20120724一元二次方程解应用题

一元二次方程解应用题
一、解应用题步骤
1．审题； 2．设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种；
3．找等量关系列方程； 4．解方程； 5．判断解是否符合题意； 6．写出正确的解．
二、常见类型
1、传播问题
例1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人
可传染人数共传染人数
第0轮1（传染源） 1
第1轮x x+1
第2轮x(x+1) 1+x+ x(x+1)
列方程1+x+ x(x+1)=121
训练练习：
1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
2、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有81台电脑被感染。

请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
解：
类似问题还有树枝开叉等
3、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
2、循环问题
单循环：设参加的球队为x，则全部比赛共1/2[x（x-1）]场；（单循环，握手）
双循环：设参加的球队为x，则全部比赛共x（x-1）场；（双循环，互赠）
＊单循环比双循环少了一半
例1、参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人握手10次，有多少人参加聚会？
解：设一共有x人
解得：x=5 或x=-4（不合题意，舍去）
∴一共有5人
例2、2008年某地区的超级足球联赛，赛制采取主、客场的循环比赛，如果所有比赛场次共有240场，那么2008年共有多少个队参加这个超级联赛？
解：设参赛队为X，
解X=16或X=-15，-15不合题意，舍去。

训练练习：
1、足球中超联赛采用主客场制循环赛，经计算共要进行132场比赛，求参加中超联赛共有多少个球队?
2、初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人?
3、要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
4、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少人参加聚会?
5、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？
6.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？
3、平均率问题
最后产值、基数、平均增长率或降低率、增长或降低次数的基本关系： M=a(1±x)n
n为增长或降低次数M为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率
均率和时间相关，必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长或降低率。

（a）平均增长率问题（b）平均下降率问题
变化前数量×（1 x）n＝变化后数量
例1、我村2006年的人均收入为1200元，2008年的人均收入为1452元，求人均收入的年平均增长率。

解：设均收入的年平均增长率，则
解得：x1=0.1，x2=-2.1（不合题意，舍去）
∴人均收入的年平均增长率为10%。

例2、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。

某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为多少？
训练练习：
1、青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，求水稻每公顷产量的年平均增长率。

2、某商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.
3、某药品经两次降价，零售价降为原来的64%，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？
4、某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？
5、某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份的营业额的平均月增长率．
6、某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的100元降到了81元，求平均每次降价率是多少？
7、今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内降低农业税．某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同．
（1）求每年降低的百分率；
（2）若小红家有四人，明年小红家减少多少农业税？
（3）小红所在的乡有16000个农民，问该乡农民减少多少农业税？
8、某新华书店计划第一季度共发行图书122万册，其中一月份发行图书32万册，二、三月份平均每月
增长率相同，求二、三月份各应发行图书多少万册？
4、商品销售问题
常用关系式：①售价—进价=利润
②一件商品的利润×销售量=总利润
③单价×销售量=销售额
（a）给出价格与销售量关系式
例1、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出(350―10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需卖出多少件商品，每件售价应为多少元？
分析：本题中涉及到的数量关系列表如下：
解：依题意得，
整理得a2―56a+775=0，即(a―25)(a―31)=0，
解得a1=25，a2=31．
训练练习：
1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？
2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且ＲＰ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。

（１）当日产量为多少时每日获得的利润为１７５０元？
（２）若可获得的最大利润为１９５０元，问日产量应为多少？
（b）降价促销、涨价减少销量问题（一个“+”一个“—”）三种不同未知量设法
ⅰ) 设涨价或降价为x元
例1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减库存，商场决定采取适当的减价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多销售出2件，
1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
解：1) 设每件衬衫应降价X元。

得
解 X=10 答：应降价10元
2）设每件衬衫应降价X元,商场平均每天盈利最多y元。

得
()305
-
Y＝解 X=15 答：应降价15元
-X
22+
15
ⅱ)设售价为x
例2、某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少
10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？
解：设每件售价x元，则每件利润为x-8，销售量则为
所以每天利润为640元时，则有
则有x2-28x+192=0 即（x-12)（x-16)=0 所以x=12或x=16。

即当每件售价为12元或16元时，每天利润为640元
ⅲ)设涨价或降价为nx元
例3、苏宁服装商场将每件进价为30元的内衣，以每件50元售出，平均每月能售出300件，经过试销发现，每件内衣涨价10元，其销量就将减少10件，为了实现每月8700元销售利润，假如你是商场营销部负责人，你将如何安排进货？
解：设涨价10x元,销量将减少10x件:
X²-28X+27=0
训练练习：
1、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。

现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
2、服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出２０件，每件盈利４０元。

为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。

经市场调查发现，如果每件童装每降价４元，那么平均每天就可多售出８件。

要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
3.西瓜经营户以２元／千克的价格购进一批小型西瓜，以３元／千克的价格出售，每天可售出２００千克。

为了促销，该经营户决定降价销售。

经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克。

另外，每天的房租等固定成本共２４元。

该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
4. 一超市销售某种品牌的牛奶，进价为每盒1.5元，售价为每盒2.2元时，每天可售5000盒，经过调查发现，若每盒降价0.1元，则可多卖2000盒。

要使每天盈利4500元，问该超市如何定价？
5、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量增加盈利，尽
快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件，如果商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
6.关山超市销售某种电视机，每台进货价为2500元，经过市场调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台电视机，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台商场要想使这种电视机的销售利润每天达到5000元，每台电视机的定价应为多少元?
7、某商店如果将进货价格为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采取提高售价，减少
进货量的方法，增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少元时可赚利润720元？
8、某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？
5、面积问题
ⅰ）求直角三角形的边：
例1：一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积是9cm，求较长的直角边的长。

