2020-2021学年北师大版数学选修1-1课时作业：第一章 2 充分条件与必要条件

[A 组 基础巩固]
1．“2a >2b ”是“log 2a >log 2b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：若2a >2b ，则只能得到a >b ，但不能确定a ，b 的正负，当0>a >b 时，log 2a ，log 2b 均无意义，更不能比较其大小；若log 2a >log 2b ，则a >b >0，从而有2a >2b 成立．综上，“2a >2b ”是“log 2a >log 2b ”的必要不充分条件．
答案：B
2．已知a ，b 都是实数，那么“a 2>b 2”是“a >b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：①当a 2>b 2时，有a 2－b 2>0⇔(a ＋b )(a －b )>0，由此推不出a >b . ②当a >b 时，如若a ＝－2，b ＝－3，有a 2<b 2，故推不出a 2>b 2. 所以“a 2>b 2”是“a >b ”的既不充分也不必要条件． 答案：D
3．l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线，q ：l 1，l 2不相交，则( ) A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 C ．p 是q 的充分必要条件
D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
解析：根据空间两条直线的位置关系和充要条件的定义进行判断．
若l 1，l 2异面，则l 1，l 2一定不相交；若l 1，l 2不相交，则l 1，l 2是平行直线或异面直线，故p ⇒q ，q /⇒p ，故p 是q 的充分不必要条件．
答案：A
4．“x ＝π
4”是“函数y ＝sin 2x 取得最大值”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：当x ＝π4时，函数y ＝sin 2x ＝sin π
2＝1取得最大值；反过来，当函数y ＝sin 2x 取得最
大值时，不能推出x ＝π4，如x ＝5π4时，函数y ＝sin 2x 也可取得最大值．综上所述，“x ＝π
4”
是“函数y ＝sin 2x 取得最大值”的充分不必要条件，选A.
答案：A
5．在下列四个结论中，正确的有( ) ①x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件；
②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件； ③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为0”的充要条件； ④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件． A ．①② B ．③④ C ．①④
D ．②③
解析：对于结论①，由x 3<－8⇒x <－2⇒x 2>4；但是x 2>4⇒x <－2或x >2⇒x 3<－8或x 3>8，不一定有x 3<－8.故x 3<－8⇒x 2>4，但x 2>4⇒/ x 3<－8.所以①正确．
根据选择题的特点，对以上的四个结论有选择地进行判断，现已判定①正确，则不必对③进行判定了．因为由①正确可知应淘汰B ，D ，进而只要对A ，C 作进一步的选择，而选A 还是选C ，只需对②或④中的一个作出判定即可，可以从②④中选择容易判定的一个．
结论②，“△ABC 为直角三角形”没有明确哪个顶点为直角顶点，因此就不一定有“AB 2
＋AC 2＝BC 2”成立．故“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充分不必要条件．
答案：C
6．已知p ：x 2＋x －2＞0，q ：x ＞a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是________．
解析：将p ，q 分别视为集合A ＝{x |x 2＋x －2＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－2}，B ＝{x |x ＞a }，已知q 是p 的充分不必要条件，即B A ，在数轴上表示出两个集合(图略)，可知满足题意的a 的取值范围为a ≥1.
答案：[1，＋∞)
7．设a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1
a ”的________条件．
解析：∵0<ab <1，∴a ，b 同号，且ab <1. ∴当a >0，b >0时，a <1b ；当a <0，b <0时，b >1
a .
∴“0<ab <1”是“a <1b 或b >1
a
”的充分条件．
而取a ＝－1，b ＝1，显然有a <1
b ，但不能推出0<ab <1，
∴“0<ab <1”是“a <1b 或b >1
a ”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
8．已知p ：x 2－4x －5≤0，q ：|x －3|<a (a >0)．若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________．
解析：设A ＝{x |x 2－4x －5≤0}＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x ||x －3|<a }＝{x |－a ＋3<x <a ＋3}．因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B ，故⎩
⎪⎨⎪⎧
－a ＋3<－1a ＋3>5，解得a >4，即实数a 的取值范围
为(4，＋∞)．
答案：(4，＋∞)
9．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件． 解析：若方程ax 2＋2x ＋1＝0有且仅有一个负实数根，则 a ＝0时，x ＝－1
2
，符合题意．
当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0有实数根，则Δ＝4－4≥0，解得a ≤1， 当a ＝1时，方程有且仅有一个负实数根x ＝－1，
当a <1且a ≠0时，若方程有且仅有一个负实数根，则1
a
<0，即a <0.
综上，“方程ax 2＋2x ＋1＝0有且仅有一个负实数根”的充要条件为“a ≤0或a ＝1”． 10．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件． (1)已知a 、b 是不等于0的实数，p ：a
b >1，q ：a >b ；
(2)p ：m <－2，q ：方程x 2－x －m ＝0无实根；
