2013-2014南京市高一下数学期末含解析

2013-2014学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．（5分）（2014春•南京期末）已知tanα=2，求值tan（α+）=．
2．（5分）（2014春•南京期末）不等式＜0的解集是．
3．（5分）（2014春•南京期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则二面角D1﹣AB﹣D的大小
为．
4．（5分）（2014•大连学业考试）sinx+cosx的最大值是
．
5．（5分）（2014春•南京期末）如图，球O内切于圆柱O1O2．记球O的体积为V1，圆柱O1O2的体积为V2，则的值是．
6．（5分）（2014春•南京期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosA+acosB=c•cosB，则角B的大小是．
7．（5分）（2014春•南京期末）圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高是．
8．（5分）（2014春•南京期末）若不等式x2﹣ax+4≥0对任意的x∈（0，3）都成立，则实数a的取值范围是．
9．（5分）（2014春•南京期末）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，S2m﹣1=58，则m=．
10．（5分）（2014春•南京期末）关于直线m，n与平面α，β有以下四个命题：
①若m⊂α，n⊂β，则m，n是异面直线；
②若m⊂α，α∥β，则m∥β；
③若m∥α，n⊂β，α∥β，则m∥n；
④若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β．
其中正确的命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）
11．（5分）（2014春•南京期末）若cos（α+）=，则sin（2α﹣）的值是．
12．（5分）（2014春•南京期末）将全体正整数排成如图所示的一个三角形数阵．记第i行第j列（i，j 为正整数）位置上的数为a ij，如a35=5，a41=7，那么a95=．
13．（5分）（2014春•南京期末）若满足∠ABC=，AC=1，BC=t的△ABC恰有一个，则实数t的取值范围是．
14．（5分）（2014春•南京期末）已知a＞0，b＞0，+=1，则a+b的最小值是．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（14分）（2014春•南京期末）已知cos2θ﹣sin2θ=，θ∈（0，）．
（1）求θ的值；
（2）若sinx=，x∈（，π），求cos（x+θ）的值．
16．（14分）（2014春•南京期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，E为PC的中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）若AB⊥平面PAD，AD⊥PB，求证：PA⊥平面ABCD．
17．（14分）（2014春•南京期末）已知等差数列{a n}中，a3=2，3a2+2a7=0，其前n项和为S n．
（1）求等差数列{a n}的通项公式；
（2）令b n=||，求数列{b n}的前n项和T n．
18．（16分）（2014春•南京期末）某厂以x千克/小时的速度匀速生产一种产品（生产条件要求1≤x≤5），每小时可获得的利润是100（8x+1﹣）元．
（1）要使生产该产品每小时获得的利润不低于1600元，求x的取值范围；
（2）要使生产1000千克该产品获得的利润最大，问该厂应怎样选取生产速度？并求此最大利润．
19．（16分）（2014春•南京期末）如图，在△ABC中，AB=4，AC=1，∠BAC=60°．
（1）求BC的长和sin∠ACB的值；
（2）延长AB到M，延长AC到N，连结MN，若四边形BMNC的面积为3，求•的最大值．
20．（16分）（2014春•南京期末）在数列{a n}中，S n为其前n项和．已知4a n=1+2S n（n∈N*）．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a1•a4•a7…a3n﹣2＞a78恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在等差数列{b n}，使得对任意的n∈N*，都有b1•a n+b2•a n﹣1+b3•a n﹣2+…+b n﹣1•a2+b n•a1=2n ﹣﹣1？若存在，试求出{b n}的通项公式；若不存在，请说明理由．
2013-2014学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．（5分）（2014春•南京期末）已知tanα=2，求值tan（α+）=﹣3．
