2019年全国中考数学真题分类汇编40：直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系
一、选择题
1.（2019年重庆市）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交
于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（）
A．40°B．50°C．80°D．100°
【考点】切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、三角形的外角性质【解答】解：∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠C＝50°，
∴∠ABC＝40°，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABC＝40°，
∴∠AOD＝∠ODB+∠ABC＝80°；
故选：C．
2. （2019年云南省）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（）
A.4
B.6.25
C.7.5
D.9
【考点】切线的性质、勾股定理、正方形的判定
【解答】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB 2+AC 2=BC 2，∴△ABC为直角三角形，且∠A=90°，∵⊙O为△ABC内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF ，∴四边形AEOF 为正方形，设⊙O的半径为r ，∴OE=OF=r，∴S 四边形AEOF =r ²，连接AO ，BO ，CO ，∴S △ABC =S △AOB +S △AOC +S △BOC ，∴
AC AB BC AC AB ⋅=++21)(21，∴r=2，∴S 四边形AEOF =r ²
=4，故选A 3.（2019年广西贺州市）如图，在△ABC 中，O 是AB 边上的点，以O 为圆心，OB 为半径的⊙O 与AC 相切于点D ，BD 平分∠ABC ，AD ＝OD ，AB ＝12，CD 的长是（ ）
A ．2
B ．2
C ．3
D ．4
【考点】切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数的定义
【解答】解：∵⊙O 与AC 相切于点D ，
∴AC ⊥OD ，
∴∠ADO ＝90°，
∵AD ＝
OD ， ∴tan A ＝＝，
∴∠A ＝30°，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠OBD ＝∠CBD ，
∵OB ＝OD ，
∴∠OBD ＝∠ODB ，
∴∠ODB ＝∠CBD ，
∴OD ∥BC ，
∴∠C ＝∠ADO ＝90°，
∴∠ABC ＝60°，BC ＝
AB ＝6，AC ＝BC ＝6， ∴∠CBD ＝30°，
∴CD ＝BC ＝×6＝2；
故选：A ．
4.（2019年乐山市）如图5，抛物线44
12-=x y 与x 轴交于A 、B 两点，P 是以点C （0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连结OQ .则线段OQ 的最大值是（ ）
()A 3 ()B 241 ()C 2
7 ()D 4 【考点】切线的性质、二次函数的性质、勾股定理
【解答】因为抛物线4412-=x y 与x 轴交于A 、B 两点，所以A （-4,0），B （4,0），即OA=4.
又因为P 在圆C 上，且半径为2，即CP=2,OC=3，Q 是AP 上的中点.所以当AP 与圆C 相切时OQ 最大。

可得∠APC=90°，连接AC ，在Rt △ACO 中由勾股定理得AC=5，连接BC ，可知BCP 在同一直线上，所以BP=BC+CP=7，因为Q 为AP 中点，O 为AB 中点，所以OQ=2
1BP=27. 5. （2019年江苏省苏州市）如图，AB 为O ⊙的切线，切点为A ，连接AO BO 、，BO 与O ⊙交于点C ，延长BO 与O ⊙交于点D ，连接AD ，若36ABO ∠=o ，则ADC ∠
的度数为
（ ）
A ．54o
B ．36o
C ．32o
D ．27o
【考点】圆的切线性质、三角形的内角和
【解答】切线性质得到90BAO ∠=o
903654AOB ∴∠=-=o o o
OD OA =Q
OAD ODA ∴∠=∠
AOB OAD ODA ∠=∠+∠Q
27ADC ADO ∴∠=∠=o
故选D
6. （2019年浙江省杭州市）如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，若PA=3，则PB =（ ）