(3)已知p ：－2<m <0,0<n <1，q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根． 解析：(1)由条件“a
b >1”可得a －b b >0，
若b >0，则a >b ；若b <0，则有a <b ， ∴“a
b
>1”⇒/ “a >b ”，条件不充分．
反过来，a >b ⇔a －b >0，也不能推出a －b b >0⇔a
b >1，条件也不必要．
∴p 是q 的既不充分也不必要条件，q 也是p 的既不充分也不必要条件． (2)∵m <－2⇒方程x 2－x －m ＝0无实根； 方程x 2－x －m ＝0无实根⇒/ m <－2.
∴p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件．
(3)若x 2＋mx ＋n ＝0有两根x 1，x 2，则由根与系数的关系，有x 1＋x 2＝－m ，x 1·x 2＝n ， 又0<x 1，x 2<1，∴0<x 1＋x 2<2,0<x 1x 2<1. ∴－2<m <0,0<n <1，∴q ⇒p .
当m ＝－1，n ＝1
2时，方程x 2＋mx ＋n ＝0，
即x 2－x ＋1
2
＝0，此方程无实根，故p ⇒/ q .
∴p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件．
[B 组 能力提升]
1．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (4－x )＝f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，那么“f (0)<0”是“函数f (x )在区间[0,6]上有3个零点”的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：依题意，得f (4－x )＝f (x )＝f (－x )，即函数f (x )是以4为周期的函数．因此，当f (0)<0时，不一定能得出函数f (x )在区间[0,6]上有3个零点，如当f (2)<0时，结合该函数的性质及图像，分析可知此时函数f (x )在区间[0,6]上不存在零点；当函数f (x )在区间[0,6]上有3个零点时，结合该函数的性质及图像，分析可知此时f (0)<0.综上，“f (0)<0”是“函数f (x )在区间[0,6]上有3个零点”的必要不充分条件．
答案：C
2．设0<x <π
2，则“x sin 2 x <1”是“x sin x <1”的________条件．
解析：因为0<x <π
2
，所以0<sin x <1.
由x ·sin x <1知x sin 2x <sin x <1，因此必要性成立．由x sin 2x <1得x sin x <1sin x ，而1
sin x >1，
因此充分性不成立．
答案：必要不充分 3．给出下列命题：
①命题“若b 2－4ac <0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根”的否命题； ②命题“在△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，那么△ABC 为等边三角形”的逆命题； ③命题“若a >b >0，则3a >3b >0”的逆否命题；
④“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ”的逆命题． 其中真命题的序号为________．
解析：①否命题：若b 2－4ac ≥0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，真命题；
②逆命题：若△ABC 为等边三角形，则AB ＝BC ＝CA ，真命题；
③因为命题“若a >b >0，则3a >3b >0”是真命题，故其逆否命题为真；
④逆命题：若mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ，则m >1，假命题，因为
⎩
⎪⎨⎪⎧
m >0，[－2(m ＋1)]2－4m (m －3)<0，得m ∈∅. 所以应填①②③. 答案：①②③
4．已知条件p ：A ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}，条件q ：B ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，当a 为何值时，
(1)p 是q 的充分不必要条件； (2)p 是q 的必要不充分条件； (3)p 是q 的充要条件．
解析：由p ：A ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，由q ：B ＝[1,2]． (1)∵p 是q 的充分不必要条件， ∴A ⊆B 且A ≠B ，故A ＝[1，a ]⇒1≤a <2. (2)∵p 是q 的必要不充分条件，
∴B ⊆A 且A ≠B ，故A ＝[1，a ]且a >2⇒a >2. (3)∵p 是q 的充要条件，∴A ＝B ⇒a ＝2.
5．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |
x －2
x －3a －1<0，B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x －a 2－2x －a <0.记p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．
解析：B ＝{x |a <x <a 2＋2}．
①当3a ＋1>2，即a >1
3时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}．
∵q 是p 的必要条件，∴A ⊆B ，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≤23a ＋1≤a 2＋2，得13<a ≤3－52. ②当3a ＋1＝2，即a ＝1
3时，A ＝∅，不符合题意．
③当3a ＋1<2，即a <1
3
时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，
由A ⊆B ，得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，得－12≤a <1
3.
综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤13，3－52.
莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

每一日所付出的代价都比前一日高，因为你的生命又消短了一天，所以每一日都要更用心。

这天太宝贵，不就应为酸苦的忧虑和辛涩的悔恨所销蚀，抬起下巴，抓住这天，它不再回来。

加油！！。