福建省泉州市泉港区第一中学2024-2025学年九年级数学第一学期开学调研试题【含答案】

开学调研试题
题号一二三四五总分得分
批阅人
A卷（100分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是菱形，则四边形必须满足的条件是（）
A．对角线互相垂直B．对角线相等
C．一组邻边相等D．一个内角是直角
2、（4分）矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）
A．对角线互相平分B．邻角互补C．对角相等D．对角线相等
3、（4分）下列关于矩形的说法中正确的是（）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．矩形的对角线互相垂直且平分
4、（4分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是(3，－4)，点B的坐标是(1，2)，将线段AB平移后得到线段A'B'.若点A对应点A'的坐标是(5，2)，则点B'的坐标是（）A．(3，6)B．(3，7)C．(3，8)D．(6，4)
5、（4分）平行四边形边长为10cm和15cm，其中一内角平分线把边长分为两部分，这两部分是（）
A．6cm和9cm B．7cm和8cm C．5cm和10cm D．4cm和11cm
6、（4分）如图两张长相等，宽分别是1和3的矩形纸片上叠合在一起，重叠部分为四边形
ABCD，且AB+BC=6，则四面行ABCD的面积为（）
A ．3
B ．32
C ．9
D ．927、（4分）计算：-3x 2y 2÷223y x =（）．A ．-2xy 2B ．-32x 2C ．-92x 3D ．-92xy 48、（4分）若一组数据1.2.3.x 的极差是6，则x 的值为().A ．7B ．8C ．9D ．7或3-二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）已知y =，则x y +的值为________．10、（4分）如果12x x ，是一元二次方程2320x x ++=的两个实数根，那么12x x +的值是____．11、（4分）如图，已知菱形OABC 的顶点O(0，0)，B(2，2)，则菱形的对角线交点D 的坐标为(1,1),若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，点D 的坐标为________．12、（4分）将22⨯的正方形网格如图放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为
格点，每个小正方形的边长都是1,正方形ABCD 的顶点都在格点上，若直线(0)y kx k =≠与正方形ABCD 有公共点，则k 的取值范围是________________．
13、（4分）如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8,P 为BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F,则EF 最小值是________.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，ABCD □中，点E 为BC 边上一点，过点E 作EF AB ⊥于F ，已知2D AEF ∠=∠．（1）若70BAE ∠=︒，求BEA ∠的度数；（2）连接AC ，过点E 作EG AC ⊥于G ，延长EG 交AD 于点H ，若45ACB ∠=︒，求证：2AH AF AC =+．
15、（8分）如图是某港口在某天从0时到12时的水位情况变化曲线．
（1）在这一问题中，自变量是什么？（2）大约在什么时间水位最深，最深是多少？（3）大约在什么时间段水位是随着时间推移不断上涨的？16、（8分）解不等式组：789112x x x <+⎧⎪⎨+<⎪⎩，并写出它的所有整数解．17、（10分）已知a 、b
、c 满足(a ﹣3)2|c ﹣5|=1．求：（1）a 、b 、c 的值；（2）试问以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．18、（10分）又到一年丰收季，重庆外国语学校“国内中考、高考、国内保送、出国留学”捷报频传．作为准初三的初二年级学生希望抓紧暑期更好的提升自我．张同学采用随机抽样的方式对初二年级学生此次暑期生活的主要计划进行了问卷调查，并将调查结果按照“A 社会实践类、B 学习提高类、C 游艺娱乐类、D 其他”进行了分类统计，并绘制了如图1和如图2两幅不完整的统计图．（接受调查的每名同学只能在四类中选择其中一种类型，不可多选或不选．）请根据图中提供的信息完成以下问题．（1）扇形统计图中表示B 类的扇形的圆心角是度，并补全条形统计图；
（2）张同学已从被调查的同学中确定了甲、乙、丙、丁四名同学进行开学后的经验交流，并计划在这四人中选出两人的宝贵经验刊登在本班班刊上．请利用画树状图或列表的方法求出甲同学的经验刊登在班刊上的概率．
B 卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）某公司10月份生产了100万件产品，要使12月份的产品产量达到121万件，设平均每月增长的百分率是x ，则可列方程____.20、（4分）关于x 的一元二次方程280x x q ++=有两个不相等的实数根，则q 的取值范围是_______．21、（4分）如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在'D 处，则重叠部分△AFC 的面积为___________22、（4分）如图所示，在ABC ∆中，70CAB ∠=︒，在同一平面内，将ABC ∆绕A 点逆时针旋转到△AB C ''的位置，使//CC AB '，则BAB ∠'=___．23、（4分）平行四边形ABCD 中，∠A －∠B ＝20°，则∠A ＝______，∠B ＝_______.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，已知(2)(1,4)A n B -，﹣，是一次函数y kx b =+和反比例函数m y x =的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积．