A .2
B .3
C .4
D .5
【考点】圆的切线长性质
【解答】因为PA 和PB 与⊙O 相切，所以PA ＝PB ＝3
故选B
二、填空题
1. （2019年山东省菏泽市）如图，直线y ＝﹣x ﹣3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 是x 轴
D
B
P
上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是．
【考点】切线的判定和性质、一次函数、相似三角形的判定和性质
【解答】解：∵直线y＝﹣x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0．﹣3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5，
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，
则PD⊥AB，PD＝1，
∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠PAD＝∠BAO，
∴△APD∽△ABO，
∴＝，
∴＝，
∴AP＝，
∴OP＝，
∴P（﹣，0），
故答案为：（﹣，0）．
2. (2019年浙江省温州市)如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧
（）上，若∠BAC＝66°，则∠EPF等于度．
【考点】切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理
【解答】解：连接OE，OF
∵⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F
∴OE⊥AB，OF⊥AC
又∵∠BAC＝66°
∴∠EOF＝114°
∵∠EOF＝2∠EPF
∴∠EPF＝57°
故答案为：57°
3.（2019年湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为．
【考点】切线的性质，圆周角定理
【解答】解：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，
∵C（3，4），
∴OC＝＝5，
∵以点C为圆心的圆与y轴相切．
∴⊙C的半径为3，
∴OP＝OA＝OB＝8，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
∴AB长度的最大值为16，
故答案为16．
4.（2019年湖北省荆州市）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过B点的切线交
AC的延长线于点D，E为弦AC的中点，AD＝10，BD＝6，若点P为直径AB上的一个
动点，连接EP，当△AEP是直角三角形时，AP的长为．
【考点】切线的性质、相似三角形的判定与性质
【解答】解：∵过B点的切线交AC的延长线于点D，
∴AB⊥BD，
∴AB＝＝＝8，
当∠AEP＝90°时，∵AE＝EC，
∴EP经过圆心O，
∴AP＝AO＝4；
当∠APE＝90°时，则EP∥BD，
∴＝，
∵DB2＝CD•AD，
∴CD＝＝＝3.6，
∴AC＝10﹣3.6＝6.4，
∴AE＝3.2，
∴＝，
∴AP＝2.56．
综上AP的长为4和2.56．
故答案为4和2.56．
5.（2019年内蒙古包头市）如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC
与⊙O相切于点C，∠CAB＝90°，若BD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠CBD，则弦BC的长为．
【考点】切线的性质、相似三角形的判定与性质
【解答】解：连接CD、OC，如图：
∵AC与⊙O相切于点C，
∴AC⊥OC，
∵∠CAB＝90°，
∴AC⊥AB，
∴OC∥AB，
∴∠ABC＝∠OCB，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠CBO，
∴∠ABC＝∠CBO，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°＝∠CAB，
∴△ABC∽△CBD，
∴＝，
∴BC2＝AB×BD＝4×6＝24，
∴BC＝＝2；
故答案为：2．
三、解答题
1.(2019年天津市)已经PA,PB 分别与圆O 相切于点A ，B ，∠APB=80°，C 为圆O 上一点. （I ）如图①，求∠ACB 得大小；
（II ）如图②，AE 为圆O 的直径，AE 与BC 相交于点D ，若AB=AD ，求∠EAC 的大小.
