高三二轮复习之选修极坐标参数方程、不等式

高三二轮复习之选修极坐标参数方程、不等式
第1讲 坐标系与参数方程 考点一 极坐标方程
[核心提炼]
1．圆的极坐标方程
若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2
＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程． (1)当圆心位于极点，半径为r 时：ρ＝r ； (2)当圆心为M (a,0)，半径为a 时：ρ＝2a cos θ； (3)当圆心为M ⎝⎛⎭⎫a ，π
2，半径为a 时：ρ＝2a sin θ 2．直线的极坐标方程
若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则此直线的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；
(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ⎝⎛⎭
⎫b ，π
2且平行于极轴：ρsin θ＝b . [例1] (2018·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C 2的直角坐标方程；
(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．
解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线，记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.
由于点B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点，当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1
＝2，故k ＝－4
3
或k ＝0.
经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；
当k ＝－4
3时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．
当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2， 所以
|k ＋2|
k 2＋1
＝2，故k ＝0或k ＝4
3
.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；
当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－4
3
|x |＋2.
[方法归纳]
1．求曲线的极坐标方程的一般思路
求曲线的极坐标方程问题通常用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解题的关键．
2．解决极坐标问题的一般思路
一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．
[对点训练]
(2018·厦门质检二)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：x 24＋y 2
＝1，曲线C 2：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋2cos φy ＝2sin φ)
(φ为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C 1，C 2的极坐标方程；
(2)射线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ≥0)，若l 分别与C 1，C 2交于异于极点的A ，B 两点，求|OB |
OA
的最大值． 解 (1)C 1：x 2＋4y 2＝4，∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 故C 1的极坐标方程：ρ2 (3sin 2θ＋1)＝4. C 2的直角坐标方程：(x －2)2＋y 2＝4，
∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，故C 2的极坐标方程：ρ＝4cos θ.
(2)直线l 分别与曲线C 1，C 2联立，得到⎩⎪⎨⎪⎧
ρ2 (3sin 2 θ＋1)＝4
θ＝α
，
则|OA |2
＝4
3sin 2
α＋1，⎩⎪⎨⎪⎧
ρ＝4cos θ
θ＝α
，则|OB |2＝16cos 2 α， ∴|OB |2|OA |
2 ＝4cos 2 α(3sin 2 α＋1)＝(4－4sin 2 α)(3sin 2 α＋1)，令t ＝sin 2
α，
则|OB |2|OA |2 ＝(4－4t )(3t ＋1)＝－12t 2＋8t ＋4， 所以t ＝13，即sin α＝±33时，|OB ||OA |有最大值43
3.
考点二 参数方程
[核心提炼]
几种常见的参数方程 (1)圆
以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．
当圆心为(0,0)时，方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝r cos α，
y ＝r sin α，其中α是参数．
(2)椭圆
椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．
椭圆x 2b 2＋y 2
a 2＝1(a ＞
b ＞0)的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．
(3)直线
经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α.其中t 是参数．
[例2] (2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ，
y ＝4sin θ(θ
为参数)，直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．
(1)求C 和l 的直角坐标方程；
(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 2
16
＝1.
当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标系方程为x ＝1.
(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1
＋t 2＝0.
又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)
1＋3cos 2 α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α
＝－2.
[方法归纳]
参数方程与普通方程的互化及参数方程的应用
(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．
(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．
[对点训练]
(2018·成都一模)己知过点P (－1,0)的直线l 与曲线C ：⎩⎨
⎧
x ＝22 cos φ，
y ＝33 sin φ
(φ为参数)
交于不同的A ，B 两点，
(1)写出曲线C 的直角坐标方程； (2)求|P A |·|PB |的取值范围． 解析 (1)曲线C 的直角坐标方程为 x 212＋y 2
13
＝1，即2x 2＋3y 2＝1. (2)设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1＋t cos α
y ＝t sin α
(t 为参数，α为倾斜角)，代入2x 2＋3y 2＝1，
得：
(2cos 2 α＋3sin 2 α)t 2－4t cos α＋1＝0，设A 、B 对应得参数分别是t 1 、t 2， 由Δ＞0 ，得0＜tan 2 α＜2
3，
|P A |·|PB |＝
1
2cos 2α＋3sin 2α＝sin 2α＋cos 2α
2cos 2α＋3sin 2α
＝1＋tan 2α2＋3tan 2
α
＝13·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1
3
tan 2
α＋23， 所以，|P A |·|PB |的取值范围是⎝⎛⎭⎫
512，12.
