高考数学总复习单元检测卷 集合与常用逻辑用语1

高考数学总复习单元检测卷 集合与常用逻辑用语1
(时间：60分钟 满分：100分)
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，则∁U (A ∩B )等于( )
A ．{2，3}
B ．{1，4，5}
C ．{4，5}
D ．{1，5}
2.已知命题p ：∃x 0∈R ，sin x 0≥12，则綈p 是( )
A ．∃x 0∈R ，sin x 0≤12
B ．∃x 0∈R ，sin x 0<12
C ．∀x ∈R ，sin x ≤12
D ．∀x ∈R ，sin x <12
3.已知命题p ：“若x ≥a 2＋b 2，则x ≥2ab ”，则下列说法正确的是( )
A ．命题p 的逆命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ”
B ．命题p 的逆命题是“若x <2ab ，则x <a 2＋b 2”
C ．命题p 的否命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ”
D ．命题p 的否命题是“若x ≥a 2＋b 2”，则x <2ab
4.设函数f (x )＝3x ＋b cos x ，x ∈R ，则“b ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则A ∩B 中元素的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6.已知集合A ＝{}x |||x ＋1<1，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2≥0，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－2，－1) B ．(－2，－1]
C ．(－1，0)
D ．[－1，0)
7.已知A B ，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8.已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．[e ，4]
B ．[1，4]
C ．(4，＋∞)
D ．(－∞，1]
9.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－x >0}，则图中的阴影部分表示的集合为
( )
A ．(－∞，1]∪(2，＋∞)
B ．(－∞，0)∪(1，2)
C ．[1，2)
D ．(1，2]
10.已知命题p ：∀x >0，x ＋4x ≥4；命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，2x 0＝12.则下列判断正确的是
( )
A ．p 是假命题
B ．q 是真命题
C ．p ∧(綈q )是真命题
D ．(綈p )∧q 是真命题
11.以下判断正确的是( )
A ．函数y ＝f (x )为R 上的可导函数，则f ′(x 0)＝0是x 0为函数f (x )极值点的充要条件
B ．命题“存在x ∈R ，x 2＋x －1<0”的否定是“任意x ∈R ，x 2＋x －1>0”
C ．命题“在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B ”的逆命题为假命题
D ．“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数”的充要条件
12.设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤n }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题中：①若m ＝
1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤n ≤1；③若n ＝12，则－22≤m ≤0.其中正确命题的个数
是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
第Ⅱ卷 (非选择题 共40分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13.已知集合A ＝⎩
⎨⎧y |y ＝x 2－32x ＋1，
⎭⎬⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________.
14.已知关于x 的不等式(x －a )·(x －a －2)≤0的解集为A ，集合B ＝{x |－2≤x ≤2}.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________.
15.下列4个命题：
①“如果x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数”的逆命题
②“如果x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题
③在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的充分不必要条件
④“函数f (x )＝tan (x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z )”
其中真命题的序号是________.
16.已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1
(x ≥2)，g (x )＝a x (a ＞1，x ≥2). ①若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________.
②∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________. 三、解答题(本大题共2小题，共20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ≠0，
q ：实数x 满足⎩⎨⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0，
(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；
(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.
18.(本小题满分10分)已知p ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0，对∀x ∈R 恒成立；q ：关于x 的方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0，一根在(0，1)上，另一根在(1，2)上.若p ∨q 为真命题，p ∧q
为假命题，求实数a 的取值范围.
参考答案
1.B [A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，∴A ∩B ＝{2，3}，又∵U ＝{1，2，3，4，5}，∴∁U (A ∩B )＝{1，4，5}.]
2.D [特称命题的否定是全称命题故选D ．]
3.C [原命题为若p 则q 的形式，则否命题为若綈p 则綈q 的形式，故选C ．]
4.C [当b ＝0时，函数f (x )为奇函数，反之也成立，故选C ．]
5.C [B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }＝{0，2，4，6}，则A ∩B ＝{0，2}，故选C ．]
6.C [A ＝{x ||x ＋1|＜1}＝{x |－1＜x ＋1＜1}＝{x |－2＜x ＜0}，
B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2≥0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥2＝{x |x ≤－1}， ∴A ∩∁R B ＝{x |－1＜x ＜0}，故选C ．]
7.A [因为A B ，则集合A 中的元素是集合B 中的元素，而集合B 中的元素不一定是集合A 中的元素，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件.]
