直线逼近的螺旋锥齿轮数字化模型的基础研究

直线逼近的螺旋锥齿轮数字化模型的基础研究
艾力保·拜山巴依;阿达依·谢尔亚孜旦
【摘要】针对螺旋锥齿轮加工的发展方向,结合电化学光整加工在提高加工质量方面的独特优势,提出了基于OpenGL直线逼近技术逼近螺旋锥齿轮齿面的方法.对所涉及到的走刀轨迹及步长、误差等关键问题进行了分析.结果表明:细化步长并非精细插补技术的唯一途径,改变材料的去除方式,利用电化学光整加工可弥补直线插补的不足.在此基础上,基于OpenGL的直线逼近技术和VC++6.0环境,建立了基于直线逼近的螺旋锥齿轮实体模型,并对误差进行了分析,不仅为螺旋锥齿轮的数字化加工奠定了基础,而且也为拓展和改善精细插补技术提供了新思路和方法.
【期刊名称】《机械设计与制造》
【年(卷),期】2019(000)002
【总页数】4页(P230-233)
【关键词】螺旋锥齿轮;直线;逼近;精细插补
【作者】艾力保·拜山巴依;阿达依·谢尔亚孜旦
【作者单位】新疆大学机械工程学院,新疆乌鲁木齐 830047;新疆大学机械工程学院,新疆乌鲁木齐 830047
【正文语种】中文
【中图分类】TH16;TH161.1
1 引言
目前，螺旋锥齿轮的加工成形主要是利用专用设备加工，而利用数控加工技术，尤其是利用通用数控加工装备加工螺旋锥齿轮是齿轮加工行业关注的焦点，而精细插补技术一直是数控加工领域研究的热点之一。

在数控加工的插补技术中，无论是直线插补还是圆弧插补，由于拐点的存在，都使被加工表面呈多边形或多面体。

尽管NURBS曲线插补技术在改善曲线或曲面的光滑性、光顺性等方面显现了优势[1]，但其存在权因子难控制等缺点[2]，因此，降低误差，提高光滑性、光顺性的方法
和技术仍是插补技术的核心研究内容。

利用电化学光整加工对圆孔边缘进行光整加工后的实物图片，如图1所示。

由该
图可知，电化学光整加工作为一种电化学阳极溶解现象在光整加工领域中应用的加工方法，具有极佳的光顺化能力；同时，已有的利用电化学光整加工将圆度形状误差由6级提高到2级的实验结果[3]以及将螺旋锥齿轮的加工精度由10级提高到7级（DIN），齿面粗糙度提高到Ra0.1μm的实验结果[4]表示：电化学光整加工在提高螺旋锥齿轮的加工质量方面也具有很大的优势。

图1 圆孔边缘的电化学光整加工后的实物图片Fig.1 Round Hole Edge Processed by Electrochemical
因此，基于OpenGL的直线逼近技术[5]，并结合电化学光整加工的特点，提出建立了以直线逼近螺旋锥齿轮齿面的数学模型，在对所涉及的插补误差等相关问题进行分析的基础上，利用VC++6.0建立基于直线逼近的螺旋锥齿轮实体模型，以便为基于数控加工技术的螺旋锥齿轮齿面的电化学光整加工方法提供数字化模型基础。

2 球面渐开线方程及其直线逼近
2.1 球面渐开线方程
球面渐开线是当平面在圆锥面上纯滚动时平面上的某一点的运动轨迹，如图2所示。

当Q平面与OM0 O1锥面相切并且在锥面上纯滚动时，平面与锥体接触的点M在空间上的轨迹M0M就是球面渐开线。

基于直角坐标系，借助于球面几何学
可建立如下的球面渐开线方程[6-7]：
式中：δm—球面渐开线上任意点所对应的锥角。

βm其中，β—球m面渐开线上的任一动点M的球面偏角；δb—基圆锥角。

图2 球面渐开线的形成及直线逼近Fig.2 The Formation and Approximation of Spherical Involute
2.2 齿廓曲线的直线逼近
螺旋锥齿轮的齿廓曲线由齿顶、齿根、工作齿廓以及连接齿根和工作齿廓的齿根过渡圆角等曲线组成，其中工作齿廓是锥齿轮齿廓曲线的关键部分。