考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用
[例3] (2018·潍坊三模)以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝ 3 a cos θ＋a sin θ(a ＞0)，将曲线C 1绕极点逆时针旋转π
3
后得到曲线C 2. (1)求曲线C 2的极坐标方程；
(2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝－1＋1
2 t
y ＝3
2t
(t 为参数)，直线l 与曲线C 2相交于M ，N 两
点，已知P (－1,0)，若|PM |·|PN |＝|MN |2，求a 的值．
解 (1)设C 2上任意一点的极坐标为(ρ，θ)，则⎝⎛⎭⎫ρ，θ－π3在C 1上，∴ρ＝ 3 a cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋a sin ⎝⎛⎭
⎫θ－π
3，化简得C 2的极坐标方程：ρ＝2a sin θ. (2)C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －a )2＝a 2，将直线l 的参数方程代入C 2的直角坐标方程得⎝⎛⎭⎫－1＋12 t 2＋⎝⎛⎭⎫3
2t －a 2＝a 2，化简得t 2－(1＋3a )t ＋1＝0，Δ＝(1＋3a )2－4＞0，t 1＋t 2＝1＋3a ，t 1t 2＝1，|PM |·|PN |＝t 1 t 2＝1，∴|MN |2＝1，|MN |2＝(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1 t 2，∴1＝(1＋3a )2
－4，∴3a 2
＋23a －4＝0，∵a ＞0，∴a ＝15－33，满足Δ>0，∴a ＝15－33
.
[方法归纳]
解决极坐标、参数方程的综合问题应关注三点
(1)在对于参数方程或极坐标方程的应用不够熟练的情况下，我们可以先化成普通方程(直角坐标方程)，这样思路可能更加清晰．
(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷． (3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．
[对点训练]
(2018·安徽江南十校二模)已知曲线M 的参数方程为：⎩
⎨⎧
x ＝cos α－3sin α
y ＝2sin 2
α－23sin αcos α(α为
参数)，曲线N 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
4＝m . (1)求曲线M 的普通方程与曲线N 的直角坐标方程； (2)曲线M 与曲线N 有两个公共点，求m 的取值范围．
解 (1)在曲线M 中x 2＝cos 2α＋3sin 2α－23sin αcos α＝1＋2sin 2α－23sin αcos α＝1＋y ，
∴曲线M 的普通方程为y ＝x 2－1，x ∈[－2,2]．
在曲线中：由{
x ＝ρcos θ，y ＝ρ·sin θ可得y ＝x －2m ， ∴曲线的直角坐标方程为y ＝x －2m ；
(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x －2m
y ＝x 2
－1
⇒x 2－x ＋2m －1＝0，x ∈[－2,2]有两解，令g (x )＝x 2－x ＋2m －
1，在[－2,2]上有两解，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
Δ＝1－4(2m －1)＞0
12∈[－2，2]
g (2)＝1＋2m ≥0g (－2)＝5＋2m ≥0
，∴m ∈⎣
⎡⎭
⎫
－
22，
528. 解得－
22≤m ＜52
8
课时作业(二十二)
1．(2018·咸阳5月信息专递)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝4cos αy ＝a ＋4sin α
(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2 θ＝4sin θ.
(Ⅰ)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；
(Ⅱ)若曲线C 1和曲线C 2有三个公共点，求以这三个点为顶点的三角形的面积．
解 (Ⅰ)曲线C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4cos α
y ＝a ＋4sin α(α为参数)，消去参数α，得曲线C 1的普通方程为：x 2
＋(y －a )2＝16，
曲线C 2：ρcos 2 θ＝4sin θ ，即ρ2 cos 2 θ＝4ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＝4y . (Ⅱ)因为曲线C 1和曲线C 2都是关于y 轴对称的图形，它们有三个公共点，所以原点的它
们其中的一个公共点，将原点O (0,0)代入x 2＋(y －a )2＝16中得：a ＝4(舍去a ＝－4)，此时，曲线C 1方程为x 2＋(y －4)2＝16，曲线C 1和曲线C 2的三个交点坐标为(0,0)，(4,4)，(－4,4)，易得这三个点为顶点的三角形的面积为16.
2．(2018·郑州外国语第十五次调研)在平面直角坐标系的xOy 中，曲线C 的参数方程是
⎩⎨
⎧
x ＝2cos θ
y ＝3sin θ
(θ为参数)，以射线Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－3＝0.
(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长．
解 (1)曲线C 的参数方程化为直角坐标方程为x 24＋y 2
3＝1，因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
所以l 的直角坐标方程为x －y －3＝0.
