专题十六 圆锥曲线中的热点问题 专题限时集训

基础演练·夺知识
1．已知F 1，F 2是两个定点，且|F 1F 2|＝2a(a 是正常数)，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝a 2＋1，则动点P 的轨迹是( )
A ．椭圆
B ．线段
C ．椭圆或线段
D ．直线
2．以抛物线y 2＝8x 上任意一点为圆心作圆与直线x ＋2＝0相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是( )
A ．(0，2)
B ．(2，0)
C ．(4，0)
D ．(0，4)
3．椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足|PF 1|＝3
2|F 1F 2|，则椭圆C 的离
心率e 的取值范围是( )
A ．e ≤12
B ．e ≥1
4
C .14≤e ≤12
D ．0<e ≤14或1
2
≤e<1 4．已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到准线l 的距离为d ，则d ＋|PC|的最小值为( )
A .41
B ．7
C ．6
D ．9
5．已知动点P(x ，y)，向量m ＝(x －3，y )，n ＝(x ＋3，y )，且满足|m|＋|n |＝8，则动点P 的轨迹方程是____________．
提升训练·强能力
6．在平面直角坐标系内，已知两点A(－2，0)，B(2，0)，动点Q 到点A 的距离为6，线段BQ 的垂直平分线交AQ 于点P ，则点P 的轨迹方程是( )
图Z 16­1
A .x 25＋y 29＝1
B .x 29＋y 2
5＝1 C .x 28＋y 24＝1 D .x 24＋y 2
8
＝1 7．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，则|OA|2＋|OB|2(O 为坐标原点)的最小值为( ) A ．4 B ．8 C ．10 D ．12
8．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2
3＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，
则OP →·FP →的最大值为( )
A .21
4
B ．6
C ．8
D ．12 9．已知点P 是椭圆x 216＋y 2
8＝1上异于四个顶点的动点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦
点，O 是坐标原点．若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M →·MP →
＝0，则|OM|的取值范围是( )
A ．[0，3)
B ．(0，22)
C ．[22，3)
D ．(0，4]
10．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作抛物线的切线l 1，l 2，则l 1与l 2的交点P 的轨迹方程是( )
A ．y ＝－1
B ．y ＝－2
C ．y ＝x －1
D ．y ＝－x －1
11．已知圆M ：x 2＋(y －1)2＝1，圆N ：x 2＋(y ＋1)2＝1，直线l 1，l 2分别过圆心M ，N ，且l 1与圆M 相交于A ，B 两点，l 2与圆N 相交于C ，D 两点，P 是椭圆x 23＋y 2
4＝1上任意一
动点，则PA →·PB →＋PC →·PD →
的最小值为________．
12．在平面直角坐标系内，已知两定点M(0，－2)和N(0，2)，动点P(x ，y)满足|PM →|·|PN →
|＝m(m ≥4)，动点P 的轨迹为曲线E ，给出以下命题： ①∃m 0，曲线E 过坐标原点；
②∀m ，曲线E 与x 轴有三个交点；
③曲线E 关于y 轴对称，但不关于x 轴对称；
④若P ，M ，N 三点不共线，则△PMN 的周长的最小值为2m ＋4；
⑤若曲线E 上与M ，N 不重合的任意一点G 关于原点对称的点为H ，则四边形GMHN 的面积不大于m.
其中真命题的序号是________．(填上所有真命题的序号)
13．已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1：x －2y ＋35＝0相切，点A 为圆上一动点，且AM ⊥x 轴于点M ，动点N 满足ON →
＝33OA →＋(1－33)OM →，设动点N 的轨
迹为曲线C ，求曲线C 的方程．
14．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线为x ＝－1
4，过点M(0，
－2)作抛物线的切线MA ，切点为A(异于点O)，直线l 过点M ，且与抛物线交于B ，C 两点，与直线OA 交于点N.
(1)求抛物线的方程．
(2)试问：|MN||MB|＋|MN|
|MC|
的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
图Z 16­2
15．如图Z 16­3所示，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3
2，以椭圆C 的左
顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，设圆T 与椭圆C 交于M ，N 两点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求|OR|＋|OS|的最小值．
图Z 16­3
专题限时集训(十六)
■ 基础演练
1．C [解析] 因为a 2＋1≥2a(当且仅当a ＝1时，等号成立)，所以|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|.当a ≠1时，|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|，此时动点P 的轨迹是椭圆；当a ＝1时，|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，此时动点P 的轨迹是线段F 1F 2.故选C .