25、（10分）如图，已知□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，且∠1=∠1．（1）求证：□ABCD 是菱形；（1）F 为AD 上一点,连结BF 交AC 于E,且AE=AF.求证：AO=12（AF+AB ）．26、（12分）如图,已知一次函数y=12x+b 的图象与反比例函数y=k x (x<0)的图象交于点A(−1,2)和点B (1)求k 的值及一次函数解析式；(2)点A 与点A ′关于y 轴对称,则点A ′的坐标是___；(3)在y 轴上确定一点C ，使△ABC 的周长最小，求点C 的坐标。

参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
首先根据题意画出图形，由四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形．
【详解】
如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD 的中点，
∴EF=FG=GH=EH，BD=2EF，AC=2FG，
∴BD=AC．
∴原四边形一定是对角线相等的四边形．
故选B．
本题考查中点四边形，熟练掌握中位线的性质是解题的关键．
2、D
【解析】
根据矩形相对于平行四边形的对角线特征：矩形的对角线相等，求解即可．
【详解】
解：由矩形对角线的特性可知：矩形的对角线相等．
故选：D．
本题考查的知识点是矩形的性质以及平行四边形的性质，掌握矩形以及平行四边形的边、角、对角线的性质是解此题的关键．
3、B
【解析】
试题分析：A．对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；
B．矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；
D．矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；
故选B．
考点：矩形的判定与性质．
4、C
【解析】
先由点A的平移结果判断出平移的方式，再根据平移的方式求出点B′的坐标即可.
【详解】
由点A(3，－4)对应点A′(5，2)，知
点A向右平移了2个单位，再向上平移了6个单位，
所以，点B也是向右平移了2个单位，再向上平移了6个单位，
B（1,2）平移后，变成：B′（3,8），
故选C.
本题考查了平面直角坐标系中图形的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．5、C
【解析】
作出草图，根据角平分线的定义求出∠BAE=45°，然后判断出△ABE是等腰直角三角形，然后求出BE=AB，再求出CE即可得解．
【详解】
解：如图，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
又∵∠B=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AB=10cm，
∴CE=BC-AB=15-10=5cm，
即这两部分的长为5cm和10cm．
故选：C．
本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，熟记性质判断出△ABE是等腰直角三角形是解题的关键．
6、D
【解析】
过D分别作DE⊥BC，DF⊥BA，分别交BC、BA延长线于E、F，由矩形性质可得四边形ABCD是平行四边形，根据AB+BC=6，利用平行四边形面积公式可求出AB的长，即可求出平行四边形ABCD的面积.
【详解】
过D分别作DE⊥BC，DF⊥BA，分别交BC、BA延长线于E、F，
∵两张长相等，宽分别是1和3的矩形纸片上叠合在一起，重叠部分为四边形ABCD，
∴AD//BC，AB//CD，DF=3，DE=1，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S ABCD=AB×DF=BC×DE，即3AB=BC，
∵AB+BC=6，
∴AB+3AB=6，
解得：AB=3 2，
∴S ABCD=AB×DF=3
2×3=
9
2.
故选D.
本题考查了矩形的性质及平行四边形的判定及面积公式，正确作出辅助线并根据平行四边形
面积公式求出AB 的长是解题关键.7、C 【解析】根据分式除法法则先将除法化为乘法，再进行计算即可．【详解】原式223239322x x y x y =-⨯=-．故选：C ．本题考查分式的乘除法，明确运算法则是解题关键．8、D 【解析】试题分析：根据极差的定义，分两种情况：x 为最大值或最小值：当x 为最大值时，x 16x 7-=⇒=；当x 是最小值时，3x 6x 3-=⇒=-．∴x 的值可能7或3-.故选D.考点：1.极差；2.分类思想的应用.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1.【解析】只有非负数才有平方根，可知两个被开方数都是非负数，即可求得x 的值，进而得到y ，从而求解．【详解】解：由题意得10
10
x x -⎧⎨-⎩ 解得：x=1，
把x=1代入已知等式得：y=0，
所以，x+y=1.