考点：两角和与差的正切函数．
专题：三角函数的求值．
分析：由条件利用两角和的正切公式计算求得结果．
解答：
解：∵tanα=2，∴tan（α+）===﹣3，
故答案为：﹣3．
点评：本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．
2．（5分）（2014春•南京期末）不等式＜0的解集是（0，1）．
考点：其他不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用．
分析：
将不等式＜0等价转化为不等式组①，或②，分别解之，最后取
并集即可．
解答：
解：∵＜0，
∴①，或②，
解①，x∈∅；
解②，得0＜x＜1，
综上所述，不等式＜0的解集是（0，1）．
故答案为：（0，1）．
点评：
本题考查分式不等式的解法，将已知不等式等价转化为相应的不等式组①，或
②是关键，考查运算能力，属于中档题．
3．（5分）（2014春•南京期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则二面角D1﹣AB﹣D的大小为45°．
考点：与二面角有关的立体几何综合题．
专题：综合题．
分析：先确定∠D1AD是二面角D1﹣AB﹣D的平面角，即可求得结论．
解答：解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥面A1B1C1D1，
∴∠D1AD是二面角D1﹣AB﹣D的平面角
∵∠D1AD=45°
∴二面角D1﹣AB﹣D的大小为45°
故答案为：45°
点评：本题考查面面角，解题的关键是利用线面垂直确定面面角．
4．（5分）（2014•大连学业考试）sinx+cosx的最大值是
．
考点：三角函数的最值．
专题：计算题．
分析：利用辅角公式对原式进行化简整理，利用正弦函数的性质求得其最大值．
解答：
解：sinx+cosx=sin（x+）≤
故答案为：
点评：本题主要考查了三角函数的最值问题．属基础题．
5．（5分）（2014春•南京期末）如图，球O内切于圆柱O1O2．记球O的体积为V1，圆柱O1O2的体积为V2，则的值是．
考点：球的体积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：设出球的半径，求出球的体积，圆柱的体积，即可得到体积的比．
解答：解：设球的半径为：1，则圆柱的底面半径为1，高为2．
所以球的体积为：=，
圆柱的体积为：π×12×2=2π，
所以球体积为V1，圆柱体积为V2，则V1：V2=．
故答案为：．
点评：本题考查圆柱的体积，球的体积的求法，考查计算能力．
6．（5分）（2014春•南京期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosA+acosB=c•cosB，则角B的大小是．
考点：正弦定理．
分析：利用正弦定理把已知等式中的边化成角的正弦，利用两角和公式进行化简求得cosB的值．则B 可求得．
解答：解：∵bcosA+acosB=c•cosB，
∴sinBcosA+sinAcosB=sin（A+B）=sinC=sinCcosB，
∵sinC≠0，
∴cosB=，
∴B=．
故答案为：
点评：本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键时利用正弦定理完成边角问题的转化．
7．（5分）（2014春•南京期末）圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高是2．
考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
专题：空间位置关系与距离．
分析：利用扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解得到圆锥的底面半径，然后利用勾股定理确定圆锥的高即可．
解答：解：设此圆锥的底面半径为r，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，
2πr=，
r=1；
圆锥的高为：=2．
故答案为：2．
点评：主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
8．（5分）（2014春•南京期末）若不等式x2﹣ax+4≥0对任意的x∈（0，3）都成立，则实数a的取值范围是a≤4．
考点：一元二次不等式的解法．
专题：计算题；不等式的解法及应用．
分析：
x2﹣ax+4≥0对任意的x∈（0，3）都成立，等价于a≤x+，在（0，3）上恒成立，转化为求x
的最小值即可．
解答：
解：x2﹣ax+4≥0即a≤x+，
∴x2﹣ax+4≥0对任意的x∈（0，3）都成立，即a≤x+，在（0，3）上恒成立，
x+=4，当且仅当x=2时取等号，
∴a≤4．
故答案为：a≤4．
点评：该题考查二次不等式的求解、函数恒成立，考查转化思想，分离参数化为函数的最值是解决恒成立问题的常用方法．