【考点】切线的性质、圆内有关性质
【解答】（I ）如图，连接OA ，OB
∵PA,PB 是圆O 的切线，
∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB
即：∠OAP=∠OBP=90°
∵∠APB=80°
∴在四边形OAPB 中，∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=100°
∵在圆O 中，∠ACB=
21∠AOB ∴∠ACB=50°
（II ）如图，连接CE ∵AE 为圆O 的直径 ∴∠ACE=90°
由（1）知，∠ACB=50°，∠BCE=∠ACE-∠ACB=40° ∴∠BAE=∠BCE=40° ∵在△ABD 中，AB=AD ∴∠ADB=∠ABD=
︒=∠︒70)-180(2
1
BAE 又∠ADB 是△ADC 的一个外角，有∠EAC=∠ADB-∠ACB ∴∠EAC=20°
2. （2019年北京市）在平面内，给定不在同一直线上的点A ，B ，C ，如图所示．点O 到
点A ，B ，C 的距离均等于a （a 为常数），到点O 的距离等于a 的所有点组成图形G ，
ABC ∠的平分线交图形G 于点D ，连接AD ，CD ． （1）求证：AD=CD ；
（2）过点D 作DE ⊥BA ，垂足为E ，作DF ⊥BC ，垂足为F ，延长DF 交图形G 于点M ，连接CM ．若AD=CM ，求直线DE 与图形G 的公共点个数．
【考点】切线的判定、圆内有关性质、全等三角形的判定 【解答】如图所示，依题意画出图形G 为⊙O，如图所示 （1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD， ∴AD CD =，∴AD=CD
（2）解：∵AD=CD，AD=CM ，∴CD=CM.∵DF⊥BC，∴∠DFC=∠CFM=90° 在Rt△CDF和Rt△CMF中
⎩⎨
⎧==CF
CF CM
CD ，∴△CDF≌△CMF（HL ），∴DF=MF，∴BC为弦DM 的垂直平分线 ∴BC为⊙O的直径，连接OD
∵∠COD=2∠CBD，∠ABC=2∠CBD，∴∠ABC=∠COD，∴OD∥BE.
又∵DE⊥BA，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线. ∴直线DE 与图形G 的公共点个数为1个.
C
B
A
3. （2019年四川省广安市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD
平分∠BAC，AD交BC于点D，ED⊥AD交AB于点E，△ADE的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径r及∠3的正切值．
【考点】切线的判定和性质、圆内有关性质、勾股定理、三角函数、相似三角形
【解答】（1）证明：∵ED⊥AD，
∴∠EDA＝90°，
∵AE是⊙O的直径，
∴AE的中点是圆心O，
连接OD，则OA＝OD，
∴∠1＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠2＝∠1＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠BDO＝∠ACB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝10，
∵OD∥AC，
l
图13
∴△BDO ∽△BCA ， ∴，即，
∴r ＝
，
在Rt △BDO 中，BD ＝＝
＝5，
∴CD ＝BC ﹣BD ＝8﹣5＝3， 在Rt △ACD 中，tan ∠2＝＝
＝，
∵∠3＝∠2， ∴tan ∠3＝tan ∠2＝
．
4. （2019年乐山市）如图13，直线l 与⊙O 相离，l OA ⊥于点A ，与⊙O 相交于点P ，
5=OA .C 是直线l 上一点，连结CP 并延长交⊙O 于另一点B ，且AC AB =.
（1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为3，求线段BP 的长.
【解答】 证明：(1)如图，连结OB ，则OB OP =，
∴CPA OPB OBP ∠=∠=∠， AC AB =，ABC ACB ∠=∠∴，
而l OA ⊥，即︒=∠90OAC ，
︒=∠+∠∴90CPA ACB ，
即︒=∠+∠90OBP ABP
，
︒=∠∴90ABO ， AB OB ⊥∴，
故AB 是⊙O 的切线；
(2)由(1)知：︒=∠90ABO ， 而5=OA ，3==OP OB ，
由勾股定理，得：4=AB ， 过O 作PB OD ⊥于D ，则DB PD =， 在ODP ∆和CAP ∆中，
CPA OPD ∠=∠ ，︒=∠=∠90CAP ODP ， ODP ∆∴∽CAP ∆，
CP
OP
PA PD =
∴
， 又4==AB AC ，2=-=OP OA AP ，
5222=+=∴AP AC PC ，
553=⋅=
∴CP PA OP PD ，55
6
2==∴PD BP . 5. （2019年山东省滨州市）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，
AC 交于点D ，E ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ．
（1）求证：直线DF 是⊙O 的切线； （2）求证：BC 2＝4CF •AC ；
（3）若⊙O 的半径为4，∠CDF ＝15°，求阴影部分的面积．
【考点】切线的判定和性质、圆内有关性质、扇形面积、相似三角形
【解答】解：（1）如图所示，连接OD，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，而OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，
∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C＝90°，∴∠CDF+∠ODB＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴直线DF是⊙O的切线；
（2）连接AD，则AD⊥BC，则AB＝AC，
则DB＝DC＝，
∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，∴∠CDF＝∠DCA，
而∠DFC＝∠ADC＝90°，∴△CFD∽△CDA，
∴CD2＝CF•AC，即BC2＝4CF•AC；