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．10、-3【解析】直接根据一元二次方程根与系数的关系得到1x +2x 的值.【详解】根据题意,12x x +=-3.故答案为：-3.本题考查了一元二次方程根与系数的关系,解题的关键是熟练掌握方程20ax bx c ++=的两根为1x ,2x 的关系：1x +2x =b a -,1x 2x =c a .11、(－1，－1)【解析】根据菱形的性质，可得D 点坐标，根据旋转的性质，可得D 点的坐标．【详解】菱形OABC 的顶点O （0，0），B （2，2），得D 点坐标为（1，1）．每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60=2700°，2700°÷360=7.5周，OD 旋转了7周半，菱形的对角线交点D 的坐标为（-1，-1），故答案为：（-1，-1）．本题考查了旋转的性质，利用旋转的性质是解题关键．
12、12≤k≤1．
【解析】
分别确定点A 和点C 的坐标，代入正比例函数的解析式即可求得k 的取值范围．
【详解】
解：由题意得：点A 的坐标为（1，1），点C 的坐标为（1，1），
∵当正比例函数经过点A 时，k=1，当经过点C 时，k=12，∴直线y=kx （k≠0）与正方形ABCD 有公共点，k 的取值范围是12≤k≤1，故答案为：12≤k≤1．本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是求得点A 和点C 的坐标，难度不大．13、4.8【解析】【分析】连接AP ，由题意知四边形AFPE 是矩形，由矩形的性质知EF=AP ，所以当AP 最小时，EF 最小，根据垂线段最短进行解答即可．【详解】如图，连接AP ，由题意知，四边形AFPE 是矩形，则有AP=EF ，当EF 取最小值时，则AP 也取最小值，∴当AP 为直角三角形ABC 的斜边上的高时，即AP ⊥BC 时，AP 有最小值，此时EF 有最小值，由勾股定理知，∵S △ABC =12AB•AC=12BC•AP ，∴AP=4.8，即EF 的最小值是4.8，故答案为：4.8.
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等，正确分析是解题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）∠BEA=70°；（2）证明见解析；
【解析】
（1）作BJ ⊥AE 于J ．证明BJ 是∠ABE 的角平分线即可解决问题．
（2）作EM ⊥AD 于M ，CN ⊥AD 于N ，连接CH ．证明△AEF ≌△AEM （HL ），△AGE ≌△HGC （SAS ），△EMA ≌△CNH （HL ），即可解决问题．【详解】（1）解：作BJ ⊥AE 于J ．∵BF ⊥AB ，∴∠ABJ+∠BAJ=90°，∠AEF+∠EAF=90°，∴∠ABJ=∠AEF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D=∠ABC ，∵∠D=2∠AEF ，∴∠ABE=2∠AEF=2∠ABJ ，∴∠ABJ=∠EBJ ，∵∠ABJ+∠BAJ=90°，∠EBJ+∠BEJ=90°，∴∠BAJ=∠BEJ ，∵∠BAE=70°，∴∠BEA=70°．（2）证明：作EM ⊥AD 于M ，CN ⊥AD 于N ，连接CH ．∵AD ∥BC ，∴∠DAE=∠BEA ，
∵∠BAE=∠BEA ，
∴∠BAE=∠DAE ，
∵EF ⊥AB ，EM ⊥AD ，
∴EF=EM ，
∵EA=EA ，∠AFE=∠AME=90°，
∴Rt △AEF ≌Rt △AEM （HL ），
∴AF=AM ，∵EG ⊥CG ，∴∠EGC=90°，∵∠ECG=45°，∠GCE=45°，∴GE=CG ，∵AD ∥BC ，∴∠GAH=∠ECG=45°，∠GHA=∠CEG=45°，∴∠GAH=∠GHA ，∴GA=GH ，∵∠AGE=∠CGH ，∴△AGE ≌△HGC （SAS ），∴EA=CH ，∵CM=CN ，∠AME=∠CNH=90°，∴Rt △EMA ≌Rt △CNH （HL ），∴AM=NH ，∴AN=HM ，∵△ACN 是等腰直角三角形，∴AN ，即AN=22AC ，∴AH=AM+HM=AF+22AC ．此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造全等三角形解决问题．
15、（1）自变量是时间；（2）大约在3时水位最深，最深是8米；（3）在0到3时和9到12时，水位是随着时间推移不断上涨的．
【解析】
（1）根据函数图象，可以直接写出自变量；
（2）根据函数图象中的数据可以得到大约在什么时间水位最深，最深是多少；
