高中数学 2.3.2双曲线的几何性质导学案(创新班,无答案)新人教B版选修2 1 学案

2.3.2双曲线的几何性质
一、【教材基础梳理】
双曲线的两个标准方程的几何性质与特征比较 标准方程
22
221(0,0)x y a b a b
-=>> 22
2
21(0,0)y x a b a b
-=>>
圆形
几何性质
范围
对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称（原点为中心） 顶点
轴
实轴长｜A 1A 2｜= 虚轴长｜B 1B 2｜=
离心率 (1)c
e e a
=
> 焦点 （±c,0） (0,±c) 渐近线
二、【课前检测】
1、双曲线的方程为2
2
21x y -=，即它的渐近线方程为（ ） A 、2y x = B 、3y x = C 、22y x =± D 、23
y x =± 2、双曲线
2
2
1259
x y
-=的顶点坐标是（ ） A 、（±5，0） B 、（±5，0）或（0，±3） C 、（±4，0） D 、（±4，0）或（0，±3）
3、双曲线
22
12516
x y -=的离心率是（ ） A 、
35 B 、5
3 C 、415 D 41
4、若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为03x
y +=，则此双曲线的离心率为 .
5、双曲线
22149
x y -=的渐近线方程为_____________. 6.已知以原点O 为中心，F 5，0）为右焦点的双曲线C 的离心率5
e =求双曲线C 的 标准方程及其渐近线方程.
三、【典例解析】
题型一 双曲线几何性质的简单应用
例1：求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）虚轴长为12，离心率为54
；
（2）顶点间距离为6，渐近线方程为3
2
y x =±；
（3）求与双曲线2
2
22x y -=有公共渐近线，且过点(2,2)M -的双曲线的方程.
跟进练习1.求适合下列条件的双曲线的标准方程. （1顶点在x 轴，两顶点的距离为8，离心率是5
4
；
（2）焦距为20，渐近线方程为1
2
y x =±.
题型二 由双曲线的方程研究其性质
例2 求双曲线2
2
5945x y -=的实轴长、虚轴长、顶点坐标及离心率.
跟进练习2.求下列双曲线的实轴长和虚轴长、焦点坐标、离心率及渐近线方程； （1）2
2
4x y -=； （2）2
2
981x y -+=；
（3）
2211625x y -=； （4）22
4259
x y -=
题型三 双曲线标准方程的求法
例3 求过点（2，-2）且与2
212
x y -=有公共渐近线的双曲线的方程. 四、【课堂达标练习】 1.双曲线的渐近线为3
4
y x =±
，则双曲线的离心率是（ ） A.
54 B.2 C. 54
或5
3
D.2
或3
2.双曲线22221x y a b -=与22
221y x b a
-=的离心率分别为1e 、2e ，则1e +2e 的最小值为________.
3.双曲线2
2
33mx my -=的焦距为4，则m 值_____________.
4.已知双曲线一焦点坐标为（5，0），一渐近线方程为340x y -=，则此双曲线的标准方程 为____________离心率为________. 五、高考题组：
1.【2012新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32
a
x =上一点，1
2PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）
()
A 12 ()
B 23 ()
C 34 ()
D 4
5
3.【2012山东理10】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>
双曲线22
1x y -=的渐近线与椭圆C 有
四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为
（A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）221164x y += （D ）22
1205
x y += 3.【2012湖南理5】已知双曲线C ：22x a -2
2y b
=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为
A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220
y =1 D.220x -280y =14.【2012全国卷理8】已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=
(A)
14 （B ）35 (C)34 (D)4
5
5.【2012四川理15】椭圆22
143
x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________。

6.【2012江西理13】椭圆 )0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1，F 2。

若1AF ，
21F F ，B F 1成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.
7.【2012江苏8】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22
214
x y m m -=+
则m 的值为____________ ． 六、【课后强化训练】
1.如果双曲线22
221x y a b
-=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为（ ）
2.（2009年海南（宁夏）高考）双曲线
22
1412
x y -=的焦点到渐近线的距离为（ ）
A.
D.1 3.以2
3
y x =±
为渐近线的双曲线方程不可能是（ ） A.2
2
491x y -= B.2
2
441y x -= C.2
2
49(0)x y R λλλ-=∈≠且 D.2
2
941y x -=
4.已知双曲线22
21(0)2x y b b
-=>的左，右焦点分别为1F ，2F ，其一条渐近线方程为y x =
，点0)P y 在该双曲线上，则1PF ·2PF =（ ）
A. -12
B. -2
C.0
D.4
5.
倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程为（ ）
A.22144x y -=
B.22144y x -=
C.22184x y -=
D.22
184
y x -= 6.（2011·山东卷）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线均和圆22
:650C x y x +-+=相切，且双
曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ） A.
22154x y -= B.22145x y -= C.22136
x y -= D.22
163x y
-
= 二、填空题
1.（2011·辽宁卷）已知点（2，3）在双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>上，C 的焦距为4，则它的离心率为
______________.
2.（2011·北京卷）已知双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的一条渐近线的方程为2y x =，则b =___________.
3.（2011·江西卷）若双曲线
22
116y x m
-=的离心率2e =，则m =___________. 4.（2009年高考湖南卷）已知双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60o
，则双曲线C 的离心率为___________.
5.双曲线中心在原点，坐标轴为对称轴且与圆2
2
17x y +=相交于点(4,1)A -，若圆在A 点的切线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程是____________.
三、解答题
6.求下列双曲线的实轴长和虚轴长、焦点坐标、顶点坐标及渐近线方程：
（1）2291164x y -=； （2）22
14x y m
-=.
7.根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（1）它与双曲线
22
1169
x y -=
有共同的渐近线，且经过点3)A -；
（2）两顶点间的距离是6，两焦点连线被两顶点和中心四等分.
8.求双曲线
22
1436x y -=上任意一点M 到两条渐近线的距离乘积的值。

试把这个结论推广到一般的双曲线22
221x y a b
-=.
9.双曲线22
221x y a b -=(0,0)a b >>的右焦点为F ，焦距为2c ，左顶点为A ，虚轴的上端点为(0,)B b ，若
BA ·3BF ac =，求该双曲线的离心率。

10.已知1F ，2F 是双曲线
22
1916
x y -=的两个焦点，点M 在双曲线上，如果1MF ⊥2MF ，求△12MF F 的面积。