(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第一单元《直角三角形的边角关系》测试题(包含答案解析)(2)

一、选择题
1．如图，在Rt ABC ∆中，90,3,2C BC AB ∠=︒==，则B 等于（ ）
A ．15︒
B ．20︒
C ．30
D ．60︒
2．如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，//DE AC 交AB 于点E ，//DF AB 交AC 于点F ，且AD 交EF 于点O ，若8AF EF ==，则sin DAC ∠的值为（ ）
A ．13
B ．3
C ．12
D ．2 3．如图，在菱形ABCD 中，过点C 作C
E BC ⊥交对角线BD 于点E ，且DE CE =，若3AB =，则DE 等于（ ）
A ．1
B 3
C ．12
D 34．在Rt ABC 中，90,2,6C AC AB ∠=︒==，则下列结论正确的是（ ） A ．1sin 3A = B ．2cos 4B = C ．tan 22A =D ．22tan B = 5．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB ，AD 为△ABC 的角平分线，C
E 是△ABC 的中线，AD 、CE 相交于点
F ，则EF CD
的值为（ ）
A ．22
B ．32
C ．2
D ．2
6．如图，CD 是Rt ABC 斜边上的高，43AC BC ==，．则tan BCD ∠的值是（ ）
A ．34
B ．
35 C ．45 D ．43
7．在ABC 中，90,13,12C AB BC ∠=︒==，则sin B 的值为（ ） A ．1213 B ．512 C ．513 D ．135
8．如图，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使得BD=2DC ，连接AC ，如果5tanB 3
=，则tan CAD ∠的值是（ ）
A ．33
B ．3
C ．13
D ．15
9．如图，△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，则sin B 的值为（ ）
A ．58
B ．45
C ．35
D ．12
10．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、O 都在格点上，则AOB ∠的
正弦值是（ ）
A ．31010
B ．22
C ．1010
D ．110
11．tan60︒的值为( )
A ．33
B ．23
C ．3
D ．2
12．如图，菱形ABCD 的边长是2，∠B=120°，P 是对角线AC 上一个动点，E 是CD 的中点，则PE ＋PD 的最小值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．5
二、填空题
13．如图，矩形ABCD 中，AE ＝
13
AD ，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于F 点，若CF ＝FD ＝3，则BC 的长为_____．
14．正三角形的边长为2，则它的边心距为_____．
15．如图，在平面直角坐标系中，点B 在第一象限，BA x ⊥轴于点A ，反比例函数()0k y x x
=>的图象与线段AB 相交于点C ，且C 是线段AB 的中点，点C 关于直线y x =的对称点'C 的坐标为()()1,1n n ≠，若OAB 的面积为4．则下列结论：①2n =；②4k =；③不等式k x x <的解集是2x >；④tan 2ABO ，其中正确结论的序号是
________．
16．如图，将矩形纸片ABCD 沿过点C 的直线折叠，使得点B 落在矩形内点B '处，折痕为CE ．
（1）点B '恰好为AC 中点时，AE BE 的值为______． （2）点B '在AC 上且D 、B '、E 在同一条直线上时，
AE BE 的值为______． 17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ，若AC ＝6，tanB ＝34
，则CE =_____．
18．计算：()2
01232cos 4520212π-⎛⎫------ ⎪⎝⎭=__________ 19．在平面直角坐标系中，等边ABO 如图放置，其中()2,0B ，则过点A 的反比例函数的表达式为________．
20．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，2AB =，点E 为AC 上任意一点（不与点A 、C 重合），连结EB ，分别过点A 、B 作BE 、AE 的平行线交于点F ，则EF 的最小值为__________．
三、解答题
21．小红要外出参加一项庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图1，图2分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆DE ，箱长BC ，拉杆AB 的长度都相等，B ，F 在AC 上，C 在DE 上，支杆30cm DF =，:1:3CE CD =，2sin 2DCF ∠=，3cos 2
