高考数学压轴专题最新备战高考《平面向量》真题汇编及答案

数学《平面向量》高考知识点
一、选择题
1．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=u u u r u u u r
（ ）
A ．134
-
B ．
54
C ．5
D ．
154
【答案】B 【解析】 【分析】
据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF u u u r u u u r
，再
根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果. 【详解】 设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD u u u r 的方向为x 轴，CA u u u r
的方向为y 轴，建立直角
坐标系，
则1,12E ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)D ，3,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，3,12DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，
所以95144
DE DF ⋅=-=u u u r u u u r .
故选：B. 【点睛】
本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.
2．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r
，AB AC λ=u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
，则实数λ=( )
A B C D 【答案】D 【解析】 【分析】
将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u u
r 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 中计算即可. 【详解】 由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r
，知O 为ABC ∆的重心，
所以211()323
AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ，
所以23
EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u u
r u u u r
2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC
=u u u r u u u r ，||2||
AB AC λ===u u u r
u u u r . 故选：D 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.
3．下列说法中说法正确的有（ ）
①零向量与任一向量平行；②若//a b r
r
，则()a b R λλ=∈r
r
；
③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r
④||||||a b a b +≥+r r r r ；⑤若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则A ，B ，C
为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④ B ．①②④
C ．①②⑤
D ．③⑥
【答案】A 【解析】 【分析】
直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】
对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；
对于②：若//a b r r ，则()a b R λλ=∈r r ，必须有0b ≠r r
，故②错误；
对于③：()()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r ，a r 与c r 不共线，故③错误； 对于④：a b a b +≥+r r r r
，根据三角不等式的应用，故④正确；
对于⑤：若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0r
，故⑤
错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.
综上：①④正确. 故选：A. 【点睛】
本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
4．已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,2A ，2
2
20OB OA +=，若平
面内点P 满足3PB PA =u u u r u u u r
，则PO 的最大值为（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
设(),P x y ，(),B m n ，根据3PB PA =u u u r u u u r
可得262m x n y
=-⎧⎨
=-⎩，再根据22
20OB OA +=可得
点P 的轨迹，它一个圆，从而可求PO 的最大值. 【详解】
设(),P x y ，(),B m n ，故(),PB m x n y =--u u u r ，(),2PA x y =--u u u r
. 由3PB PA =u u u r u u u r
可得363m x x n y y
-=-⎧⎨-=-⎩，故262m x n y
=-⎧⎨
=-⎩，
因为2
2
20OB OA +=，故()2
2443420x y +-+=，
整理得到()2
234x y +-=，故点P 的轨迹为圆，其圆心为()0,3，半径为2，
故PO 的最大值为325+=， 故选：C. 【点睛】
本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题.
5．已知A ，B ，C 是抛物线24y x =上不同的三点，且//AB y 轴，90ACB ∠=︒，点C 在AB 边上的射影为D ，则CD =（ ）
A ．4
B ．
C ．2
D
【答案】A 【解析】 【分析】
画出图像，设
222
112
112 ,,,,, 444
y y y
A y
B y
C y
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，12
y y
>，由90
ACB
∠=︒可求
22
12
16
y y
-=，结合
22
12
44
y y
CD=-即可求解
【详解】
如图：设
222
112
112
,,,,,
444
y y y
A y
B y
C y
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，12
y y
>，由90
ACB
∠=︒可得0
CA CB
⋅=
u u u r u u u r
，
2222
1212
1212
,,,
44
y y y y
CA y y CB y y
⎛⎫⎛⎫
--
=-=--
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r
，
()
2
22
22
12
12
00
4
y y
CA CB y y
⎛⎫
-
⋅=⇔--=
⎪
⎝⎭
u u u r u u u r
，即
()()
2
22
1222
12
16
y y
y y
-
--=
解得22
12
16
y y
-=（0舍去），所以
2222
12124
444
y y y y
CD
-
=-==
故选：A
【点睛】
本题考查抛物线的几何性质与向量的综合应用，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题6．已知点1F，2F分别是椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>的左，右焦点，过原点O且倾斜
角为60°的直线l与椭圆C的一个交点为M，且
1212
||||
MF MF MF MF
+=-
u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
，则椭圆C 的离心率为（）
A31B．23C．
1
2
D．
2
2
【答案】A
【解析】
【分析】
由
1212
||||
MF MF MF MF
+=-
u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
两边平方，得
12
MF MF
⋅=
u u u u r u u u u r
，在12
Rt MF F
V中，求出
2MF ，1MF ，
,a c 的关系，求出离心率可得选项. 【详解】
将1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
两边平方，得120
MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，即12121
||2
MF MF OM F F c ⊥=
=，. 又60MOF ∠=︒，∴2MF c =
，1MF =
，∴2a c =+
，∴1c
e a
=
=. 故选:A. 【点睛】
考查了向量的数量积,椭圆的定义，离心率的求法,关键在于得出关于,a c 的关系，属于中档题.