（3）根据函数图象，可以写出大约在什么时间段水位是随着时间推移不断上涨的．【详解】（1）由图象可得，在这一问题中，自变量是时间；（2）大约在3时水位最深，最深是8米；（3）由图象可得，在0到3时和9到12时，水位是随着时间推移不断上涨的．本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.16、解集为-4＜x ＜2，不等式组的整数解是：﹣3，﹣2，﹣1、1．【解析】分别解出两个不等式，然后得到公共解集，再找出整数解即可【详解】789.....1 1........2x x x <+⎧⎪⎨+<⎪⎩①②，
∵解不等式①得：x ＞﹣4，解不等式②得：x ＜1，∴原不等式组的解集为：﹣4＜x ＜2，∴不等式组的整数解是：﹣3，﹣2，﹣1、1．本题主要考查求不等式组的整数解，关键在于解出不等式组的解17、
（1）a =3，b =4，c =5；（2）能构成三角形，且它的周长=2．【解析】（1）根据平方、算术平方根及绝对值的非负性即可得到答案；（2）根据勾股定理的逆定理即可证明三角形是直角三角形，再计算周长即可.
【详解】
（1）∵2(3)50a c -+-=，
又∵(a ﹣3)2≥10≥，|c ﹣5|≥1，
∴a ﹣3=1，b ﹣4=1，c ﹣5=1，
∴a =3，b =4，c =5；
（2）∵32+42=52，∴此△是直角三角形，∴能构成三角形，且它的周长l =3+4+5=2．此题考查平方、算术平方根及绝对值的非负性，勾股定理的逆定理.18、（1）144（2）12【解析】（1）先根据A 类型人数及其所占百分比求得总人数，继而根据各类型人数之和等于总人数求得B 的人数，再用360°乘以B 类型人数所占比例可得；（2）列表得出所有等可能结果，从中找打符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案．【详解】解：（1）∵被调查的人数为45÷30%＝150人，∴B 等级人数为150﹣（45+15+30）＝60人，则扇形统计图中表示B 类的扇形的圆心角是360°×60150＝144°，补全图形如下：故答案为144；（2）列表如下：
甲乙丙丁
甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）
丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）
由树状图（或表格）可知，所有等可能的结果共12种，其中包含甲同学的有6种，
所以P（甲同学的经验刊登在班刊上的概率）＝61 122
．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、100（1+x）2=121
【解析】
设平均每月增长的百分率是x，那么11月份的产品产量为100（1+x）万件，2月份的产品产量为100（1+x）（1+x），然后根据2月份的产品产量达到121万件即可列出方程，解方程即可．
【详解】
解：设平均每月增长的百分率是x，依题意得：
100（1+x）2=121
故答案为100（1+x）2=121
本题考查了利用一元二次方程解增长率问题.
20、q<1
【解析】
解：∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，∴△=82﹣4q=64﹣4q＞0，解得：q＜1．故答案为q＜1．
点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
21、26 3
【解析】
因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF＝D′F，设D′F＝x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，则AF＝AB−BF．
【详解】
解：由于折叠可得：AD′=BC ，∠D′=∠B ，又∠AFD′=∠CFB ，∴△AFD′≌△CFB （AAS ），∴D′F ＝BF ，设D′F ＝x ，则AF ＝6−x ，在Rt △AFD′中，（6−x ）2＝x 2＋42，解之得：x ＝53，∴AF ＝AB−FB ＝6−53＝133，∴S △AFC ＝12•AF•BC ＝263．故答案为：263．本题考查了勾股定理的正确运用，本题中设D′F ＝x ，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x 是解题的关键．22、40°【解析】由旋转性质可知AC AC ='，C AB CAB ∠''=∠，从而可得出ACC ∆'为等腰三角形，且CAC BA B ∠'=∠'和已知//CC AB '，得出ACC ∠'的度数．则可得出答案．【详解】解：ABC ∆绕A 点逆时针旋转到△AB C ''的位置AC AC C AB CAB ∴='∠''=∠AC C ACC C AC B AB ∴∠'=∠'∠'=∠'//CC AB '70C CA CAB ∴∠'=∠=︒18070240CAC ∴∠'=︒-︒⨯=︒
40BAB ∴∠'=︒
本题考查了旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解题的关键是抓住旋转变换过程中不变量，判断出ACC ∆'是等腰三角形．23、100°，80°
