5.1资本资产定价模型

n n
n
n
对n+1个自变量分别求偏导数，并令其等于零 得n+1个方程，其中前n个方程作下面的代换后
yi
2

xi
变为下面的方程组：
y 1 12 y 2 12 y n 1n ER1 r 2 y 1 21 y 2 2 y n 2 n ER2 r y y y 2 ER r n n n 1 n1 2 n 2
M
p
利用曲线与直线切点处效率相等关系 期 望 收 益 率
M
r
O
B
风险
ERi ERM ERM r M 2 M iM M
ERi ERM
2 ( iM M )( ERM r ) 2 M
iM ERi r 2 ( ERM r ) M
15% 8% (14% 8%)
解上式，得
7 1.17 6
例3.假定无风险资产收益率为6％，市场资产组合 M的期望收益率16％，股票A年初售价每股50元， 在年底将支付每股6元的红利，贝塔系数为1.2， 求年底支付红利后该股票的售价？ 解：
ER 6% (16 6)% *1.2 18%
市场资产组合M
期 望 收 益 率
M
r
O
B
风险
S 一种无风险资产 S0 ，无风险资产的收益率为 r ， n种风险资产的收益率依次为 R ， ，……,R ， 1 R2 n
投资者以
风险资产， 以
假设市场中有n种风险资产 S ， 2 ，……, n ， 1
S
x1，x2，……, xn 的资金比例投资于n种
夏普（ Sharpe）1964年提出资本资产定价模型， 1990年获诺贝尔经济学奖。 主要贡献：发现单项资产风险报酬与其所含系统 性风险之间的均衡关系。
二、市场资产组合的确定
研究假设: （1）所有投资者对于期望收益率、标准差和风 险资产相关性的预测一致。 （2）不存在所得税与交易成本。 （3）所有投资者都是理性的均值-方差最优化者。
M
则有方程组
6% r 0.5( ERM r ) 12% r 1.5( ERM r )
解方程组，得
r 3%
ERM r 6%
因此，证券C的期望收益率为
r 2 ( ERM r ) 15%
iM i 2 M
ERi r i ( ERM r )
上式即为CAPM公式
ERi r i ( ERM r )
结论：单项资产的风险报酬与该项资产所含 系统性风险线性相关。 性质：投资组合p的β系数等于单项资 产β系数的加权平均 。
p x11 x2 2 xn n
即
0.64 y1 0.4 y2 2.1 0.4 y1 2.28 y2 6.2
解得
y1 1.776 y 2 2.408
y1 0.424 y y 1 2 y2 0.576 y1 y2
市场资产组合M中两种资产的比例是:
n n i 1 j 1
，使投资组合的风险最小？
xi x j Cov( Ri , R j )
构造拉格朗日辅助函数
L xi x j Cov( Ri , R j ) [ ER p (1 xi )r xi ERi ]
i 1 j 1
i 1 i 1
P 50 6 18% 50
P 50 18% 50 6 53
例4.假定市场资产组合M的风险报酬是8％，某 投资组合p由25%的股票A与75％的股票B组 成，股票A、B贝塔系数分别是1.15与1.25， 求投资组合p的风险报酬。 解：
p x11 x2 2
0.251.15 0.751.25 1.225
ER p r 1.225 8% 9.8%
例5.证券A、B期望收益率分别是6%，12%，贝塔 系数分别是0.5和1.5，证券C的贝塔系数是2， 求证券C的期望收益率
解：设无风险资产收益率及市场资产组合M的 期望收益率分别是: r 和 ER
例2．无风险资产收益率为8%，市场资产组 合M的期望收益率为14%。 (1)甲股票的贝塔系数是0.9，求甲股票的期望 收益率 (2)乙股票的期望收益率为15%，求乙股票的 贝塔系数 解： (1)甲股票的期望收益率
8% 0.9 (14% 8%) 13.4%
（2）根据CAPM模型，乙股票的贝塔系 数满足
0.64% 2 ER2 10.20% 2 2.28% 0.4%
ER1 6.10%
2
1
12
求市场资产组合M及资本市场线方程
解:根据方程组
y 2 y ER r 2 12 1 1 1 2 y1 y 2 2 ER r 21 2
一种无风险资产无风险资产的收益率为的资金比例投资于n种风险资产对n1个自变量分别求偏导数并令其等于零得n1个方程其中前n个方程作下面的代换后变为下面的方程组
第五章 资本市场均衡
第一节
第二节 第三节
资本资产定价模型
因素模型 套利定价理论

第一节
资本资产定价模型
一、背景介绍
托宾—马科威茨的资产选择模型计算繁杂。
资本市场线方程:
ER p r
ERM r
M
p
8.46% 4% ER p 4% p 0.1033
ERp 4% 43.18% p
三、CAPM公式
Capital Asset Pricing Model 资本市场线方程:
ER p r ERM r
其中
2 i
பைடு நூலகம் Cov( Ri , Ri )
ij Cov( Ri , R j )
上述方程组的解与
ERp 无关。
yi
2

xi

xi
yi xi yi
xi 与 ERp 无关
xi
结论：不论投资者如何选择 ERp ，
不同人投资于第
i 种资产的比例都是相同的。
例1.设市场中无风险资产收益率 r 4% ，仅 有2种风险资产，它们的期望收益率、方差 分别是
1 x1 xn 的资金比例投资于无风险资产。
R p (1 xi )r xi Ri
ER p (1 xi )r xi ERi
i 1 i 1
n
n
i 1 n
i 1 n
问题：给定投资组合的期望收益率 ERp 求 1
2 P
x , x2 , , xn
(0.424, 0.576)
市场资产组合M的收益率
ERM 0.424 ER1 0.576 ER2 8.46%
市场资产组合M的方差
2 2 2 M x12 12 x2 2 2 x1 x2 12 0.01067
市场资产组合M的标准差
M 0.01067 0.1033