7．设x ，y 满足10
2024x x y x y -≥⎧⎪
-≤⎨⎪+≤⎩
，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m
的最小值为（ ） A ．
125
B ．125
-
C ．
32
D ．32
-
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】
解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r
，
由a b ⊥r r
得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，
由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得85
4
5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
∴416122555
m y x =-=-=-， 故选：B.
【点睛】
本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
8．已知ABC V 为直角三角形，,6,82
C BC AC π
===，点P 为ABC V 所在平面内一点，
则()PC PA PB ⋅+u u u r u u u r u u u r
的最小值为（ ）
A ．252
-
B ．8-
C ．172
-
D ．175
8
-
【答案】A 【解析】 【分析】
根据,2
C π
=以C 点建系, 设(,)P x y ,则2
2
325()=2(2)222PC PA PB x y ⎛⎫⋅+-+-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ,即当
3
=2=2
x y ，时,取得最小值.
【详解】
如图建系，(0,0), (8,0), (0,6)C A B ,
设(,)P x y ，(8,)PA x y =--u u u r ，(,6)PB x y =--u u u r
， 则22()(,)(82,62)2826PC PA PB x y x y x x y y ⋅+=--⋅--=-+-u u u r u u u r u u u r
2
2
325252(2)2222x y ⎛
⎫=-+--≥- ⎪⎝
⎭.
故选:A. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的坐标表示及其应用,根据所求关系式运用几何意义是解题的关键,属于中档题.
9．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在
2
4y x =与
y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v
（ ） A ．-16 B ．0 C ．16 D ．32
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r
，再利用平面向量的数量积求解.
【详解】
∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是2
4y x =与y x =-的交点.
由24y x y x
⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r
， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r
.
故选B 【点睛】
本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10．在ABC V 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r
，则λμ+=
（ ） A ．13
- B ．
13
C ．12
-
D ．
12
【答案】C 【解析】 【分析】
由向量的加减法运算，求得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，进而得出()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，列式分别求出λ和μ，即可求得
λμ+.
【详解】
解：已知D 、P 分别为BC 、AD 的中点， 由向量的加减法运算， 得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
2AB AD DB BD PD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2AC AD DC BD PD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
又()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，
则1
221μλλμ-=⎧⎨
+=-⎩
，
则1
2
λμ+=-. 故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的加减法运算以及向量的基本定理的应用.
11．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，设
z OP OA =⋅u u u r u u u r
，则z 的最大值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】
解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
可知它的可行域如下图：
Q ()2,1A ，(), P x y
∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r
，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，
即24z x y =+=.
故选：C. 【点睛】
本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.
12．已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r
，则当,1[]2t ∈-时，a tb
-r r 的最大值为（ ） A 2 B 3
C ．2
D 5【答案】D 【解析】 【分析】
根据(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r
，得到1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r ，再利
用2
2
()1a tb a tb t -=-=+r r r r 求解.
【详解】
因为(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r
，
所以1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r
，
所以2
2
()1a tb a tb t -=-=+r r r r
当[]2,1t ∈-时，max
5a tb
-=r r
故选：D 【点睛】
本题考查向量的模以及数量积的运算，还考查运算求解能力，属于中档题.
13．已知向量()()
75751515a b ︒︒︒︒
==r r cos ,sin ,cos ,sin ，则a b -r r 的值为
A ．
12
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
因为1
1,1,cos75cos15sin 75sin15cos602
a b a b ==⋅=︒︒+︒︒=︒=r r r r ，所以
||1a b -===r r ，故选B.
点睛：在向量问题中，注意利用22||a a =r
，涉及向量模的计算基本考虑使用此公式，结合
数量积的运算法则即可求出.
14．已知向量m →，n →
的夹角为60︒，且1m →=，m n →→
-=n →
=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
设||n x →
=，利用数量积的运算法则、性质计算即可. 【详解】 设||n x →
=，
因为1m →
=，向量m →，n →
的夹角为60︒， 所以2
213m n x x →
→-=-+=， 即220x x --=，
解得2x =，或1x =-（舍去）， 所以2n →=. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了向量的模的性质，向量数量积的运算，属于中档题.