9．（5分）（2014春•南京期末）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，S2m﹣1=58，则m=15．
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：
由已知条件求出a m=0或a m=2．S2m﹣1==（2m﹣1）a m=58，由此能求出m=15．
解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，
∴2a m﹣a m2=0，解得a m=0或a m=2．
S2m﹣1==（2m﹣1）a m=58
∴a m=0不满足条件
把a m=2代入得m=15．
故答案为：15．
点评：本题考查等差数列中项数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．
10．（5分）（2014春•南京期末）关于直线m，n与平面α，β有以下四个命题：
①若m⊂α，n⊂β，则m，n是异面直线；
②若m⊂α，α∥β，则m∥β；
③若m∥α，n⊂β，α∥β，则m∥n；
④若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β．
其中正确的命题的序号是②．（写出所有正确命题的序号）
考点：空间中直线与直线之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断．
解答：解：若m⊂α，n⊂β，则m，n直交、平行或异面，故①不正确；
若m⊂α，α∥β，则由直线与平面平行的判定定理知m∥β，故②正确；
若m∥α，n⊂β，α∥β，则m与n平行或异面，故③不正确；
若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n与β或n⊂β，故④不正确．
故答案为：②．
点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．（5分）（2014春•南京期末）若cos（α+）=，则sin（2α﹣）的值是﹣．
考点：二倍角的正弦．
专题：三角函数的求值．
分析：
由cos（α+）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin2（α+）的值，利用二倍角的余弦函数公式求出cos（2α+）的值，原式中角度变形后利用由公式化简即可求出值．
解答：
解：∵cos（α+）=，
∴sin2（α+）=1﹣=，
∴cos（2α+）=cos2（α+）﹣sin2（α+）=，
则sin（2α﹣）=sin（2α+﹣）=﹣cos（2α+）=﹣．
故答案为：﹣
点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
12．（5分）（2014春•南京期末）将全体正整数排成如图所示的一个三角形数阵．记第i行第j列（i，j 为正整数）位置上的数为a ij，如a35=5，a41=7，那么a95=41．
考点：归纳推理．
专题：规律型．
分析：先找到数的分布规律，求出第n﹣1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n行从左向右的第5个数，代入n=9可得．
解答：
解：由排列的规律可得，第n﹣1行结束的时候共排了1+2+3+…+（n﹣1）=个数，∴第n行从左向右的第5个数为+5=，
把n=9代入可得第9行从左向右的第5个数，即a95=41，
故答案为：41
点评：本题借助于一个三角形数阵考查等差数列的应用，属基础题．
13．（5分）（2014春•南京期末）若满足∠ABC=，AC=1，BC=t的△ABC恰有一个，则实数t的取值范围是（0，1]∪{}．
考点：正弦定理．
专题：解三角形．
分析：先通过正弦定理用sinA表示出t，进而根据已知条件推断出A的范围，则t的范围可得．
解答：
解：由正弦定理知=，
∴sinA=•BC=t，
若△ABC恰有一个，则需要三角形为直角三角形或为钝角三角形，若C为钝角或直角，
则＜A+≤，0＜A≤，
t=sinA，
0＜则t≤1
若A为直角即A=，
t=sinA，t=，
故答案为：（0，1]∪{}．
点评：本题主要考查了正弦定理的运用．解题的过程中对另外两个角综合考虑．
14．（5分）（2014春•南京期末）已知a＞0，b＞0，+=1，则a+b的最小值是．
考点：基本不等式．
专题：计算题；不等式的解法及应用．
分析：
由+=1，得2a=1+﹣b，则2a+2b=1++b，利用基本不等式即可求得．
解答：
解：由+=1，得2a=1+﹣b，
∴2a+2b=1++b=3，当且仅当b=1时取等号，
∴a+b，即a+b的最小值为，
故答案为：．
点评：该题考查利用基本不等式求函数的最值，属基础题，注意适用条件：一正、二定、三相等．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（14分）（2014春•南京期末）已知cos2θ﹣sin2θ=，θ∈（0，）．