(2)直线l 的倾斜角为π
4
，过点(3，0)，
所以直线l 化成参数方程为⎩⎨⎧
x ＝3＋t cos
π
4
y ＝t sin π
4 ，
即⎩⎨
⎧
x ＝3＋22 t ，
y ＝22 t
(t 为参数)
代入x 24＋y 2
3＝1得7t 2＋66t －6＝0，
Δ＝(66)2－4×7×(－6)＝384＞0，
设方程的两根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－667，t 1t 2＝－6
7，
所以AB ＝|t 1－t 2 |＝
((t 1＋t 2)2－4t 1 t 2＝
3847＝86
7
. 3．(2018·四川三联)在极坐标系中．曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ.点P 的极坐标为
⎝
⎛⎭⎫2，π4.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴．建立平面直角坐标系，
(1)求曲线C 的直角坐标方程和点P 的直角坐标；
(2)过点P 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点．若|P A |＝2|PB |，求|AB |的值． 解 (1)ρ＝6sin θ，即ρ2＝6ρsin θ.
由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.有x 2＋y 2＝6y . ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9. P 点的直角坐标为(1,1)，
(2)设直线l 的参数方程时⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t cos θ，
y ＝1＋t sin θ (t 为参数)，
将其代入x 2＋y 2－6y ＝0. 可得t 2＋2(cos θ－2sin θ)t －4＝0. 记t 1，t 2为方程的两根， 由Δ＞0. 得θ∈[0，π]，∴t 1t 2＝－4. ∵|P A |＝2|PB |.∴t 1＝－2t 2或t 2＝－2t 1.
当t 1＝－2t 2时，t 1＝22，t 2＝－2或t 1＝－2 2.t 2＝ 2. ∴|AB |＝|t 1－t 2 |＝3 2.
当t 2＝－2t 1时，同理|AB |＝3 2. ∴|AB |＝3 2.
4．(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参
数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π
2
时，l 与⊙O 交于两点．
当a ≠π
2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx －2，l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
2
1＋k 2＜1，解得k ＜－1或k ＞1，即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭
⎫π4，π
2. 综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫
π4，3π4. (2)l 的参数方程为
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4＜α＜3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ， 则t P ＝t A ＋t B 2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.
于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.
又点P 的坐标(x ，y )满足⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t P cos α，
y ＝－2＋t P sin α，
所以点P 的轨迹的参数方程是
⎩⎨⎧
x ＝22sin 2α，
y ＝－22－22
cos 2α⎝
⎛⎭⎫α为参数，π4＜α＜3π4.
第2讲 不等式选讲 考点一 绝对值不等式的解法
[核心提炼]
含有绝对值的不等式的解法
(1)|f (x )|＞a (a ＞0)⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a ； (2)|f (x )|＜a (a ＞0)⇔－a ＜f (x )＜a ；
(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．
[例1] (1)(2018·成都一模)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋⎪⎪⎪⎪x －1
a (a ＞0)． (1)求证：f (x )≥2恒成立；
(2) a ＝1，求不等式f (x )≤4的解集．
解 (1)∵a ＞0，∴f (x )＝|x ＋a |＋⎪⎪⎪⎪x －1a ≥⎪⎪⎪⎪(x ＋a )－⎝⎛⎭⎫x －1a ＝a ＋1
a ≥2， ∴f (x )≥2.
(2)由于|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎨⎧
－2x (x ≤－1)
2(－1＜x ＜1)，
2x (x ≥1)
所以所求的解集为{x |－2≤x ≤2}．
[方法归纳]
用零点分段法解绝对值不等式的步骤 (1)求零点．
(2)划区间、去绝对值符号． (3)分别解去掉绝对值符号的不等式．
(4)取每个结果的并集，注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值．
[对点训练]
(2018·湘潭四模)已知函数f (x )＝|3x －1|－|2x ＋1|＋a . (1)求不等式f (x )＞a 的解集；
(2)若恰好存在4个不同的整数n ，使得f (n )＜0，求a 的取值范围． 解 (1)由f (x )＞a ，得|3x －1|＞|2x ＋1|，
不等式两边同时平方，得9x 2－6x ＋1>4x 2＋4x ＋1， 即5x 2＞10x ，解得x ＜0或x ＞2，
所以不等式f (x )＞a 的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．
(2)设g (x )＝|3x －1|－|2x ＋1|
＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≤－12，－5x ，－12＜x ＜13，
x －2，x ≥13.
作出g (x )的图象，如图所示，
因为g (0)＝g (2)＝0，g (3)＜g (4)＝2＜g (－1)＝3，
又恰好存在4个不同的整数n ，使得f (n )＜0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＜0，f (4)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧
1＋a ＜0
2＋a ≥0，
故a 的取值范围为[－2,1)． 考点二 绝对值不等式的证明
[核心提炼]
1．含有绝对值的不等式的性质
|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.
