
Eds
习题： 设气体放电形成的等离子体在圆柱
内的电荷体密度为, 试计算其场强分布。
dr
r
解：先计算高斯面内的电量
dq =ρ(r )l 2 r dr
dr r
r
q = ρ l 2 r dr 0
lr2
高斯面内的电量为： q lr2
由高斯定律：
s
E
. dS
q
ε = 0
E2rl lr2 /0 E r / 20
习题： 设气体放电形成的等离子体在圆柱 内的电荷分布可用下式表示
r
1
0
r a
2 2
式 r 中是到圆住轴线的距离， 0是轴线处的电荷
体密度，a 是常量。试计算其场强分布。
解：先计算高斯面内的电量
dq =ρ(r )l 2 r dr
表述在真空中的静电场内任一闭合面的电通量等于这闭合面所包围的电量的代数和除以精选ppt16dscos精选ppt17此式的意义是通过闭合曲面的电场线条数等于面内的电荷数除以真空中的介电常数
德国数学家 物理学家
C.F.Gauss
(1777-1855)
§3 高斯定理
一.电力线
用一族空间曲线形象描述场强分布
得： E = 0
l E
（2）r > R
s E . dS = s侧E . dS
高
+ s上底E . dS + s下底E . dS
斯 面
= E 2π r l = ε 0l
得：
E
=
2πε0 r
r
L
E
均匀带电的无限长的直线, 线密度
对称性的分析
取合适的高斯面
计E 算ds电 通量E ds
Eds
S
侧面
两底面
.1
1+
(
a r
)2
例5： 金属导体静电平衡时,体内场强处处为0。 求证: 体内处处不带电。
证明：
在导体内任取体积元 dV
E dS 0 由高斯定理
S
qi dV0
i
V
体积元任取
0
证毕
习题：如图所示，两个无限长的半径分别为R1和
R2的共轴圆柱面，均匀带电，沿轴线方向单位长为度上
的带电量分别为1，2，则在外圆柱外面，距离轴线为r
dS
=s
E
侧
.
dS
+s
E
左底
.
dS
+s
E
右底
.
Байду номын сангаас
dS
= E S + E S =σεS0
高斯面
E
=
σ
ε 2 0
E
S E
σ
例4. 均匀带电圆柱面的电场。
沿轴线方向单位长度带电量为 λ
（1）r < R
sE
.
dS
=s
E
侧
.
dS
+s上底E
.
dS
+s
E
下底
.
dS
高 斯 面 r
= E s 侧 dS
= E 2π r l = 0
习题：一个半径为R的球体内，分布着电荷体密度ρ= kr，
式中 r 是径向距离，k是常量。求空间的场强分布. 已知：ρ= kr ，R 求：E
解：(r <R)
s E . dS
=
1
ε0
r
0
kx. 4πx2 dx
E 4πr 2 =πεkr0 4
ε E
=
kr 2 40
(r >R)
sE´. dS
=
ε1 0
R
0
通常把这些曲线称为电场线(electric field line)或电力线 (electric line of force)
1.规定
方向：力线上每一点的切线方向；
大小：在电场中任一点，取一垂直于该点场 强方向的面积元，使通过单位面积的电力线数目 ，等于该点场强的量值。
电场线的画法如下:
dS
大小：
E
=ρ ρ
4π r
r3
ε 3 1 0
ε0
r
E = ε 3 0
E
R高 斯 面
E
（2）r > R
ε0
E
4π r 2 =ρ
ε 4π R 3
30
r
ε ε E =
R 3ρ
3
r2
0
=
R3 .
3
r2
0
4π
q R3
3
R 高斯面
均匀带电球体电场强度分布曲线