（3）连接OE，
∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA，
∴∠AOE＝120°，
S△OAE＝AE×OE sin∠OEA＝×2×OE×cos∠OEA×OE sin∠OEA＝4，
S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE＝×π×42﹣4＝﹣4．
6. （2019年山东省菏泽市）如图，BC是⊙O的直径，CE是⊙O的弦，过点E作⊙O的切
线，交CB的延长线于点G，过点B作BF⊥GE于点F，交CE的延长线于点A．
（1）求证：∠ABG＝2∠C；
（2）若GF＝3，GB＝6，求⊙O的半径．
【考点】切线的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质【解答】（1）证明：连接OE，
∵EG是⊙O的切线，
∴OE⊥EG，
∵BF⊥GE，
∴OE∥AB，
∴∠A＝∠OEC，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠C，
∴∠A＝∠C，
∵∠ABG＝∠A+∠C，
∴∠ABG＝2∠C；
（2）解：∵BF⊥GE，
∴∠BFG＝90°，
∵GF＝3，GB＝6，
∴BF＝＝3，
∵BF∥OE，
∴△BGF∽△OGE，
∴＝，
∴＝，
∴OE＝6，
∴⊙O的半径为6．
7. （2019年山东省济宁市）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E
为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若DH＝9，tan C＝，求直径AB的长．
【考点】切线的判定和性质、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质、建模思想
【解答】解：（1）∵D是的中点，
∴OE⊥AC，
∴∠AFE＝90°，
∴∠E+∠EAF＝90°，
∵∠AOE＝2∠C，∠CAE＝2∠C，∴∠CAE＝∠AOE，
∴∠E+∠AOE＝90°，
∴∠EAO＝90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）∵∠C＝∠B，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴tan C＝tan∠ODB＝＝，∴设HF＝3x，DF＝4x，
∴DH＝5x＝9，
∴x＝，
∴DF＝，HF＝，
∵∠C＝∠FDH，∠DFH＝∠CFD，∴△DFH∽△CFD，
∴＝，
∴CF＝＝，
∴AF＝CF＝，
设OA＝OD＝x，
∴OF＝x﹣，
∵AF2+OF2＝OA2，
∴（）2+（x﹣）2＝x2，
解得：x＝10，
∴OA＝10，
∴直径AB的长为20．
8. （2019年山东省枣庄市）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点
D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE＝2，DE＝4，求圆的半径及AC的长．
【考点】切线的判定和性质、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数、建模思想
【解答】（1）证明：连接OC．
∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，
∴△OCB≌△OCD（SSS），
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r．
在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，
∴（4﹣r）2＝r2+22，
∴r＝1.5，
∵tan∠E＝＝，
∴＝，
∴CD＝BC＝3，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝3．
∴圆的半径为1.5，AC的长为3．
9. （2019年四川省达州市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交⊙O于点D，
交BC于点E，过点D作直线DF∥BC．
（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝6，AE＝，CE＝，求BD的长．
【考点】切线的判定和性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质
【解答】解：（1）DF与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，
∵DF∥BC，
∴OD⊥DF，
∴DF与⊙O相切；
（2）∵∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠C，
∴△ABD∽△AEC，
∴，
∴＝，
∴BD＝．
10. （2019年四川省资阳市）如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，
且∠APB＝60°．
（1）求∠BAC的度数；
（2）若PA＝1，求点O到弦AB的距离．
【考点】切线的性质、垂径定理、切线长定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质
【解答】解：（1）∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，
∴PA＝PB，∠PAC＝90°，
∵∠APB＝60°，
∴△APB是等边三角形，
∴∠BAP＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣∠BAP＝30°；
（2）作OD⊥AB于D，如图所示：
则AD＝BD＝AB，
由（1）得：△APB是等边三角形，
∴AB＝PA＝1，
∴AD＝，
∵∠BAC＝30°，
∴AD＝OD＝，
∴OD＝，
即求点O到弦AB的距离为．
11. （2019年云南省）如图，B 是⊙C 的直径，M 、D 两点在AB 的延长线上，E 是OC 上的点，且DE 2＝DB· DA.延长AE 至F ，使AE ＝EF ，设BF ＝10，cos
∠BED 5
4
（1）求证：△DEB∽△DAE； （2）求DA ，DE 的长；
（3）若点F 在B 、E 、M 三点确定的圆上，求MD 的长.