（1）求θ的值；
（2）若sinx=，x∈（，π），求cos（x+θ）的值．
考点：二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．
专题：三角函数的求值．
分析：（1）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值即可求出θ的度数；
（2）由sinx的值，以及x的范围，利用同角三角函数间基本关系求出cosx的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
解答：
解：（1）∵cos2θ﹣sin2θ=cos2θ=＞0，θ∈（0，），即2θ∈（0，），
∴2θ=，即θ=；
（2）∵sinx=，x∈（，π），
∴cosx=﹣=﹣，
则cos（x+θ）=cosxcosθ﹣sinxsinθ=﹣×﹣×=﹣．
点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
16．（14分）（2014春•南京期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，E为PC的中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）若AB⊥平面PAD，AD⊥PB，求证：PA⊥平面ABCD．
考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）取PD中点F，连结EF，AF，由已知条件推导出四边形ABEF是平行四边形，由此能证明BE∥平面PAD．
（2）由线面垂直得AB⊥PA，AB⊥AD，再由AD⊥PB，得AD⊥平面PAB，进而得到
AD⊥PA，由此能证明PA⊥平面ABCD．
解答：（1）证明：取PD中点F，连结EF，AF，
∵在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，E为PC的中点，
∴EF DC，∴EF AB，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴AF∥BE，
又AF⊂平面PAD，BE不包含平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（2）证明：∵AB⊥平面PAD，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴AB⊥PA，AB⊥AD，
∵AD⊥PB，又PB∩AB=B，
∴AD⊥平面PAB，
∵PA⊂平面PAB，∴AD⊥PA，
∵AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD．
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
17．（14分）（2014春•南京期末）已知等差数列{a n}中，a3=2，3a2+2a7=0，其前n项和为S n．
（1）求等差数列{a n}的通项公式；
（2）令b n=||，求数列{b n}的前n项和T n．
考点：数列的求和；等差数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）由已知条件利用等差数列通项公式求出首项和公差，由此能求出等差数列{a n}的通项公式．
（2）S n=7n﹣n2，=7﹣n，设数列{}的前n项和为M n，当n≤7时，T n=M n；当n＞7时，
T n=﹣M n+2M7，由此能求出结果．
解答：解：（1）∵等差数列{a n}中，a3=2，3a2+2a7=0，
∴，
解得a1=6，d=﹣2，
∴a n=6+（n﹣1）×（﹣2）=8﹣2n．
（2）∵a1=6，d=﹣2，
∴S n=6n+=7n﹣n2，
∴=7﹣n，
∴{}是首项为6，公差为﹣1的等差数列，
设数列{}的前n项和为M n，
则M n=6n+=﹣，
当n≤7时，
T n=M n=6n+=﹣，n≤7．
当n＞7时，T n=﹣M n+2M7=，n＞7．
∴T n=．
点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．
18．（16分）（2014春•南京期末）某厂以x千克/小时的速度匀速生产一种产品（生产条件要求1≤x≤5），每小时可获得的利润是100（8x+1﹣）元．
（1）要使生产该产品每小时获得的利润不低于1600元，求x的取值范围；
（2）要使生产1000千克该产品获得的利润最大，问该厂应怎样选取生产速度？并求此最大利润．
考点：函数模型的选择与应用．
专题：应用题；函数的性质及应用．
分析：（1）求出生产该产品1小时获得的利润，建立不等式，然后解一元二次不等式即可求x的取值范围；
（2）确定生产1000千克该产品获得的利润函数，利用配方法，从而可求出最大利润．
解答：