8.A [若命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”为真命题，则a ≥e ；若命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”为真命题，则Δ＝16－4a ≥0，即a ≤4，所以若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是[e ，4].]
9.A [B ＝{x |x 2－x >0}＝{x |x >1，或x <0}，阴影部分表示的集合为∁U (A ∩B )∩(A ∪B )＝{x |x ≤1或x ＞2}∩{x |1＜x ≤2}＝(－∞，1]∪(2，＋∞)，故选A ．]
10.C [命题p 为真命题，命题q 为假命题，则p ∧(綈q )是真命题，故选C ．]
11.D [A 中，函数y ＝f (x )为R 上的可导函数，则f ′(x 0)＝0是x 0为函数f (x )极值点的充要条件，错误，导数为零的点不一定为极值点例如函数f (x )＝x 3.B 中命题“存在x ∈R ，x 2＋x －1<0”的否定是“任意x ∈R ，x 2＋x －1≥0”；C 中命题“在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B ”的逆命题为真命题；D 中“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数”的充要条件，正确，故选D ．]
12.D [由定义设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤n }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S ，当x ＝n 时，n 2∈S 即n 2≤n ，解得0≤n ≤1，当x ＝m 时，m 2∈S 即m 2≥m ，解得m ≤0，或m ≥1.若m ＝1，由1＝m ≤n ≤1，可得m ＝n ＝1，即S ＝{1}，故①正确；
对于②m ＝－12，m 2＝14∈S ，即14≤n ，故14≤n ≤1，故②正确；
对于③若n ＝12，由m 2∈S ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤0，或m ≥1，m 2≤12
，m ≤12，解得－22≤m ≤0，故③正确；故选
D ．]
13.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ [∵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤716，2，B ＝[1－m 2，＋∞)，A ⊆B ，∴1－m 2≤716，即m 2≥916，m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34，＋∞.] 14.[－2，0] [A ＝[a ，a ＋2]，B ＝[－2，2]，由题意得，A B ．故⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－2，a ＋2≤2.
等号不同时成立，即a ∈[－2，0].]
15.①② [③“A >30°”是“sin A >12”的必要不充分条件，不正确；
④φ＝k π(k ∈Z )是函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数的充分不必要条件，不正确.]
16.①[3，＋∞) ②(1, 3] [①∵x ≥2，∴f (x )＝
x 2－x ＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋1≥2（x －1）·1x －1
＋1＝3.故m ≥3. ②令A ＝{f (x )|f (x )＝
x 2－x ＋1
x －1(x ≥2)}， B ＝{g (x )|g (x )＝a x ，(a ＞1，x ≥2)}，
由题意知A ⊆B ，
又∵f (x )，g (x )在[2，＋∞)均单调递增，
∴a 2≤3，故a ∈(1, 3].]
17.解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0，得(x －3a )(x －a )＜0，
当a ＝1时，解得1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是(1，3)，由⎩⎨⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0，
得2＜x ≤3，即q 为真时实数x 的取值范围是(2，3].
若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是(2，3).
(2)p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p 且p ⇒/ q ，
设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则A B ，又B ＝(2，3]，当a ＞0时，A ＝(a ，3a )；所以当a ＞
0时，有⎩
⎨⎧a ≤2，3＜3a ，解得1＜a ≤2； 当a ＜0时，A ＝(3a ，a )，显然A ∩B ＝∅，不合题意.
综上所述，实数a 的取值范围是(1，2].
18.解 命题p ：当a ＝2时，－4＜0恒成立，符合题意，当a ≠2时，须满足
⎩⎨⎧a －2＜0，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）＜0，
解得－2＜a ＜2.所以当命题p 为真命题时，a 的取值范围是(－2，2].命题q ：令f (x )＝x 2＋(a －1)x ＋1，由题意有⎩⎨⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0，∴⎩
⎨⎧a ＋1＜0，2a ＋3＞0，解得－32＜a ＜－1.
∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p ，q 一真一假，当p 真q 假时有⎩
⎪⎨⎪⎧－2＜a ≤2，a ≤－32或a ≥－1，解得－2＜a ≤－32或－1≤a ≤2.
当p 假q 真时有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ＞2，－32
＜a ＜－1，此不等式组解集为空集. 综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤－2，－32∪[－1，2].。