根据直线逼近原理，可建立各齿廓段曲线的直线逼近方程。

（1）工作齿廓曲线（渐开线）的直线逼近方程
依据图2的直线逼近原理示意图，将球面渐开线上任意点所对应的锥角δm设为变量，建立的螺旋锥齿轮工作齿廓曲线的直线逼近方程为：
δm的变化范围由式（3）确定：
式中：δa—顶锥角；δf—根锥角；n—所获得的离散数据点数，n的值越大，误差越小，t—整数变量，变化范围为0≤t≤n。

同理，大端面另一侧的工作齿廓曲线可表示为：
式中）；其中，φ—渐开线的转角。

b
（2）齿顶线和齿根线的直线逼近方程
齿顶线和齿根线分别是齿顶圆弧和齿根圆弧的一部分，齿顶线直线逼近方程可表示为：
齿根线方程和齿顶线相似，只需把顶锥角δa改成根锥角δf，顶锥齿厚角δas改
成根锥齿厚角δfs即可。

（3）过渡圆角线的直线逼近方程
过渡曲面是加工过程中由刀具齿顶尖或齿顶圆角包络形成的。

在设计过程中，过渡圆角线推导和求解十分困难，一般通过倒角圆方法进行处理：
式中：mne—法向模数；Rb—基圆锥半径；Rf—齿根圆半径；ri—最大刀尖圆角
半径，系数η≥1。

3 建模过程中的关键技术
3.1 刀具运动轨迹的优化
在数控加工中，刀具运动轨迹的规划是改善加工质量和提高材料的去除效率的关键因素之一。

为获得一种最优的刀具运动轨迹，对两种螺旋锥齿轮加工方式进行了分析。

第一种是刀具轨迹平行于齿顶线的加工方式，如图3（a）所示。

在螺旋锥齿
轮的成形加工中采用的是第二种刀具的运动轨迹，齿面上具有明显的刀具切削痕迹，如图4所示。

图3 刀具轨迹示意图Fig.3 Diagram of Tool Path
图4 螺旋锥齿轮加工痕迹Fig.4 Spiral Bevel Gear’s Machining Marks
考虑到电化学光整加工机理的特殊性，为消除或弱化表面轮廓的拐点，如图5所示。

采用按齿廓方向加工的刀具运动轨迹。

综上分析，基于OpenGL的齿面建模
思路应为：由于齿面被认为是由沿齿向由无数个球面渐开线构成，因此，将齿面沿齿向分成n等分，利用刀具运动轨迹逼近每个球面渐开线；同时，这种走刀轨迹
可以充分发挥电化学阳极溶解的尖峰效应。

图5 齿面轮廓的拐点Fig.5 Inflexion Points of Gear Surface
3.2 走刀步长的选择
走刀步长是刀具轨迹上相邻两个插补点之间的距离。

利用几何关系，可建立走刀步长ΔL的公式为：
由式（7）可知，走刀的步长以及走刀的插补方法是影响误差的主要因素。

同时，插补方法也是影响误差的主要因素之一。

在走刀步长等其它条件相同的情况下，不同的插补方法，其误差也不同。

对曲线方程y=x2进行直线插补与圆弧插补的误差数据，如表1所示。

表1 误差分析表Tab.1 The Tab of Error Analysis走刀步长直线插补（μm）圆弧插补（μm）0.5mm 3.0451 0.2765 0.4mm 1.9560 0.2266 0.3mm 1.1070
0.1769 0.2mm 0.4944 0.1271 0.1mm 0.1242 0.0774
由表1可知，与直线插补相比，在同等条件下，圆弧插补的误差更小。

如在步长
为0.1mm时，两者相差为0.048μm，而在步长为0.2mm时，两者相差为
0.3673μm。

这表明，直线插补的步长对误差的影响较为敏感；同时，随着步长的减小，敏感程度下降。

由于目前数控机床的走刀步长最小达到0.001mm[8]，因此，在这种步长条件下，直线插补与圆弧插补的步长对误差影响的敏感性可以认为是一致的，或者说，在合理的步长条件下，圆弧插补与直线插补相比，在误差方面无优势可言。

此外，在实际的工程技术中，因各种因素的影响，对于在表1中的步长
为0.1mm时，圆弧插补的误差很难达到0.0774um的量级。

文献[9]指出，运用
直线插补，圆弧插补以及NURBS插补技术加工的试件，其误差峰谷值之差分别为0.0765mm、0.0718mm、0.0537mm；这表明：虽然NURBS插补技术在光滑
性等方面具有优势，但在实际的加工中，在减小误差方面并无显著优势可言；同时，这种误差数量级已属于表面微观几何形貌不平产生的误差，属于表面质量衡量指标的范畴，因此，在常规加工条件下，或无特殊要求（如精度要求）条件下，可以认
为目前常用的直线插补，圆弧插补以及NURBS插补产生的误差基本相同。

