高考数学大二轮复习 专题三 立体几何 第二讲 空间向量与立体几何限时规范训练 理-人教版高三全册数学

第二讲 空间向量与立体几何
1．(2019·某某二模)如图，三棱台ABC ­EFG 的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，
CB ＝2GF ，BF ＝CF .
(1)求证：AB ⊥CG ；
(2)若BC ＝CF ，求直线AE 与平面BEG 所成角的正弦值． 解析：(1)证明：取BC 的中点为D ，连接DF .
由ABC ­EFG 是三棱台得，平面ABC ∥平面EFG ，从而BC ∥FG . ∵CB ＝2GF ，∴CD 綊GF ，
∴四边形CDFG 为平行四边形，∴CG ∥DF . ∵BF ＝CF ，D 为BC 的中点， ∴DF ⊥BC ，∴CG ⊥BC .
∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂平面BCGF ， ∴CG ⊥平面ABC ，而AB ⊂平面ABC ， ∴CG ⊥AB .
(2)连接AD .由△ABC 是正三角形，且D 为中点得，AD ⊥BC . 由(1)知，CG ⊥平面ABC ，CG ∥DF ， ∴DF ⊥AD ，DF ⊥BC ， ∴DB ，DF ，DA 两两垂直．
以DB ，DF ，DA 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D ­xyz . 设BC ＝2，则A (0,0，3)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，3，32，B (1,0,0)，G (－1，3，0)，
∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，－32，BG →＝(－2，3，0)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3
2，3，32.
设平面BEG 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．
由⎩⎪⎨⎪⎧
BG →·n ＝0BE →·n ＝0
，可得⎩⎪⎨⎪⎧
－2x ＋3y ＝0，
－32
x ＋3y ＋3
2z ＝0.
令x ＝3，则y ＝2，z ＝－1，∴n ＝(3，2，－1)． 设AE 与平面BEG 所成角为θ，
则直线AE 与平面BEG 所成角的正弦值为sin θ＝|cos 〈AE →，n 〉|＝
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪AE →·n |AE →|·|n |＝64.
2.(2019·某某五市十校联考)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD ＝22，BC ＝42，PA ＝2.
(1)求证：AB ⊥PC ；
(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M ­AC ­D 的大小为45°，如果存在，求出
BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．
解析：(1)证明：由已知得四边形ABCD 是直角梯形，由AD ＝CD ＝22，BC ＝42，可得△
ABC 是等腰直角三角形，即AB ⊥AC ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，又PA ∩AC ＝A ，所以AB ⊥平面PAC ，所以AB ⊥PC .
(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，C (22，22，0)，D (0,22，0)，P (0,0,2)，B (22，－22，0)，PD →
＝(0,22，－2)，AC →＝(22，22，0)，AP →
＝(0,0,2)．
设PM →＝tPD →(0<t <1)，则PM →
＝(0,22t ，－2t )， 所以AM →＝AP →＋PM →
＝(0,22t,2－2t )． 设平面MAC 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则
⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·AC →＝0，n ·AM →＝0，
即⎩⎨
⎧
22x ＋22y ＝0，
22ty ＋(2－2t )z ＝0，
则可取n ＝⎝
⎛
⎭⎪⎫1，－1，2t 1－t .
又m ＝(0,0,1)是平面ACD 的一个法向量，
所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n |
|m ||n |
＝
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪2t t －12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2t t －12
＝cos 45°＝22，解得t ＝12，即点M 是线
段PD 的中点．
此时平面MAC 的法向量n ＝(1，－1，2)，M (0，2，1)，BM →
＝(－22，32，1)． 设BM 与平面MAC 所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈n ，BM →
〉|＝|n ·BM →
||n ||BM →|
＝269.
所以存在PD 的中点M 使得二面角M ­AC ­D 的大小为45°，且BM 与平面MAC 所成角的正弦值为269
.
3.(2019·某某二模)如图，等腰直角△ABC 中，∠B ＝90°，平面ABEF ⊥平面ABC,2AF ＝AB ＝BE ，∠FAB ＝60°，AF ∥BE .