2．B [解析] 易知直线x ＋2＝0为抛物线的准线，根据抛物线的定义，可知圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离，故这些圆恒过定点(2，0)．
3．C [解析] ∵|PF 1|＝3
2|F 1F 2|＝3c ，∴|PF 2|＝2a －3c.由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧2c ＋3c ≥2a －3c ，2c ＋2a －3c ≥3c ⇒14≤
c a ≤1
2
，故选C . 4．A [解析] 由题意得，圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝4， 圆心C 的坐标为(－3，－4)．
由抛物线的定义知，d ＋|PC|的最小值即为圆心C 与抛物线焦点间的距离，
即d ＋|PC|的最小值为（－3－2）2＋（－4）2＝41. 5.x 216＋y 2
7
＝1 [解析] 由已知得，（x －3）2＋y 2＋（x ＋3）2＋y 2＝8，即动点P 到两定点M(3，0)，N(－3，0)的距离之和为常数，且|PM|＋|PN|>|MN|＝6，所以动点P 的轨迹是椭圆，其中2a ＝8，2c ＝6，所以动点P 的轨迹方程为x 216＋y 2
7
＝1.
■ 提升训练
6．B [解析] 因为线段BQ 的垂直平分线交AQ 于点P ，所以|PB|＝|PQ|.又|AQ|＝6，所以|PA|＋|PB|＝|AQ|＝6，又|PA|＋|PB|>|AB|，所以点P 的轨迹是中心在原点，以A ，B 为焦点的椭圆，其中2a ＝6，2c ＝4，所以
b 2＝9－4＝5，所以椭圆方程为
x 29＋y 2
5
＝1. 7．C [解析] 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，与抛物线C 交于A(x 1，y 1)，
B(x 2，y 2)两点，则直线l 的方程为y ＝kx －k.由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx －k ，
得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0(k ≠0)，
则
Δ＝16k 2＋16>0，x 1＋x 2＝
2k 2＋4k
2，x 1x 2＝1.于是|OA|2＋|OB|2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝x 21＋4x 1＋x 22＋4x 2＝(
2k 2＋4k 2)2＋8k 2＋16k 2－2＝16(1
k
2＋1)2－6>10. 当直线l 的斜率不存在时，直线l 垂直于x 轴，得A(1，2)，B(1，－2)，所以|OA|2＋|OB|2
＝12＋22＋12＋22＝10.
综上可知，|OA|2＋|OB|2的最小值为10. 8．B [解析] 设P(x ，y)，
则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2，
又点P 在椭圆上，故x 24＋y 2
3
＝1，
所以x 2＋x ＋(3－34x 2)＝14x 2＋x ＋3＝1
4
(x ＋2)2＋2，
又－2≤x ≤2，
所以当x ＝2时，14
(x ＋2)2＋2取得最大值6，即OP →·FP →
的最大值为6.
9．B [解析] 延长F 1M 交PF 2或其延长线于点G .∵F 1M →·MP →＝0，∴F 1M →⊥MP →
. 又MP 为∠F 1PF 2的平分线，∴|PF 1|＝|PG|，且M 为线段F 1G 的中点．∵O 为线段F 1F 2
的中点，∴OM ∥F 2G ，且|OM|＝1
2
|F 2G|.
∵|F 2G|＝||PF 2|－|PG||＝||PF 2|－|PF 1||， ∴|OM|＝1
2
|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.
∵4－22<|PF 2|<4或4<|PF 2|<4＋22， ∴|OM|∈(0，22)．
10．A [解析] 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，易知抛物线的焦点为F(0，1)．设直线l ：y ＝kx ＋1，代入x 2＝4y ，得x 2＝4kx ＋4，即x 2－4kx －4＝0，则x 1x 2＝－4.对y ＝1
4x 2求导，得y′
＝1
2x ，所以⎩⎨⎧
l 1：y －y 1＝12x 1（x －x 1），l 2：y －y 2＝12x 2（x －x 2），即⎩
⎨⎧l 1：y ＋y 1＝1
2x 1x ，
l 2：y ＋y 2＝1
2
x 2x.
两个方程相除，得y ＋y 1y ＋y 2＝x 1x 2，整理得y ＝x 1y 2－x 2y 1x 2－x 1＝x 1x 2（x 2－x 1）
4（x 2－x 1）
＝－1，所以点P 的轨迹方程是y ＝－1.
11．6 [解析] PA →·PB →＝(PM →＋MA →)·(PM →＋MB →
)＝ PM →2＋PM →·(MB →＋MA →)＋MA →·MB →＝PM →2－1， 同理，PC →·PD →＝PN →2－1.