由此可见，合理的步长可消弱或弱化因插补方法不同而产生的误差。

3.3 齿面建模算法
3.3.1 基锥角
由式（1）和式（2）可知，用直线逼近球面渐开线齿廓均涉及到基锥角δb，为此，利用空间几何关系，建立了如下的描述基锥角δb，节锥角δ与压力角α之间关系的表达式：
3.3.2 螺旋角
依据前述的齿面建模的基本思路，在逼近齿面的每一等分时，锥距也发生了变化，因此，需要求出该锥距对应的螺旋角。

利用于余弦定理，可求得螺旋锥齿轮节线上任意一点的螺旋角β′的表达式：
式中：r0—半径；β—齿线中点的螺旋角；R′=R-（R-B）t；其中，R′—锥距的变化量；B—齿宽。

3.3 .3工作齿面数学模型
由于齿面被认为是由沿齿向由无数个球面渐开线构成，因此，建立齿轮工作曲线（渐开线）后，沿齿线对该曲线进行偏移，并相互连接相邻两个球面渐开线，可获得螺旋锥齿轮工作曲面，此过程可由以下方程表示：
以此类推，可以完成其余的齿顶面、齿根面等曲面的绘制，从而可获得一条完整的螺旋锥齿轮轮齿。

4 螺旋锥齿轮参数化建模
4.1 齿轮设计参数及关系表达式
齿轮设计参数及关系表达式，如表2所示。

表2 螺旋锥齿轮几何参数Tab.2 Geometric Parameters of Spiral Bevel Gear参数名称符号表达式齿数 z teeth模数 m m压力角α alfa齿宽 b B顶隙系数 c* C 变位系数 x X齿顶高系数 ha* HA分度圆直径 d d=m*teeth1基圆直径 db
db=d*cos（alfa）分锥角δ delta=arctan（teeth1/teeth2）齿基角θb
sitab=atan（hb/rx）锥距rx rx=d/（2.0*sin（delta））齿顶高 ha ha=（HA+X）*m齿顶角θa sitaa=atan（ha/rx）齿顶宽 ba bb=B/cos（sitab）齿根宽 bf
bf=B/cos（sitaf）齿根高 hf hf=（HA+C-X）*m基锥角δb deltab=delta-
sitab顶锥角δa deltaa=delta+sitaa根锥角δf deltaf=delta-sitaf齿根角γ
sitaf=atan（hf/rx）
4.2 齿轮建模过程
螺旋锥齿轮的实体模型由VC++6.0的编程环境下，根据表2中的参数关系，利用OpenGL的glBegin（GL_QUAD_STRIP）等绘图语句来分别绘制齿轮各组成部分。

建模过程中的关键代码如下：
由于齿轮各齿的形状相同，首先按照以上的绘制或加工步骤绘制出一条轮齿后，再用循环语句改变旋转角度或用阵列函数语句glRotatef（）来绘制其他的齿，就可以完成螺旋锥齿轮的三维实体模型的建模，如图6所示。

完成齿面建模后，在齿
轮工作曲面上齿高方向选取5个点，齿宽方向选取9个点，如图7所示。

以球面
渐开线作为基准计算了误差，并通过MATLAB软件绘制出在走刀步长为0.5mm
时的误差对比图，如图8所示。

其中平均逼近误差为0.00697mm，文献[10]中通过NURBS精确拟合后的齿面平均拟合误差为0.00483mm，两者之差为
0.00214mm。

图6 螺旋锥齿轮实体模型Fig.6 Solid Model of Spiral Bevel Gear
图7 齿面计算点示意图Fig.7 Diagram of Calculation Point of Tooth Surface
图8 齿面逼近误差Fig.8 The Approximation Error of Tooth Surface
5 结论
（1）通过改变材料的去除方式，借助于电化学光整加工有利于直线插补拐点的光顺化，可提高零件的加质量。

（2）缩小步长，可弱化直线插补误差与圆弧插补误差的差异，细化步长并非数控加工技术中精细化插补技术唯一的发展方向，电化学光整加工与直线插补技术相结合，是数控加工技术利用直线插补技术的有效途径之一。

（3）基于OpenGL的直线逼近技术和VC++6.0的环境，建立基于直线逼近的螺旋锥齿轮齿的体模型，分析表明，在给定的步长条件下，平均误差为6.97um。

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