解：设较短的直角边的长为x厘米，较长的直角边的长为（x＋3）厘米，根据三角形的面积公式，得解得：X=3或X=-6（不合题意，舍去）
故X=3，X+3=6
所以较长的直角的边长为6厘米。

ⅱ）求矩形的边：
例2：利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的矩形场地？
解：设靠墙的一边为x
解得：x=5
∴设靠墙的两边为5m，另一边为10m
ⅲ）边框问题
例3：在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的
金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积
是5400cm2，求金色纸边的宽为多少？
ⅳ）面积问题
例4：要在长32m，宽20m的长方形绿地上修建宽度相同的道路，六块绿地面积共570m2,问道路宽应为多宽？
训练练习：
1.一个直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2，求两条直角边的长。

2．借助一面长6米的墙，用一根13米长的铁丝围成一个面积为20平方米的长方形，求长方形的两边？
3.为了绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多14米，面积是3200平方米则操场的长为米，宽为米。

4、如图，在宽为20m ，长为30m ，的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，余分作为耕地为551㎡。

则道路的宽为?
5、若把一个正方形的一边增加2cm，另一边增加1cm，得到的矩形面积的2 倍比正方形的面积多11cm2，则原正方形的边长为cm.
6、一张桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，求这块台布的长和宽。

7、有一面积为54cm2的长方形，将它的一组对边剪短5cm，另一组对边剪短2cm，刚好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少?
8、如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去的小正方形的边长。

9．有一块长3m，宽2m的铁皮，要在它上面挖成一个面积是2m2的长方形的孔，且使剩下部分的四周一样宽，求这个宽度
10、如图，在长为32m，宽为20m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小不等的六
块作实验田，要使试验田面积为570m2，道路的宽应为多少？
11、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购买这张铁皮共花了多少元钱？
12、探索存在问题例：将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.
解（1）设剪成两段后其中一段为x cm，则另一段为（20－x）cm.
答这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.
（2）不能.理由是：
13、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。

①鸡场的面积能达到150m2吗？
②鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。

（3）若墙长为a m,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度a m对题目的解起着怎样的作用?
6、银行问题利滚利问题
年利息＝本金×年利率年利率为a%
存一年的本息和：本金×（1+年利率），即本金×（1+ a%）
存两年的本息和：本金×（1+年利率）2，即本金×（1+a%）2
例1：王明同学将100元第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的50元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的一半，这样到期后可得本金利息共63元，求第一次存款时的年利率．
训练练习：
1、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）
2、某人将2000元按一年期存入银行，到期后支取1000元，剩下1000元连同利息又全部按一年定期存入。

若存款利率不变，到期后可得本息共1320元，求这种存款方式的利率。

（无所得税）
说明：要理解“本金”“利息”“利率”“本息和”等有关的概念，再找清问题之间的相等关系．
例1：两个相邻偶数的积是168，求这两个偶数。

解：设其中一数为x，另一数为x+2，依题意得：
x1=12，x2 =－14
当x＝12时，另一数为14；当x＝-14时，另一数为-12.
答：这两个偶数分别为12、14或-14、-12.
训练练习：
1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

2、一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5；把十位上的数字与个位上数字互换后再乘以原数得736，求原来两位数．
3、一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的3倍，它的十位上的数字比个位上的数字
大2，若设个位数字为x，求这个两位数。

4、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是6，如果把它的个位数字与十位数字调换
位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008，求调换位置后得到的两位数。

说明：解决这类问题，关键是写出表示这个数的代数式．
训练练习：
1、某开发区为改善居民的住房条件，每年都新建一批住房，人均住房面积逐年增加（人均住房面积＝该区人口总数
该区住房总面积，单位：平方米/人）．该开发区1997年至1999年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果分别如图12—4，请根据两图中所提供的信息解答下面的问题：
（1）该区1998年和1999年两年中，哪一年比上一年增加的住房面积多？多增加多少万平方米?
答：_______年比上一年增加的住房面积多，多增加__________万平方米．
（2）由于经济的发展，预计到2001年底，该区人口总数将比1999年年底增加2万，为使到2001年年底该区人均住房面积达到11平方米/人，试求2000年和2001年两年该区住房总面积的年平均增长率应达到百分之几？ (1)1999，7．4(2)10％
9、行程问题：
训练练习：
1、A 、B 两地相距82km ，甲骑车由A 向B 驶去，9分钟后，乙骑自行车由B 出发以每小时比甲快2km 的速度向A 驶去，两人在相距B 点40km 处相遇。

问甲、乙的速度各是多少?
2．汽车需行驶108km的距离，当行驶到36km处时发生故障，以后每小时的速度减慢9km，到达时比预定时间晚24min，求汽车原来的速度。

10、工程问题：
训练练习：
1、甲、乙两建筑队完成一项工程，若两队同时开工，12天可以完成全部工程，乙队单独完成该工程比甲队单独完成该工程多用10天，问单独完成该工程，甲、乙各需多少天？
11、动态几何：
训练练习：
1、如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ
的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存
在，说明理由.
2、已知：如图3-9-3所示，在△ABC 中，cm 7cm,5,90==︒=∠BC AB B .点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动.
（1）如果Q P ,分别从B A ,同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于4cm 2？
（2）如果Q P ,分别从B A ,同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于5cm ？
（3）在（1）中，△PQB 的面积能否等于7cm 2?说明理由.。