2．算术－几何平均不等式
定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．
定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 定理4：(一般形式的算术－几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． [例2] (2018·潍坊三模)已知函数f (x )＝|x ＋4|，不等式f (x )>8－|2x －2|的解集M .
(1)求M ；
(2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )＞f (2a )－f (－2b )．
解 (1)将f (x )＝|x ＋4|代入不等式整理得|x ＋4|＋|2x －2|>8
①当x ≤－4，不等式转化为－x －4－2x ＋2>8，
解得x <－103
，所以此时x ≤－4， ②当－4<x <1时，不等式转化为x ＋4＋2－2x >8，
解得x <－2，所以此时－4<x <－2，
③当x ≥1时，不等式转化为x ＋4＋2x －2>8，
解得x >2，所以此时x >2，
综上M ＝{x |x <－2或x >2}．
(2)证明：因为f (2a )－f (－2b )＝|2a ＋4|－|－2b ＋4|≤|2a ＋4＋2b －4|＝|2a ＋2b |，所以要证f (ab )＞f (2a )－f (－2b )，只需证|ab ＋4|＞|2a ＋2b |，即证(ab ＋4)2＞(2a ＋2b )2，即证a 2b 2＋8ab ＋16＞4a 2＋8ab ＋4b 2，即证a 2b 2－4a 2－4b 2＋16＞0，即证(a 2－4)(b 2－4)＞0.
因为a ，b ∈M ，所以a 2＞4，b 2＞4，所以(a 2－4)(b 2－4)＞0成立，所以原不等式成立．
[方法归纳]
不等式证明的常用方法
不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等．如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．
[对点训练]
(2018·烟台二模)已知函数f (x )＝|x －m |＋|x ＋1|(m ∈R )的最小值为4.
(1)求m 的值；
(2)若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋2b ＋3c ＝m ，求证：1a ＋12b ＋13c
≥3. 解 (1)f (x )＝|x －m |＋|x ＋1|≥|(x －m )－(x ＋1)|＝|m ＋1|，所以|m ＋1|＝4，解得m ＝－5或m ＝3.
(2)由题意，a ＋2b ＋3c ＝3.
于是1a ＋12b ＋13c ＝13
(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ＝13⎝
⎛⎭⎫3＋2b a ＋a 2b ＋3c a ＋a 3c ＋3c 2b ＋2b 3c
≥13⎝⎛⎭
⎫3＋22b a ·a 2b ＋23c a ·a 3c ＋23c 2b ·2b 3c ＝3， 当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立，即a ＝1，b ＝12，c ＝13
时等号成立． 考点三 含绝对值不等式的恒成立问题
[核心提炼]
1．f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a ；f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a ；f (x )＞a 有解⇔f (x )max ＞a ；f (x )＜a 有解⇔f (x )min ＜a ；f (x )＞a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )＜a 无解⇔f (x )min ≥a .
2．定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．
[例3] (2018·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.
(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；
(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．
解 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋4，x ≤－1，2，－1＜x ≤2，
－2x ＋6，x ＞2.
可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．
(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.
而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．
故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.
所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
[方法归纳]
解决含参数的绝对值不等式问题常用的两种方法
(1)对参数分类讨论，将其转化为分段函数问题解决；
(2)借助于绝对值的几何意义，先求出f (x )的最值或值域，然后再根据题目要求，求解参数的取值范围．
[对点训练]
(2018·安徽江南十校二模)已知f (x )＝|x －1|＋|x －2|.
(1)解不等式：f (x )≤x ＋3；
(2)不等式|m |·f (x )≥|m ＋2|－|3m －2|对任意m ∈R 恒成立，求x 的范围．
解 (1)①⎩
⎪⎨⎪⎧ x ≥2，
2x －3≤x ＋3⇒2≤x ≤6， ②⎩⎪⎨⎪⎧ 1＜x ＜2，
x －1＋2－x ≤x ＋3
⇒1＜x ＜2， ③⎩⎪⎨⎪⎧
x ≤1，
3－2x ≤x ＋3
⇒0≤x ≤1，由①②③可得x ∈[0,6]； (2)①当m ＝0时，0≥0，∴x ∈R ；
②当m ≠0时，即f (x )≥⎪⎪⎪⎪2m ＋1－⎪⎪⎪⎪2m －3对m 恒成立， ⎪⎪⎪⎪2m ＋1－⎪⎪⎪⎪2m －3≤⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2m ＋1－⎝⎛⎭⎫2m －3＝4，当且仅当2m ≥3，即0＜m ≤23
时取等号， ∴f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥4，解得x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭
⎫72，＋∞. 课时作业(二十三)
1．(2018·全国Ⅰ卷)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|.