CDF ∠=，求AC 的长度（结果保留根号）．
22．计算或解方程
（1）计算：①0
318312sin 604⎛⎫-+--︒+ ⎪⎝⎭ ②()()()
2313232---+ （2）解方程22310x x --=
23．计算：12+（12）-1﹣2cos30°﹣313
． 24．如图，广场上空有一个气球A ，地面上点B 、C 在一条直线上，BC =24m ．在点B 、C 分别测得气球A 的仰角为30°和60°，求气球A 离地面的高度．
25．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD ，小李在距离大楼底部15米的山坡坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60°，沿坡面AB 向上走10米到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度3i =
求：（1）点B 距水平面AE 的高度BH
（2）广告牌CD 的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈
26．桃园大桥是随州城区第二座景观桥，远远望去，桥身的红色立柱像四根大火炬．如图，小刚利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度MN .在桥面观测点A 处测得某根立柱顶端M 的仰角为30,︒测得这根立柱与水面交汇点N 的俯角为15,︒向立柱方向走40米到达观测点B 处，测得同一根立柱顶端M 的仰角为60︒.已知点,,,,A B C M N 在同一平面内，桥面与水面平行，且MN 垂直于桥面．
（1）求大桥立柱在桥面以上的高度MC （结果保留根号）；
（2）求大桥立柱在水面以上的高度MN （结果精确到1米）．
参考数据：sin150.26,cos150.96,tan150.27︒≈︒≈︒≈3 1.73≈
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
由锐角三角函数余弦的定义即可得出∠B=30°．
【详解】
解：∵∠C=90°，，AB=2，
∴cos 2
BC B AB =
=， ∴∠B=30°，
故选：C ．
【点睛】 此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
先证明四边形AEDF 是平行四边形，在根据题意得到四边形AEDF 是菱形，即可得到结果；
【详解】
由题意：//DE AC ，//DF AB ，
即//DE AF ，//DF EA ，
∴四边形AEDF 是平行四边形，
又∵AD 平分BAC ∠，
∴BAD CAD ∠=∠，
∵//AE DF ，
∴BAD ADF ∠=∠，
∴DAF FDA ∠=∠，
∴FA FD =，
∴四边形AEDF 是菱形，
∴EF AD ⊥，且O 为EF 的中点，8EF =，
∴4OF =，
∴在Rt △OAF 中，41sin 82OF DAF AF ∠=
==； ∴1sin 2
DAC ∠=
； 故答案选C ．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定与性质，结合三角函数计算是解题的关键． 3．A
解析：A
【分析】
由题意，根据菱形的性质和等腰三角形，以及三角形的内角和定理，求出30CBD ∠=︒，然后由特殊角的三角函数值，即可求出答案．
【详解】
解：由题意，
在菱形ABCD 中，有
∴CBD CDB ∠=∠，
∵DE CE =，
∴ECD CDB ∠=∠，
∴22BEC ECD CDB CDB CBD ∠=∠+∠=∠=∠，
∵CE BC ⊥，即90BCE ∠=︒，
∴90CBD BEC ∠+∠=︒，
∴390CBD ∠=︒，
∴30CBD ∠=︒，
在Rt △BCE 中，有
tan tan 30CE CBD BC ∠=︒=
，
∴
=， ∴1CE =．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，菱形的性质和等腰三角形，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出30CBD ∠=︒．
4．C
解析：C
【分析】
根据勾股定理求出BC =
【详解】
∵在Rt ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，6AB =， ∴
BC =
∴sin BC A AB ===，故A 错误；
cos sin 3B A ==
，故B 错误；
tan 2
===BC A AC C 正确；
tan
===AC B BC ，故D 错误； 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形，结合勾股定理进行计算是解题的关键．
5．A
解析：A
【分析】
过D 作DM AB ⊥于,M 先证明,CD MD BM ==设,CD MD BM m ===再用含m 的代数式表示,,AE AM 再证明,AEF AMD ∽ 利用相似三角形的性质可得