解：（1）根据题意，100（8x+1﹣）≥1600，即8x2﹣15x﹣2≥0
∴x≥2或x≤﹣，
∵1≤x≤5，∴2≤x≤5，
即x的取值范围是2≤x≤5；
（2）设生产1000千克该产品获得的利润为y元，则
y=100（8x+1﹣）×
=10000[﹣3（﹣）2+]，
∵1≤x≤5，
∴x=4时，取得最大利润为812500元，
故该厂应以4千克/小时的速度生产，可获得最大利润为812500元．
点评：本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值，确定函数的模型是关键．属于中档题．
19．（16分）（2014春•南京期末）如图，在△ABC中，AB=4，AC=1，∠BAC=60°．
（1）求BC的长和sin∠ACB的值；
（2）延长AB到M，延长AC到N，连结MN，若四边形BMNC的面积为3，求•的最大值．
考点：平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理．
专题：平面向量及应用．
分析：对第（1）问，已知两边和这两边的夹角，考虑用余弦定理，再用正弦定理求sin∠ACB的值；
对第（2）问，利用三角形面积公式“”，将四边形BMNC的面积转化为△AMN的面积与△ABC的面积之差，从而建立方程，得到及的值，将用，表示，再探求其最大值．
解答：解：（1）由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC
=42+12﹣2×4×1×cos60°=13，
∴BC=．
∵，∴由正弦定理得，
即，得．
（2）S四边形BMNC=S△AMN﹣S△ABC=，
将，，∠BAC=60°代入上式，得，
于是=．
又==4×1×cos60°=2，
∴=
=≤10﹣，即≤2，
当且仅当，即时，联立，得时，•=2，
∴•的最大值为2．
点评：1．本题考查了正、余弦定理，已知两边及其中一边的对角，或已知两角及任意一边，可使用正弦定理；已知两边及这两边的夹角，或已知三边，可用余弦定理．
2．向量的数量积运算在本题中运用较为灵活，可用于求模，求夹角，还可以通过模或角与三角形面积公式联系．
3．运用基本不等式求解最值问题时，应注意“一正，二定，三相等”，尤其是取“=”号的条件．
20．（16分）（2014春•南京期末）在数列{a n}中，S n为其前n项和．已知4a n=1+2S n（n∈N*）．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a1•a4•a7…a3n﹣2＞a78恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在等差数列{b n}，使得对任意的n∈N*，都有b1•a n+b2•a n﹣1+b3•a n﹣2+…+b n﹣1•a2+b n•a1=2n ﹣﹣1？若存在，试求出{b n}的通项公式；若不存在，请说明理由．
考点：数列的求和；数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：
（1）由已知条件得4a n﹣1=2a n．又4a1=1+2a1，解得a1=，可求得数列{a n}的通项公式；
（2）由题意，a1•a4•a7•…•a3n﹣2＞a78恒成立，等价于＞276，可求得结果；
（3）假设存在，利用错位相减法，即可求得结果．
解答：解：（1）∵4a n=1+2S n（n∈N*），
∴4a n﹣1=2a n．∴=2，
又4a1=1+2a1，解得a1=，
∴=2n﹣2．
（2）由（1）知，a1•a4•a7•…•a3n﹣2=×22×25×…×23n﹣4=，
a78=276，
∴a1•a4•a7•…•a3n﹣2＞a78恒成立，等价于＞276，
∴，解得n＜﹣或n＞8，
故存在最小值为8的M，使得a1•a4•a7•…•a3n﹣2＞a78恒成立．
（3）设存在数列{b n}是等差数列，其通项为b n=kn+b，则
∵b1•a n+b2•a n﹣1+b3•a n﹣2+…+b n﹣1•a2+b n•a1=2n﹣﹣1，
∴b1•2n﹣1+b2•2n﹣2+…+2b n﹣1+，
两式相减可得b1•2n﹣1+k（2n﹣2+2n﹣3+…+1）﹣b n=，
∴（k+）﹣2n﹣﹣（k+）=
∴，
∴k=1，b=0
∴b n=n，
即存在数列{b n}是等差数列，其通项为b n=n，
对任意n∈N*，都有b1•a n+b2•a n﹣1+b3•a n﹣2+…+b n﹣1•a2+b n•a1=2n﹣﹣1．
点评：本题为等差、等比数列与不等式的综合应用，考查错位相减法的运用，考查分类讨论的数学思想，属中档题．
参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；wfy814；刘长柏；zhwsd；wsj1012；qiss；wyz123；zlzhan；sllwyn；翔宇老师；尹伟云（排名不分先后）
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2015年6月8日。