2020年高考数学一轮复习高分点拨专题5.4 真题再现(文理科通用)(教师版) -精品

5.4 真题再现
1．（2019•新课标Ⅰ）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵（﹣）⊥，∴＝，∴＝＝，
∵，∴．故选：B．
2．（2018•新课标Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（）A．﹣B．﹣C．+D．+
【答案】A
【解析】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
＝﹣＝﹣＝﹣×（+）＝﹣，故选：A．
3．（2018•新课标Ⅱ）已知向量，满足||＝1，＝﹣1，则•（2）＝（）A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】B
【解析】向量，满足||＝1，＝﹣1，则•（2）＝2﹣＝2+1＝3，故选：B．4．（2017•全国）设向量，，则和的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【解析】设和的夹角为θ，θ∈[0°，180°]，∵向量，，∴•＝•（﹣）+1＝﹣2＝||•||cosθ＝2•2•cosθ，∴cosθ＝﹣，∴θ＝120°，故选：C．
5．（2019•海南）已知＝（2，3），＝（3，t），||＝1，则•＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【答案】C
【解析】∵＝（2，3），＝（3，t），∴＝＝（1，t﹣3），
∵||＝1，∴t﹣3＝0即＝（1，0），则•＝2故选：C．
6．（2019•海南）已知向量＝（2，3），＝（3，2），则|﹣|＝（）
A．B．2 C．5D．50
【答案】A
【解析】∵＝（2，3），＝（3，2），∴＝（2，3）﹣（3，2）＝（﹣1，1），
∴||＝．故选：A．
7．（2018•天津）在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，则的值为（）
A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0
【答案】C
【解析】解法Ⅰ，由题意，＝2，＝2，
∴＝＝2，∴BC∥MN，且BC＝3MN，
又MN2＝OM2+ON2﹣2OM•ON•cos120°＝1+4﹣2×1×2×（﹣）＝7，
∴MN＝；
∴BC＝3，
∴cos∠OMN＝＝＝，
∴•＝||×||cos（π﹣∠OMN）＝3×1×（﹣）＝﹣6．
解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形，
由OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，
知＝﹣＝3﹣3＝﹣3+3，
∴＝（﹣3+3）•
＝﹣3+3•
＝﹣3×12+3×2×1×cos120°
＝﹣6．
故选：C．
8．（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）
A．﹣2 B．﹣C．﹣D．﹣1
【答案】B
【解析】建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，
则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），
设P（x，y），则＝（﹣x，﹣y），＝（﹣1﹣x，﹣y），＝（1﹣x，﹣y），
则•（+）＝2x2﹣2y+2y2＝2[x2+（y﹣）2﹣]
∴当x＝0，y＝时，取得最小值2×（﹣）＝﹣，
故选：B．
9．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ+μ，则λ+μ的最大值为（）
A．3 B．2C．D．2
【答案】A
【解析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），
∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，
设圆的半径为r，
∵BC＝2，CD＝1，
∴BD＝＝
∴BC•CD＝BD•r，
∴r＝，
∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝，
设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），
∵＝λ+μ，
∴（cosθ+1，sinθ+2）＝λ（1，0）+μ（0，2）＝（λ，2μ），
∴cosθ+1＝λ，sinθ+2＝2μ，
∴λ+μ＝cosθ+sinθ+2＝sin（θ+φ）+2，其中tanφ＝2，
∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，
∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ的最大值为3，
故选：A．
10．（2017•新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|＝|﹣|则（）A．⊥B．||＝|| C．∥D．||＞||
【答案】A
【解析】∵非零向量，满足|+|＝|﹣|，∴，
，，解得＝0，∴．故选：A．11．（2016•全国）平面向量＝（x，3）与＝（2，y）平行的充分必要条件是（）A．x＝0，y＝0 B．x＝﹣3，y＝﹣2 C．xy＝6 D．xy＝﹣6