【考点】勾股定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数
【解答】（1）证明：DE 2＝DB·DA， ∴
DE
DB
DA DE =
又∵∠BDE＝∠EDA， ∴△BED∽△DAE
（2） 解：∵AB是⊙C的直径，E 是⊙C上的点， ∴∠AEB=90°，即BE⊥AF. 又∵AE=EF；BF=10 ∴AB=BF=10，
∴ADEB ∽△DAE，cos ∠BED=
5
4 ∴∠EAD=∠BED,cos ∠EAD =cos ∠BED=
5
4 在Rs△ABE中，由于AB ＝10，cos ∠EAD＝5
4
,得AE=ABcos∠EAD=8， ∴622=-=
AE AB BE
∴△DEB ∽△DAE ∴
4
3
86====AE EB DE DB DA DE ∵DB=DA -AB=DA-10
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=431043
DE DA DA DE ,解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==71207
160DE DA 经检验，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
==71207160DE DA 是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=43104
3DE DA DA DE 的解。

∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==71207160DE DA
（3）解：连接FM. ∵BE⊥AF，即∠BEF＝90°，
∴BF是B 、E 、F 三点确定的圆的直径.
∵点F 在B 、E 、M 三点确定的圆上，即四点F 、E 、B 、M 在同一个圆上， ∴点M 在以BF 为直径的圆上 ∴FM⊥AB
在Rt△AMF中，由cos ∠FAM＝
AF
AM
得 AM ＝AFcos ∠FAM ＝2AEcos ∠EAB＝2×8×54＝5
64 ∴MD＝DA －AM ＝35
352
5647160=
- ∴MD＝
35
352
12.（2019年广西贵港市）如图，在矩形ABCD 中，以BC 边为直径作半圆O ，OE ⊥OA 交
CD 边于点E ，对角线AC 与半圆O 的另一个交点为P ，连接
AE ．
（1）求证：AE 是半圆O 的切线； （2）若PA =2，PC =4，求AE 的长．
【考点】切线的判定和性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质
【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD 中，∠ABO =∠OCE =90°， ∵OE ⊥OA ， ∴∠AOE =90°，
∴∠BAO +∠AOB =∠AOB +∠COE =90°， ∴∠BAO =∠COE ，
∴△ABO∽△OCE，
∴=，
∵OB=OC，
∴=，
∵∠ABO=∠AOE=90°，
∴△ABO∽△AOE，
∴∠BAO=∠OAE，
过O作OF⊥AE于F，
∴∠ABO=∠AFO=90°，
在△ABO与△AFO中，，
∴△ABO≌△AFO（AAS），
∴OF=OB，
∴AE是半圆O的切线；
（2）解：∵AF是⊙O的切线，AC是⊙O的割线，∴AF2=AP•AC，
∴AF==2，
∴AB=AF=2，
∵AC=6，
∴BC==2，
∴AO==3，
∵△ABO∽△AOE，
∴=，
∴=，
∴AE=．
13. （2019年广西贺州市）如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相
切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求AC的长度．
【考点】切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质
【解答】解：（1）∵AF与⊙O相切于点A，
∴AF⊥OA，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝30°，
∴∠DBC＝∠DAC＝30°，
∵∠F＝30°，
∴∠F＝∠DBC，
∴AF∥BC，
∴OA⊥BC，
∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ADB＝∠AOB＝30°；
（2）∵OA⊥BC，
∴BE＝CE＝BC＝4，
∴AB＝AC，
∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB，
∵∠OBE＝30°，
∴OE＝OB，BE＝OE＝4，
∴OE＝，
∴AC＝AB＝OB＝2OE＝．
14.（2019年江苏省泰州市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，AB=8，求CE的长.