因为点P 在椭圆上，所以|PM →|＋|PN →
|＝2a ＝4， 所以PA →·PB →＋PC →·PD →＝PM →2＋PN →2
－2＝
(|PM →|＋|PN →|)2－2|PM →|·|PN →|－2＝14－2|PM →|·|PN →|≥14－（|PM →|＋|PN →
|）22＝6，当且仅当|PM
→
|＝|PN →
|＝2时，等号成立，
故所求最小值为6.
12．①④⑤ [解析] 由两定点M(0，－2)和N(0，2)，动点P(x ，y)满足|PM →|·|PN →
|＝m(m ≥4)，可得x 2＋（y ＋2）2·x 2＋（y －2）2＝m.
①将原点坐标(0，0)代入，可得m ＝4，故正确； ②令y ＝0，可得x 2＋4＝m ，故不正确；
③易知曲线E 关于x 轴对称，也关于y 轴对称，故不正确； ④若P ，M ，N 三点不共线，则|PM →|＋|PN →
|≥2
|PM →|·|PN →|
＝2m ，当且仅当|PM →|＝|PN →|＝m 时，等号成立，
∴△PMN 的周长的最小值为2m ＋4，故正确； ⑤由曲线E 上与M ，N 不重合的任意一点G 关于原点对称的点为H ，可得四边形GMHN 的面积为2S △MNG ＝|GM||GN|sin ∠MGN ≤m ，∴四边形GMHN 的面积不大于m ，故正确．
故真命题的序号是①④⑤.
13．解：设动点N(x ，y)，A(x 0，y 0)． 因为AM ⊥x 轴于点M ，所以M(x 0，0)． 设圆C 1的方程为x 2＋y 2＝r 2，由题意得r ＝|35|
1＋4
＝3， 所以圆C 1的方程为x 2＋y 2＝9.
由ON →
＝33OA →＋(1－33)OM →，得(x ，y)＝33(x 0，y 0)＋(1－33)(x 0，0)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝3
3y 0，即⎩⎨⎧x 0＝x ，
y 0＝3y. 又
x 20＋y 2
0＝9，所以
x 2＋(3y)2＝9，得曲线
C 的方程为x 29＋y 2
3
＝1.
14．解：(1)由题设知，－p 2＝－14，即p ＝1
2，
所以抛物线的方程为y 2＝x.
(2)易知函数y ＝－x 的导函数为y′＝－
12x
，设A(x 0，y 0)，
则切线MA 的方程为y －y 0＝－1
2x 0
(x －x 0)．
因为点M(0，－2)在切线MA 上，所以－2－y 0＝－12×1x 0×(－x 0)，即y 0＝－2－1
2×x 0.
由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－2－12×x 0，
y 20＝x 0，可得A(16，－4)， 所以直线OA 的方程为y ＝－14x.
设直线BC 的方程为y ＝kx －2，
由⎩⎨⎧y 2＝x ，y ＝kx －2，
得k 2x 2－(4k ＋1)x ＋4＝0，其判断式Δ＝8k ＋1>0， 所以x B ＋x C ＝4k ＋1k 2，x B x C ＝4
k 2.
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝kx －2，
得x N ＝8
4k ＋1
.
所以|MN||MB|＋|MN||MC|＝x N x B ＋x N x C ＝x N ×x B ＋x C x B x C ＝84k ＋1×4k ＋1k 24k 2＝8
4k ＋1
×4k ＋14＝2，
故
|MN||MB|＋|MN|
|MC|
的值为定值2. 15．解：(1)依题意得，a ＝2，e ＝c a ＝3
2，
∴c ＝3，∴b ＝a 2－c 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)易知点M 与点N 关于x 轴对称，设M(x 1，y 1)，N(x 1，－y 1)，P(x 0，y 0)， 则直线MP 的方程为y －y 0＝y 0－y 1
x 0－x 1
(x －x 0)．
令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1.同理，x S ＝x 1y 0＋x 0y 1
y 0＋y 1
，
故x R x S ＝x 21y 20－x 20y 21
y 20－y 21
①.
又点M 与点P 都在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 2
1)， 代入①式，得
x R x S ＝4（1－y 21）y 20－4（1－y 20）y 21y 20－y 21＝4（y 20－y 21）
y 20－y 21
＝4， ∴|OR|·|OS|＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4， 又|OR|＋|OS|≥2|OR|·|OS|＝4， 当且仅当|OR|＝|OS|＝2时取等号， 故|OR|＋|OS|的最小值为4.。