(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；
(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值范围．
解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，
即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜1，
2，x ≥1.
故不等式f (x )＞1的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪ x ＞12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|＜1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时|ax －1|≥1；
若a ＞0，则|ax －1|＜1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
0＜x ＜2a ， 所以2a
≥1，故0＜a ≤2. 综上，a 的取值范围为(0,2]．
2．已知函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －a |(a ＞－2)，不等式f (x )≥7的解集为(－∞，－3]∪[4，＋
∞)．
(1)求a 的值；
(2)若f (x )≥x ＋m ，求m 的取值范围．
解 (1)依题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋a －2，x ≤－2，a ＋2，－2＜x ＜a ，
2x －a ＋2，x ≥a ，
作出函数y ＝f (x )的草图(如图)，
又不等式f (x )≥7的解集为(－∞，－3]∪[4，＋∞)，
故⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)＝4＋a ＝7，
f (4)＝10－a ＝7，
所以a ＝3. (2)由(1)得，
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1，x ≤－2，5，－2＜x ＜3，
2x －1，x ≥3，
如图所示，当直线y ＝x ＋m 过图中的点A (3,5)时，m 的最大值为2， 由图象可知，当m ≤2时，f (x )≥x ＋m 恒成立，
所以m 的取值范围为(－∞，2]．
3．(2018·三明5月质检)已知函数f (x )＝|x －a 2 |＋|x －2a ＋3|，g (x )＝x 2＋ax ＋4，a ∈R .
(1)当a ＝1时，解关于x 的不等式f (x )≤4；
(2)若对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得不等式f (x 1 )＞g (x 2 )成立，求实数a 的取值范围．
解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，则
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x <－1，2，－1≤x ＜1，
2x ，x ≥1.
当x ＜－1时，由f (x )≤4得，－2x ≤4，
解得－2≤x ＜－1;
当－1≤x ＜1时，f (x )≤4恒成立；
当x ≥1时，由f (x )≤4得，2x ≤4，解得1≤x ≤2.
所以f (x )≤4的解集为{x |－2≤x ≤2 }.
(2)因为对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得不等式f (x 1 )＞g (x 2 )成立， 所以f (x )min ＞g (x )min .
因为a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2＞0，所以a 2＞2a －3，
且|x －a 2 |＋|x －2a ＋3|≥|(x －a 2 )－(x －2a ＋3)|＝|a 2－2a ＋3|＝a 2－2a ＋3，…① 当2a －3≤x ≤a 2时，①式等号成立，
即f (x )min ＝a 2－2a ＋3.
又因为x 2＋ax ＋4＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋4－a 24≥4－a 24，…② 当x ＝－a 2时，②式等号成立，即g (x )min ＝4－a 24
. 所以a 2
－2a ＋3＞4－a 24，整理得，5a 2－8a －4＞0, 解得a ＜－25
或a ＞2， 即a 的取值范围为⎝
⎛⎭⎫－∞，－25∪(2，＋∞)． 4．(2018·重庆三调)已知函数f (x )＝|x |(x ∈R )．
(Ⅰ)求不等式f (x －1)＋f (x ＋1)≤4的解集M ；
(Ⅱ)若a ，b ∈M ，证明：2f (a ＋b )≤f (ab )＋4.
解析 (Ⅰ)|x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x ＜－12，－1≤x ≤1，
2x ，x ＞1
故⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－1－2x ≤4或⎩⎨⎧ －1≤x ≤12≤4或⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥12x ≤4 ，故不等式的解为[－2,2]． (Ⅱ)法1：要证2|a ＋b |≤|ab |＋4，
只需证4(a ＋b )2≤(|ab |＋4)2，
即证4a 2＋8ab ＋4b 2≤(ab )2＋8|ab |＋16(*)． 因为8ab ≤8|ab |，又由(Ⅰ)知|a |≤2，|b |≤2，
则(a 2－4)(b 2－4)≥0，即4a 2＋4b 2≤(ab )2＋16， 所以(*)式显然成立，故原命题得证．
法2：因为|a |＋|b |≥|a ＋b |，故要证2|a ＋b |≤|ab |＋4， 只需证2|a |＋2|b |≤|ab |＋4 ，即证(|a |－2)(|b |－2)≥0. 由(Ⅰ)|a |≤2，|b |≤2上式显然成立，故原命题得证．。