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双边z变换
（2）右边序列

X(z) x[k] zk kN1
例：试求指数序列 2 k u [ k ] 的双边z变换及其收敛域 Im(z)
解：

X(z) 2kzk
k0
112z1
,
|z| > 2
收敛域是以Rx= 2为半径的圆外区域
Rx-
ROC
Re(z)
双边z变换
（2）右边序列
x[k] 22 ku [k] 33 ku [k]
(2) 2<|z|<3，X1(z)对应右边序列， X2(z) 对应左边序列
x [k ] 2 2 ku [k ] 3 3 ku [ k 1 ]
(3) |z|<2 ，X1(z)和 X2(z)均对应左边序列
x [ k ] 2 2 k u [ k 1 ] 3 3 k u [ k 1 ]
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双边z变换及反变换
双边z变换 双边z反变换
双边z变换
z正变换： z反变换：

X(z) x[k] zk k
x[k] 1
X (z)zk1dz
2πj C
C为X(z) 的收敛域中的一闭合曲线
双边z变换

X(z) x[k]zk k
能够使上式收敛的z值区域称为z变换的收敛域， 简称为ROC(Region Of Convergence)。 收敛域 (ROC): R< |z| <R+

X(z) x[k] zk kN1
当N1 ≥ 0时，右边序列z变 换的收敛域是 |z| > Rx
当N1 < 0时，右边序列z变 换的收敛域是 Rx< |z| < ∞
Rx-
Im(z) ROC
Re(z)
双边z变换
（3）左边序列
N2
X(z) x[k] zk k
例：试求 -4k u[-k-1]的双边z变换及其收敛域
双边z变换
（1）有限长序列
N2
X(z) x[k] zk
ROC 0 < z <
kN1
例：试求矩形脉冲序列RN[k]的双边z变换及其收敛域
解：

X(z) RN[k]zk
k
N1
= 1 zk
k0
11zzN1
,
|z| > 0
有限长序列的z变换的收敛域都是 |z| > 0或者 |z| ≥ 0
Re(z)
双边z反变换
1
x[k ] 2 πj C
X ( z ) z k 1dz
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线 ※ 留数法
留数法计算比较复杂，但适用范围较广。
※ 部分分式展开法
部分分式法求解较为简便，但一般只适用于有理分式。
双边z反变换
※ 部分分式展开法求z反变换 ① 序列z变换分解为部分分式之和 ② 求解各部分分式对应的z反变换
当N2 ≤ 0时，左边序列z变 换的收敛域为 |z| < Rx+
当N2 > 0时，左边序列z变 换的收敛域为 0 < |z| < Rx+
Im(z)
ROC Rx+
Re(z)
双边z变换
（4）双边序列

X(z) x[k] zk k
例：试求 2k u[k] -4k u[-k-1]的双边z变换
1


Im(z)
解：X(z) 4k zk 4k zk 1 4k zk
ROC
k
k1

k0
11141z114z1 , z < 4
Rx+ Re(z)
收敛域是以Rx+= 4为半径的圆内区域
双边z变换
（3）左边序列
N2
X(z) x[k] zk k
解：
X
(z)

1

1 2 z 1

1

1 4 z 1
双边z变换收敛域是圆环区域
2< z <4
Rx-
Im (z) ROC
Rx+
Re(z)
双边z变换
（4）双边序列

X(z) x[k] zk k
双边序列z变换的收敛 域为：Rx < |z| < Rx+
Rx-
Im (z) ROC
Rx+
ak[k] Z 11 az1z za,
za
bk[k1] Z 11 bz1z zb, z < b
[例] 已知 解：
X(z)
z2
, 求不同收敛域对应的x[k]。
(z 2)(z 3)
X1(z) X(z) 2z 3z
z2 z3
X2(z)
(1) |z|3 ，X1(z)和 X2(z)均对应右边序列