【考点】切线的判定，相似三角形的判定和性质
【解答】（1）DE为⊙O的切线，
理由：连接O D，
∵AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，
∴弧AD=弧CD,
∴∠AOD ＝∠C OD ＝90°， 又∵DE ∥AC ，
∴∠EDO ＝∠A OD ＝90°， ∴DE 为⊙O 的切线.
(2)解：∵DE ∥AC ， ∴∠EDO ＝∠A CD,
∵∠A CD ＝∠A BD, ∵∠DCE ＝∠B A D, ∴△DCE ∽△BAD ， ∴
∵半径为5，∴AC ＝10， ∵ D 为弧AC 的中点， ∴AD ＝CD ＝52
∴
∴CE ＝4
25
15.（2019年江苏省扬州市）如图，AB 是⊙O的弦，过点O 作OC⊥OA，OC 交于AB 于P ，且CP=CB 。

（1）求证：BC 是⊙O的切线；
AB
DC
AD CE =8
252
5=
CE
（2）已知∠BAO=25°，点Q是弧A m B上的一点。

①求∠AQB的度数；
②若OA=18，求弧A m B的长。

【考点】直线与圆的位置关系，扇形的弧长，圆心角于圆周角关系、等腰三角形【解答】解（1）连接OB
∵CP=CB
∴∠CPB=∠CBP
∵OA⊥OC
∴∠AOC=90°
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
∵∠PAO+∠APO=90°
∴∠ABO+∠CBP=90°
∴∠OBC=90°
∴BC是⊙O的切线
（2）①∵∠BAO=25° OA=OB
∴∠BAO=∠OBA=25°
∴∠AOB=130°∴∠AQB=65°
②∵∠AOB=130° OB=18
∴l弧AmB=（360°-130°）π×18÷180=23π
16.（2019年湖北省十堰市）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为C延长线上一点，且∠CDE＝∠BAC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半径．
【考点】圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质
【解答】解：（1）如图，连接OD，AD，
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，
∵∠CDE＝∠BAC．
∴∠CDE＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵∠ADO+∠ODC＝90°，
∴∠ODC+∠CDE＝90°
∴∠ODE＝90°
又∵OD是⊙O的半径
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵AB＝3BD，
∴AC＝3DC，
设DC＝x，则AC＝3x，
∴AD＝＝2x，
∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，
∴△CDE∽△DAE，
∴＝，即＝＝
∴DE＝4，x＝，
∴AC＝3x＝14，
∴⊙O的半径为7．
17.（2019年陕西省）如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线，
作BM＝AB，并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．
(1)求证：AB＝BE；
(2)若⊙O的半径R＝5，AB＝6，求AD的长．
【考点】圆的切线的性质、相似三角形的判定和性质
【解答】(1)证明：∵AP是⊙O的切线，
∴∠EAM＝90°，
∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°.
又∵AB＝BM，
∴∠MAB＝∠AMB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE
(2)解：连接BC
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°
在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，
∴BC＝8
由(1)知，∠BAE＝∠AEB，
∴△ABC∽△EAM
∴∠C＝∠AME，AC
EM ＝BC AM
即10
12
＝
8
AM
∴AM ＝485
又∵∠D ＝∠C ，
∴∠D ＝∠AMD
∴AD ＝AM ＝485
18.（2019年浙江省衢州市）如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E.