(1)求证：BC ⊥BF ；
(2)求二面角F ­CE ­B 的正弦值．
解析：(1)证明：∵等腰直角△ABC 中，∠B ＝90°，∴BC ⊥AB ， ∵平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF ∩平面ABC ＝AB ， ∴BC ⊥平面ABEF ，
∵BF ⊂平面ABEF ，∴BC ⊥BF . (2)由(1)知BC ⊥平面ABEF ，
故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B ­xyz ， 设2AF ＝AB ＝BE ＝2， ∵∠FAB ＝60°，AF ∥BE .
∴B (0,0,0)，C (0,2,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2，0，32，E (－1,0，3)，
EC →
＝(1,2，－3)，EF →
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫5
2，0，－
32，BC →
＝(0,2,0)， 设平面CEF 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨
⎪⎧ n ·EC →＝0，
n ·EF →＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y －3z ＝0，
52
x －3
2z ＝0，令x ＝3，得n ＝(3，23，5)，
设平面BCE 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨
⎪⎧
m ·EC →＝0，
m ·BC →＝0，
即⎩⎨
⎧
x 1＋2y 1－3z 1＝0，
2y 1＝0，
取x 1＝3，得m ＝(3，0,1)，
设二面角F ­CE ­B 的平面角为θ. 则|cos θ|＝⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪m·n |m |·|n |＝82×210＝105
，
∴sin θ＝
155
， ∴二面角F ­CE ­B 的正弦值为
155
. 4．(2019·高考全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图2.
(1)证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； (2)求图2中的二面角B ­CG ­A 的大小．
解析：(1)证明：由已知得AD ∥BE ，CG ∥BE ，所以AD ∥CG ， 所以AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面． 由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，且BE ∩BC ＝B ， 所以AB ⊥平面BCGE .
又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE .
(2)作EH ⊥BC ，垂足为H .
因为EH ⊂平面BCGE ，平面BCGE ⊥平面ABC ， 所以EH ⊥平面ABC .
由已知，菱形BCGE 的边长为2，∠EBC ＝60°，可求得BH ＝1，EH ＝ 3.
以H 为坐标原点，HC →
的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H ­xyz ，则
A (－1,1,0)，C (1,0,0)，G (2,0，3)，CG →＝(1,0，3)，AC →
＝(2，－1,0)．
设平面ACGD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧
CG →·n ＝0，AC →·n ＝0，
即⎩⎨
⎧
x ＋3z ＝0，
2x －y ＝0.
所以可取n ＝(3,6，－3)．
又平面BCGE 的法向量可取m ＝(0,1,0)，
所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝3
2
.
因此二面角B ­CG ­A 的大小为30°.
5．(2019·汉阳区校级模拟)如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA ＝FC ，且∠DAB ＝∠DBF ＝60°.
(1)求证：AC ⊥平面BDEF ；
(2)求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值． 解析：(1)证明：设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ， ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，且O 为AC 的中点， ∵FA ＝FC ，∴AC ⊥FO ，
又FO ∩BD ＝O ，∴AC ⊥平面BDEF .
(2)连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且∠DBF ＝60°， ∴△DBF 为等边三角形，
∵O 为BD 中点，∴FO ⊥BD ，又AC ⊥FO ，∴FO ⊥平面ABCD .
∵OA ，OB ，OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O ­xyz ，如图所示，
设AB ＝2，∵四边形ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°， ∴BD ＝2，AC ＝2 3.
∵△DBF 为等边三角形，∴OF ＝ 3.
∴A (3，0,0)，B (0,1,0)，D (0，－1,0)，F (0,0，3)，
∴AD →＝(－3，－1,0)，AF →＝(－3，0，3)，AB →
＝(－3，1,0)． 设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧
AF →·n ＝－3x ＋3z ＝0，AB →·n ＝－3x ＋y ＝0，取x ＝1，
得n ＝(1，3，1)．
设直线AD 与平面ABF 所成角为θ， 则直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值为： sin θ＝|cos 〈AD →
，n 〉|＝|AD →
·n ||AD →|·|n |＝155.。