15．已知平面向量,,a b c r r r
满足()()
2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值
为（ ）
A B ．
2
C ．
2
-
D ．
1
2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，易知a r 与b r 的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由()()
21a c b c -⋅-=r r r r ，可得221202x y x +-+=，所以原问题等价于，圆
221202
x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果.
【详解】
因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为60︒，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，
因为()()
21a c b c -⋅-=r r r r ，所以221202
x y x +-+=，
又b c -=r r
所以原问题等价于，圆221202
x y x +-+
=上一动点与点()20，之间距离的最小值，
又圆22
1202x y x +-+=的圆心坐标为12⎛ ⎝⎭，，所以点()20，与圆
221202x y x +-+
=上一动点距离的最小值为
22=. 故选：A.
【点睛】
本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．
16．已知平面向量,,a b c r r r 满足||||2a b ==r r ，a b ⊥r r ，()()a c b c -⊥-r r r r ，则(a b c ⋅r r r +)的取值范围是( )
A ．[0,2]
B ．[0,
C ．[0,4]
D ．[0,8]
【答案】D
【解析】
【分析】
以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r
分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，根据AC BC ⊥，得到点C 在圆22(1)(1)2x y -+-=，再结合直线与圆的位置关系，即可求解．
【详解】 设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r
， 以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r 分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，则
(2,0),(0,2)A B ，
依题意，得AC BC ⊥，所以点C 在以AB 为直径的圆上运动， 设点(,)C x y ，则22(1)(1)2x y -+-=，()22a b c x y +⋅=+r r r ，
由圆心到直线22x y t +=的距离2222222t d +-=
≤+，可得[0,8]t ∈.
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力． 17．如图，向量a b -r r 等于
A ．1224e e --u r u u r
B ．1242e e --u r u u r
C ．123e e -r u u r
D ．123e e -+r u u r 【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】 由向量减法的运算法则可得123a e b e -=-+r r r u u r ，
18．三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 的重心和外心，且5GO BC ⋅=u u u r u u u r ，则三角形ABC 的形状是（ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．上述均不是
【答案】B
【解析】
【分析】
取BC 中点D ，利用GO GD DO =+u u u r u u u r u u u r
代入计算，再利用向量的线性运算求解．
【详解】
如图，取BC 中点D ，连接,OD AD ，
则G 在AD 上，13GD AD =，OD BC ^， ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
221111()()()53326
GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =⋅=⋅=⨯+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴2223025AC AB BC -=>=，∴2220AB BC AC +-<，
由余弦定理得cos 0B <，即B 为钝角，三角形为钝角三角形．
故选：B ．
【点睛】
本题考查平面向量的数量积，考查向量的线性表示，考查余弦定理．解题关键是取BC 中点D ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,GD BC u u u r u u u r
． 19．已知向量(),1a x =-r ， (3b =r ，若a b ⊥r r ，则a =r （ ） A 2
B 3
C ．2
D ．4 【答案】C
【解析】 由a b r r ⊥，(),1a x =-r ， (3b r =，可得：x 30x 3，==，即)
3,1a =-r 所以()()22
312a =
+-=r 故选C 20．在OAB ∆中，已知2OB =u u u v 1AB u u u v =，45AOB ∠=︒，点P 满足
(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v 的最小值为（ ）
A．35
B．
25
C．
6
D．
6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据2
OB=
u u u r
,1
AB=
uu u r
,45
AOB
∠=︒,由正弦定理可得OAB
∆为等腰直角三角形,进而求得点A坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP
u u u r
.再由23
λμ
+=,将OP
u u u r
化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP
u u u r
的最小值.
【详解】
在OAB
∆中,已知2
OB=
u u u r
,1
AB=
uu u r
,45
AOB
∠=︒
由正弦定理可得
sin sin
AB OB
AOB OAB
=
∠∠
u u u r u u u r
代入
2
sin
2
2
OAB
=
∠,解得sin1
OAB
∠=
即
2
OAB
π
∠=
所以OAB
∆为等腰直角三角形
以O为原点,OB所在直线为x轴,以OB的垂线为y轴建立平面直角坐标系如下图所示:
则点A坐标为
22
,
22
⎛
⎝⎭
所以
22
22
OA
⎛
=
⎝⎭
u u u r
,)2,0
OB=
u u u r
因为()
,
OP OA OB
λμλμ
=+∈R
u u u r u u u r u u u r
则)
22
2,0
OPλμ
=+
⎝⎭
u u u r22
2μ
⎫
⎪⎪
⎝⎭
=
则OP =u u u r
=
因为23λμ+=,则32μλ=-
代入上式可得
=
=所以当95λ=时
, min 5
OP ==u u u r 故选:A
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.。