（1）求证：DE 是⊙O 的切线.
（2）若DE= ，∠C=30°，求 的长。

【考点】圆周角定理，切线的判定，弧长的计算
【解答】（1）证明：如图，连结OD ．
∵OC=OD ，AB=AC ，
∴∠1=∠C ，∠C=∠B ，
∴∠1=∠B,
∴DE ⊥AB ，
∴∠2+∠B=90°，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE为⊙O的切线．
（2）解：连结AD，∵AC为⊙O的直径．
∴∠ADC=90°．
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=30°，BD=CD，
∴∠AOD=60°．
∵DE= ，
∴BD=CD=2 ，
∴OC=2，…6分
∴AD= π×2= π
19.（2019年甘肃省天水市）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过
点A作⊙O的切线与
OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
【考点】切线的性质以及判定、三角函数的应用、全等三角形的判定与性质【解答】解：（1）连接OC，
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴AD＝CD，
∴PA＝PC，
在△OAP和△OCP中，
∵，
∴△OAP≌△OCP（SSS），
∴∠OCP＝∠OAP
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°．
∴∠OCP＝90°，
即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵OB＝OC，∠OBC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∵AB＝10，
∴OC＝5，
由（1）知∠OCF＝90°，
∴CF＝OC tan∠COB＝5．
20. （2019年甘肃省）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，
切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A＝∠ADE；
（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．
【考点】切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE是切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ADE+∠BDO＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠BDO，
∴∠ADE＝∠A．
（2）解：连接CD．
∵∠ADE＝∠A，
∴AE＝DE，
∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，
∴EC是⊙O的切线，
∴ED＝EC，
∴AE＝EC，
∵DE＝5，
∴AC＝2DE＝10，
在Rt△ADC中，DC＝6，
设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，∴x2+62＝（x+8）2﹣102，
解得x＝，
∴BC＝＝．
21. （2019年湖北省鄂州市）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：E为△PAB的内心；
（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．
【考点】三角形的内切圆和内心、相似三角形的判定和性质、切线的判定【解答】（1）证明：连结OB，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB⊥PO，
∴PO∥BC
∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，
OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∴∠AOP＝∠POB，
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OBP＝90°，
∴PB是⊙O的切线；
（2）证明：连结AE，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAE+∠OAE＝90°，
∵AD⊥ED，
∴∠EAD+∠AED＝90°，
∵OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AED，
∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，
∵PA、PD为⊙O的切线，
∴PD平分∠APB
∴E为△PAB的内心；
（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，∴∠PAB＝∠C，
∴cos∠C＝cos∠PAB＝，
在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝，
∴AC＝，AO＝，
∵△PAO∽△ABC，
∴，
∴PO＝＝＝5．
22. （2019年湖北省荆州市）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径
OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线1⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，在射线l上取点F，使FC＝FD．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）当点E是的中点时，
①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明
理由；
②若tan∠ABC＝，且AB＝20，求DE的长．
【考点】切线的判定、菱形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理
【解答】解：（1）证明：连接OC，∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵PF⊥AB，
∴∠BPD＝90°，
∴∠OBC+∠BDP＝90°，
∵FC＝FD
∴∠FCD＝∠FDC
∵∠FDC＝∠BDP
∴∠OCB+∠FCD＝90°
∴OC⊥FC
∴FC是⊙O的切线．
（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，