EF DM
的值，从而可得答案．
【详解】
解：过D 作DM AB ⊥于,M
∠ACB=90°，AD 为△ABC 的角平分线，
,CD MD ∴=
CE 是△ABC 的中线，,CA CB = 90ACB ∠=︒，
,CE AB ∴⊥ ,CE BE AE == 45B A ∠=∠=︒，
45MDB B ∴∠=∠=︒，
,DM BM ∴=
,CD MD BM ∴==
设,CD MD BM m ===
,BD ∴==
(
1,BC CD BD m m AC ∴=+===
(
2,AB m ∴===+ ((
21,AM AB BM m m m ∴=-=+-= cos ,BE B BC =
2∴
,BE m AE ∴==
,,CE AB DM AB ⊥⊥
//,FE DM ∴
,AEF AMD ∴∽
()
21222212m EF AE DM AM m +∴===+ 22
EF CD ∴= 故选：.A
【点睛】
本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
6．A
解析：A
【分析】
易证∠BCD=∠A ，则求tan ∠BCD 的值就可以转化为求tan ∠A ，而tan ∠A 可由△ABC 边长比求得，所以得解．
【详解】
解：由勾股定理得，2222435AC BC ++=， ∵∠BCD+∠ACD=∠A+∠ACD=90°， ∴∠BCD=∠A ，
∴tan ∠BCD=tan ∠A=
34
BC AC =， 故选：A ．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的综合应用，熟练掌握勾股定理的应用、锐角三角函数的定义及余角的性质和直角三角形的性质是解题关键． 7．C
解析：C
【分析】
先根据勾股定理求得AC ，再根据正弦的定义求解即可；
【详解】
∵在ABC 中，90C ∠=︒，13AB =,12BC =， ∴2213125AC =-=， ∴5sin 13
AC B AB ==； 故答案选C ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理与解直角三角形，准确理解计算是解题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，由5tanB 3=，即53
AD AB =，设AD ＝5x ，则AB ＝3x ，利用相似三角形的判定可证△CDE ∽△BDA ，由相似三角形的性质可得：
12
CE DE CD AB AD BD ===，进而可得CE ＝32x ，DE ＝52x ，从而可求得tan ∠CAD 的值． 【详解】
解：如图，延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，
∵5tanB 3=
，即53
AD AB =， ∴设AD ＝5x ，则AB ＝3x ， ∵∠CDE ＝∠BDA ，∠CED ＝∠BAD ，
∴△CDE ∽△BDA ， ∴12CE DE CD AB AD BD ===， ∴CE ＝32x ，DE ＝52
x ， ∴AE ＝152x ， ∴tan ∠CAD ＝
15
CE AE =． 故选：D ．
【点睛】 本题考查了锐角三角函数的定义、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD 放在直角三角形中．
9．C
解析：C
【分析】
过A 点作AD BC ⊥交BC 于点D ，利用等腰三角形的三线合一求出BD ，利用勾股定理求出AD 即可解决问题．
【详解】
过A 点作AD BC ⊥交BC 于点D ，如图
∵5AB AC ==，8BC =，
∴4BD CD ==，
∴2222543AD AB BD =
--=， ∴3sin 5
AD B AB ==． 故选：C ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
10．C
解析：C
【分析】
利用勾股定理求出AB 、AO 、BO 的长，再由S △ABO =
12AB•h=12AO•BO•sin ∠AOB 可得答案．
【详解】
解：由题意可知，AB=2，==
∵S △ABO =
12AB•h=12AO•BO•sin ∠AOB ， ∴1
2×2×2=12×sin ∠AOB ，
∴sin ∠ 故选：C ．
【点睛】 本题考查了解直角三角形，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
11．C
解析：C
【分析】
根据特殊角的三角函数值解答即可.
【详解】
tan60°，
故选C.
【点睛】
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
12．B
解析：B
【详解】
∵四边形ABCD 是菱形，∴点B 与点D 关于直线AC 对称.
如图，连接BE 与AC 相交于点P ，由轴对称确定最短路线问题，BE 的长度即为PE+PD 的最小值，连接BD.
∵∠B=120°，∴∠BCD=180°−120°=60°.
又∵BC=CD ，∴△BCD 是等边三角形.
∵E 是CD 的中点，
sin 602BE BC =⋅== . 故选B.