【答案】C
【解析】由向量＝（x，3）与＝（2，y）平行，得xy＝6．
∴平面向量＝（x，3）与＝（2，y）平行的充分必要条件是xy＝6．故选：C．12．（2016•新课标Ⅲ）已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°
【答案】A
【解析】，；∴；
又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC＝30°．故选：A．
13．（2016•新课标Ⅱ）已知向量＝（1，m），＝（3，﹣2），且（+）⊥，则m＝（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8
【答案】D
【解析】∵向量＝（1，m），＝（3，﹣2），∴+＝（4，m﹣2），
又∵（+）⊥，∴12﹣2（m﹣2）＝0，解得：m＝8，故选：D．
14．（2016•四川）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．
∵M满足||＝1，∴点P的轨迹方程为：＝1，
令x＝+cosθ，y＝3+sinθ，θ∈[0，2π）．
又＝，则M，
∴||2＝+＝+3sin≤．
∴||2的最大值是．
也可以以点A为坐标原点建立坐标系．
解法二：取AC中点N，MN＝，从而M轨迹为以N为圆心，为半径的圆，B，N，M三点共线时，BM为最大值．所以BM最大值为3+＝．
故选：B．
15．（2016•上海）已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A．1 B．2 C．（1，0）D．（0，2）
【答案】A
【解析】＝1，＝1，||＝，∴向量在向量方向上的投影＝1．故选：A．16．（2015•全国）设平面向量＝（﹣1，2），＝（3，﹣2），则+＝（）A．（1，0）B．（1，2）C．（2，4）D．（2，2）
【答案】B
【解析】∵平面向量＝（﹣1，2），＝（3，﹣2），
∴+＝（﹣2，4）+（3，﹣2）＝（1，2）．故选：B．
17．（2015•新课标Ⅱ）＝（1，﹣1），＝（﹣1，2）则（2+）＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】因为＝（1，﹣1），＝（﹣1，2）则（2+）＝（1，0）•（1，﹣1）＝1；故选：C．18．（2015•新课标Ⅰ）已知点A（0，1），B（3，2），向量＝（﹣4，﹣3），则向量＝（）A．（﹣7，﹣4）B．（7，4）C．（﹣1，4）D．（1，4）
【答案】A
【解析】由已知点A（0，1），B（3，2），得到＝（3，1），向量＝（﹣4，﹣3），则向量＝＝（﹣7，﹣4）；故选：A．
19．（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝（1，﹣2），＝（2，1）则•＝（）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【解析】由向量加法的平行四边形法则可得，＝＝（3，﹣1）．
∴＝3×2+（﹣1）×1＝5．故选：A．
20．（2014•新课标Ⅰ）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+＝（）A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，
∴+＝（+）+（+）＝+＝（+）＝，
故选：A．
21．（2014•大纲版）若向量、满足：||＝1，（+）⊥，（2+）⊥，则||＝（）A．2 B．C．1 D．
【答案】B
【解析】由题意可得，（+）•＝+＝1+＝0，∴＝﹣1；
（2+）•＝2+＝﹣2+＝0，∴b2＝2，则||＝，故选：B．
22．（2014•广东）已知向量＝（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）
A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，0）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）
【答案】B
【解析】不妨设向量为＝（x，y，z），
A．若＝（﹣1，1，0），则cosθ＝＝，不满足条件．
B．若＝（1，﹣1，0），则cosθ＝＝＝，满足条件．
C．若＝（0，﹣1，1），则cosθ＝＝，不满足条件．
D．若＝（﹣1，0，1），则cosθ＝＝，不满足条件．
故选：B．
23．（2014•广东）已知向量＝（1，2），＝（3，1），则﹣＝（）
A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（2，0）D．（4，3）
【答案】B
【解析】∵向量＝（1，2），＝（3，1），∴﹣＝（2，﹣1）故选：B．
24．（2014•新课标Ⅱ）设向量，满足|+|＝，|﹣|＝，则•＝（）A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【解析】∵|+|＝，|﹣|＝，∴分别平方得+2•+＝10，﹣2•+＝6，两式相减得4•＝10﹣6＝4，即•＝1，故选：A．
25．（2019•新课标Ⅲ）已知向量＝（2，2），＝（﹣8，6），则cos＜，＞＝．
【答案】﹣
【解析】＝2×（﹣8）+2×6＝﹣4，||＝＝2，