①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，
∵点E是的中点，
∴∠BOE＝∠COE＝60°，
∵OB＝OE＝OC
∴△BOE，△OCE均为等边三角形，
∴OB＝BE＝CE＝OC
∴四边形BOCE是菱形；
②若tan∠ABC＝，且AB＝20，求DE的长．
∵＝tan∠ABC＝，设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），
由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝202，解得k＝4，∴AC＝12，BC＝16，
∵点E是的中点，
∴OE⊥BC，BH＝CH＝8，
∴OE×BH＝OB×PE，即10×8＝10PE，解得：PE＝8，
由勾股定理得OP＝＝＝6，
∴BP＝OB﹣OP＝10﹣6＝4，
∵＝tan∠ABC＝，即DP＝BP＝＝3
∴DE＝PE﹣DP＝8﹣3＝5．
23.（2019年湖北省随州市）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC=2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为3，sin∠CBF=，求BC和BF的长．
【考点】切线的判定与性质、勾股定理、直角所对的圆周角是直角、解直角三角形
【解答】（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，
∴2∠1=∠CAB．
∵∠BAC=2∠CBF，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CH⊥BF于H．
∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=，
∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=3，
∴BE=AB•sin∠1=3×=，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2，
∵sin∠CBF==，
∴CH=2，
∵CH∥AB，
∴=，即=，
∴CF=6，
∴AF=AC+CF=9，
∴BF==6．
24. （2019年湖北省襄阳市）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝6，BC＝6，求优弧的长．
【考点】切线的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、解直角三角形【解答】（1）证明：连接OD交BC于H，如图，
∵点E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
即∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，BH＝CH，
∵DG∥BC，
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切线；
（2）解：连接BD、OB，如图，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠BAD，
∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，
∴DB＝DE＝6，
∵BH＝BC＝3，
在Rt△BDH中，sin∠BDH＝＝＝，
∴∠BDH＝60°，
而OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠BOD＝60°，OB＝BD＝6，
∴∠BOC＝120°，
∴优弧的长＝＝8π．
25. （2019年湖北省宜昌市）如图，点O是线段AH上一点，AH＝3，以点O为圆心，
OA
的长为半径作⊙O，过点H作AH的垂线交⊙O于C，N两点，点B在线段CN的延长线上，连接AB交⊙O于点M，以AB，BC为边作▱ABCD．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OH＝AH，求四边形AHCD与⊙O重叠部分的面积；
（3）若NH＝AH，BN＝，连接MN，求OH和MN的长．
【考点】切线的判定定理，解直角三角形，扇形的面积与三角形的面积，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠AHC＝90°，
∴∠HAD＝90°，即OA⊥AD，
又∵OA为半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：如右图，连接OC，
∵OH＝OA，AH＝3，
∴OH＝1，OA＝2，
∵在Rt△OHC中，∠OHC＝90°，OH＝OC，
∴∠OCH＝30°，
∴∠AOC＝∠OHC+∠OCH＝120°，
∴S扇形OAC＝＝，
∵CH＝＝，
∴S△OHC＝×1×＝，
∴四边形ABCD与⊙O重叠部分的面积＝S扇形OAC+S△OHC＝+；（3）设⊙O半径OA＝r＝OC，OH＝3﹣r，
在Rt△OHC中，OH2+HC2＝OC2，
∴（3﹣r）2+12＝r2，
∴r＝，则OH＝，
在Rt△ABH中，AH＝3，BH＝+1＝，则AB＝，
在Rt△ACH中，AH＝3，CH＝NH＝1，得AC＝，
在△BMN和△BCA中，
∠B＝∠B，∠BMN＝∠BCA，
∴△BMN∽△BCA，
∴＝即＝＝，
∴MN＝，
∴OH＝，MN＝．
26. （2019年甘肃省武威市）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC
边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）若CE＝2，求⊙D的半径．
【考点】切线的判定和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AC是⊙D的切线；
（2）解：连接AE，
∵AD＝DE，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝DE，∠AED＝60°，
∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，
∴∠EAC＝∠C，
∴AE＝CE＝2，
∴⊙D的半径AD＝2．
27. （2019年辽宁省本溪市）如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BP
并延长交CD于点E，交AD的延长线于点F，⊙O是△DEF的外接圆，连接DP．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若tan∠PDC＝，正方形ABCD的边长为4，求⊙O的半径和线段OP的长．。