江苏省常州市西夏墅中学高中数学教案必修四：第2章 三角恒等变换复习与小结

教学目标：
1．掌握三角恒等变换公式,运用它们进行有关计算、化简、证明.培养学生的逻辑推理能力.
2．通过实例熟悉一些解题的技巧并增强利用公式解决具体问题的灵活性.
教学重点：
熟练、灵活的应用三角公式.
教学难点：
变换中的技巧.
教学过程：
一、问题情景：复习知识点
二、学生活动：
1．已知,41)4tan(,52)tan(=-=+πββα则)4tan(πα+的值等于22
3 2．已知,31cos cos ,21sin sin =+=
+βαβα则)cos(βα-值等于7259- 3．2cos 12cos 1--+等于)1sin 1(cos 2-
4．化简1cos 2tan cot 22
ααα+-，其结果为1sin 22α- 5．已知βαβα,,3tan ,2tan ==为锐角，则βα+值是
43π 6．已知1sin cos 3
αα+=，则cos4α=8147- . 三、数学应用
例1 .54sin ,20=<<απ
α已知 的值求αααα2cos cos 2sin sin )1(22++；
的值求)4
5tan()2(πα-
． 解：（1）由,54sin ,20=<<απα得,53cos =α .201
cos 3cos sin 2sin 2cos cos 2sin sin 2222=-+=++∴αααααααα （2）.7
1tan 11tan )45tan(,34cos sin tan =+-=-==ααπααααΘ 例2 .10tan 3150
sin ）（利用三角公式化简︒+︒ 解：）（原式︒︒+︒=10cos 10sin 3150sin ︒
︒+︒⋅︒=10cos )10sin 2310cos 21(250sin ︒︒︒+︒︒⋅
︒=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2 ︒
︒⋅︒=10cos 40sin 40cos 2 110cos 10cos 10cos 80sin =︒︒=︒︒=. 例3 把一段半径为R 的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？（分别设边与角为自变量）
解：（1）如图，设矩形长为l ，则面积224l R l S +=，
所以,4)()4(22222222l R l l R l S +-=-=当且仅当,22422
2R R l == 即R l 2=时，2S 取得最大值44R ，此时S 取得最大值22R ，矩形的宽为
R R
R 2222
=即长、宽相等，矩形为圆内接正方形. （2）设角为自变量，设对角线与一条边的夹角为θ，矩形长与宽分别为θsin 2R ，θcos 2R ，所以面积θθθ2sin 2sin 2cos 22R R R S =⨯=.
而12sin ≤θ，所以22R S ≤，当且仅当12sin =θ时，S 取最大值22R ，所以当且仅当︒=902θ即︒=45θ时， S 取最大值，此时矩形为内接正方形.
变式 已知半径为1的半圆，PQRS 是半圆的内接矩形如图，问P 点在什么位置时，
矩形的面积最大，并求最大面积时的值．
R
S O
四、要点归纳与方法小结
1．要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．
2．建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题．
3．常见的三角变形技巧有：
①切割化弦；
②“1”的变用；
③统一角度，统一函数，统一形式等等．。