||＝＝10，cos＜，＞＝＝﹣．故答案为：﹣
26．（2019•新课标Ⅲ）已知，为单位向量，且•＝0，若＝2﹣，则cos＜，＞＝．【答案】
【解析】＝＝2﹣＝2，
∵＝（2﹣）2＝4﹣4+5＝9，∴||＝3，
∴cos＜，＞＝＝．故答案为：
27．（2018•新课标Ⅲ）已知向量＝（1，2），＝（2，﹣2），＝（1，λ）．若∥（2+），则λ＝．【答案】
【解析】∵向量＝（1，2），＝（2，﹣2），∴＝（4，2），
∵＝（1，λ），∥（2+），∴，解得λ＝．故答案为：．
28．（2019•江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．
【答案】
【解析】设＝λ＝（），
＝+＝+μ＝+μ（）＝（1﹣μ）+μ＝+μ∴，∴，
∴＝＝（），
＝＝﹣+，
6•＝6×（）×（﹣+）
＝（++）
＝++，
∵•＝++，
∴＝，∴＝3，
∴＝．
故答案为：
29．（2019•北京）已知向量＝（﹣4，3），＝（6，m），且⊥，则m＝．【答案】8
【解析】由向量＝（﹣4，3），＝（6，m），且⊥，得，∴m＝8．
故答案为：8．
30．（2018•北京）设向量＝（1，0），＝（﹣1，m）．若⊥（m﹣），则m＝．【答案】-1
【解析】向量＝（1，0），＝（﹣1，m）．m﹣＝（m+1，﹣m）．
∵⊥（m﹣），∴m+1＝0，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．
31．（2017•天津）在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2．若＝2，＝λ﹣（λ∈R），且＝﹣4，则λ的值为．
【答案】
如图所示，△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，＝2，
【解析】
∴＝+＝+＝+（﹣）＝+，
又＝λ﹣（λ∈R），
∴＝（+）•（λ﹣）
＝（λ﹣）•﹣+λ
＝（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22＝﹣4，
∴λ＝1，
解得λ＝．
故答案为：．
32．（2017•北京）已知点P在圆x2+y2＝1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为．【答案】6
【解析】设P（cosα，sinα）.＝（2，0），＝（cosα+2，sinα）．
则•＝2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα＝1时取等号．故答案为：6．
33．（2017•新课标Ⅲ）已知向量＝（﹣2，3），＝（3，m），且，则m＝．【答案】2
【解析】∵向量＝（﹣2，3），＝（3，m），且，∴＝﹣6+3m＝0，
解得m＝2．故答案为：2．
34．（2017•新课标Ⅰ）已知向量＝（﹣1，2），＝（m，1），若向量+与垂直，则m＝．【答案】7
【解析】∵向量＝（﹣1，2），＝（m，1），∴＝（﹣1+m，3），
∵向量+与垂直，∴（）•＝（﹣1+m）×（﹣1）+3×2＝0，解得m＝7．
故答案为：7．
35．（2017•新课标Ⅰ）已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|+2|＝．【答案】2
【解析】【解法一】向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝1，
∴＝+4•+4＝22+4×2×1×cos60°+4×12＝12，∴|+2|＝2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；
结合图形＝+＝+2；
在△OAC中，由余弦定理得
||＝＝2，
即|+2|＝2．
故答案为：2．
36．（2016•新课标Ⅰ）设向量＝（x，x+1），＝（1，2），且⊥，则x＝．
【答案】
【解析】∵；∴；即x+2（x+1）＝0；∴．故答案为：．37．（2016•新课标Ⅱ）已知向量＝（m，4），＝（3，﹣2），且∥，则m＝．【答案】-6
【解析】向量＝（m，4），＝（3，﹣2），且∥，可得12＝﹣2m，解得m＝﹣6．
故答案为：﹣6．
38．（2016•新课标Ⅰ）设向量＝（m，1），＝（1，2），且|+|2＝||2+||2，则m＝．【答案】-2
【解析】|+|2＝||2+||2，可得•＝0．
向量＝（m，1），＝（1，2），可得m+2＝0，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2．39．（2015•新课标Ⅱ）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ＝．【答案】
∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，
【解析】
∴λ+＝t（+2）＝，
∴，解得实数λ＝．
故答案为：．
40．（2016•全国）已知平面向量＝（sin x，1），＝（1，cos x）．（Ⅰ）当⊥时，求|﹣|；
（Ⅱ）求|+|的最大值．
【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）平面向量＝（sin x，1），＝（1，cos x）．
当⊥时，＝＝0，
∴sin x+cos x＝0，
∴﹣＝（，1﹣），
∴||＝
＝
＝＝2．
（Ⅱ）＝（，1+），|+|＝
＝
＝，
∴当x＝时，||取最大值2．。