【解析】
根据平行四边形的性质得出AD ∥BC ，求出∠A+∠B=180°，解方程组求出答案即可．
【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠A+∠B=180°，∵∠A-∠B=20°，∴∠A=100°，∠B=80°，故答案为：100°，80°．本题考查了平行四边形的性质，能根据平行线得出∠A+∠B=180°是解此题的关键，注意：平行四边形的对边平行．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）反比例函数解析式为4y x =-，一函数解析式为22y x =-+；（2）3AOB S ∆=.【解析】（1）根据214A n B （，﹣），（﹣，）是一次函数y kx b +＝与反比例函数m y x =的图像的两个交点，可以求得m 的值，进而求得n 的值，即可解答本题；（2）根据函数图像和（1）中一次函数的解析式可以求得点C 的坐标，从而根据AOB AOC BOC S S S ∆∆∆+＝可以求得AOB ∆的面积．【详解】解：（1）(,2),(1,4)A n B --是一次函数y kx b +＝的图像与反比例函数m y x =的图像的两个交点41m ∴=-，得4m =-，4y x ∴=-，42n ∴-=-，得2n =，
∴点(2,2)A -，
224k b k b +=-⎧∴⎨-+=⎩,解得22k b =-⎧⎨=⎩，∴一函数解析式为22y x =-+，即反比例函数解析式为4
y x =-，一函数解析式为22y x =-+；
（2）设直线与y 轴的交点为C ，当0x =时，2022y =-⨯+=，∴点C 的坐标是(0,2)，∵点(2,2)A -，点(1,4)B -，112221322AOB AOC BOC S S S ∆∆∆∴+⨯⨯+⨯⨯＝＝＝．本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．25、（1）证明见解析;（1）证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用平行线的性质以及等角对等边即可证得AB=BC ，则依据菱形的定义即可判断；（1）首先证明△BCE 是等腰三角形，然后依据平行四边形的对角线互相平分即可证得．试题解析：（1）∵▱ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠1=∠ACB ，又∵∠1=∠1，∴∠1=∠ACB ∴AB=BC ，∴▱ABCD 是菱形；（1）∵▱ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠AFE=∠EBC ，又∵AF=AE ，∴∠AFE=∠AEF=∠BEC ，∴∠EBC=∠BEC ，∴BC=CE ，
∴AC=AE+CE=AF+BC=1OA ，∴OA =1
2（AF +BC ），
又∵AB=BC ，
∴OA =1
2（AF +AB ）．
26、（1）k=−2，y=12x+52,；（2）(1,2)；（3）(0,1710)【解析】（1）把A （
-1，2）代入两个解析式即可得到结论；（2）根据关于y 轴对称的点的特点即可得到结论；（3）作点A 关于y 轴对称A′，连接AA′交y 轴于C ，则△ABC 的周长最小，解方程组得到B （-4，12），得到A′B 的解析式为y=3171010x +，即可得到结论．【详解】(1)∵一次函数y=12x+b 的图象与反比例函数y=k x (x<0)的图象交于点A(−1,2)，把A(−1,2)代入两个解析式得：2=12×(−1)+b ，2=−k ，解得：b=52，k=−2，∴一次函数解析式为：y=12x+52,反比例函数解析式为y=−2x ；(2)∵点A(−1,2)与点A′关于y 轴对称，∴A′(1,2)，故答案为：(1,2)；
(3)作点A 关于y 轴对称A′,连接AA′交y 轴于C ，则△ABC 的周长最小，由(2)知A′(1,2)，
解方程组15
2
22y x y x
=+
=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩,
解得：1
1
1 2
x y =-=
⎧⎨⎩,
2
2
4
1
2
x
y
=-
=
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
，
∴B(−4,1 2)，
设A′B的解析式为y=ax+c，
把A′(1,2),B(−4,1
2)代入得
2
1
4
2
a c
a c
⎧+=
-+=
⎪
⎨
⎪⎩
，
解得：
3
10
17
10
a
c
⎧
⎪⎪
⎨
=
=
⎪
⎪⎩
，
∴A′B的解析式为y=317
1010
x+，令x=0，
∴y=17 10，
∴C(0,17 10)
此题考查轴对称-最短路线问题，反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于将已知点代入解析式。