二、填空题
13．6【分析】延长BF 交AD 的延长线于点H 证明△BCF ≌△HDF （AAS ）由全等三角形的性质得出BC ＝DH 由折叠的性质得出∠A ＝∠BGE ＝90°AE ＝EG 设AE ＝EG ＝x 则AD ＝BC ＝DH ＝3x 得出EH
解析：
66
【分析】
延长BF 交AD 的延长线于点H ，证明△BCF ≌△HDF （AAS ），由全等三角形的性质得出BC ＝DH ，由折叠的性质得出∠A ＝∠BGE ＝90°，AE ＝EG ，设AE ＝EG ＝x ，则AD ＝BC ＝DH ＝3x ，得出EH ＝5x ，由锐角三角函数的定义及勾股定理可得出答案．
【详解】
解：延长BF 交AD 的延长线于点H ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∠A ＝∠BCF ＝90°，
∴∠H ＝∠CBF ，
在△BCF 和△HDF 中，
CBF H BCF FDH CF DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BCF ≌△HDF （AAS ），
∴BC ＝DH ，
∵将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，
∴∠A ＝∠BGE ＝90°，AE ＝EG ，
∴∠EGH ＝90°，
∵AE ＝13
AD ， ∴设AE ＝EG ＝x ，则AD ＝BC ＝DH ＝3x ，
∴ED ＝2x ，
∴EH ＝ED +DH ＝5x ，
在Rt △EGH 中，sin ∠H ＝
155EG x EH x ==， ∴sin ∠CBF ＝
15CF BF =， ∴315
BF =， ∴BF ＝15，
∴BC
=
故答案为：
【点睛】
本题考查了折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定及性质，要注意折叠的图形中的相等的角和相等的线段，解题关键是利用倍长中线法正确作出辅助线证△BCF ≌△HDF ． 14．【分析】如图连接OBOC ；求出∠BOC ＝120°进而求出∠BOD ＝60°运用三角函数即可解决问题【详解】解：如图△ABC 为正三角形点O 为其中心；作OD ⊥BC 于点D ；连接OBOC ；∵OA ＝OC ∠BOC
解析：3
【分析】
如图，连接OB 、OC ；求出∠BOC ＝120°，进而求出∠BOD ＝60°，运用三角函数即可解决问题．
【详解】
解：如图，△ABC 为正三角形，点O 为其中心；
作OD ⊥BC 于点D ；连接OB 、OC ；
∵OA ＝OC ，∠BOC ＝120°，
∴BD ＝12BC ＝1，∠BOD ＝12
∠BOC ＝60°， ∴tan ∠BOD ＝
BD OD ，
∴OD ，
即边长为2
．
【点睛】
本题考查了正三角形的性质、三角函数、边心距的计算；熟练掌握正三角形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合的思想求解是解答本题的关键；
15．②④【分析】根据对称性求出C 点坐标进而得OA 与AB 的长度再根据已知三角形的面积列出n 的方程求得n 进而用待定系数法求得k 再利用相关性质即可判断【详解】解：∵点C 关于直线y=x 的对称点C 的坐标为（1n ） 解析：②④
【分析】
根据对称性求出C 点坐标，进而得OA 与AB 的长度，再根据已知三角形的面积列出n 的方程求得n ，进而用待定系数法求得k ，再利用相关性质即可判断．
【详解】
解：∵点C 关于直线y=x 的对称点C'的坐标为（1，n ）（n≠1），
∴C （n ，1），
∴OA=n ，AC=1，
∴AB=2AC=2，
∵△OAB 的面积为4， ∴1
2n×2=4， 解得，n=4，故①不正确；
∴C （4，1），B （4，1），
∴k=4×1=4，故②正确；
解方程组4y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩
，得：22x y =⎧⎨=⎩(负值已舍)， ∴直线y=x 反比例函数(0)k y x x
=>的图象的交点为（2，2），
观察图象，不等式k x x
<
的解集是02x <<，故③不正确； ∵B （4，1），
∴OA=4，AB=2， ∴tan ABO 2OA AB
∠=
=，故④正确； 故答案为：②④．
【点睛】 本题是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，对称性质，正切函数等，关键是根据对称求得C 点坐标及由三角形的面积列出方程．
16．【分析】（1）根据三角形的面积推出边的比即可得到结果；（2）根据余弦的定义和勾股定理即可得到结果；【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形∴∠B=90°当点恰好为中点时则设则由题知：∴∴∵△ABC 和△E
【分析】
（1）根据三角形的面积推出边的比即可得到结果；
（2）根据余弦的定义和勾股定理即可得到结果；
【详解】
（1）∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B=90°，
当点B '恰好为AC 中点时，2AC BC =
，则AB =
， 设BC x =，则2AC x =
，=
AB ，
由题知：EB AC '⊥，
∴△△△AEB B CE EBC S S S ''==，
∴△△2AEC EBC S S =，
∵△ABC 和△EBC 的高都是BC ，
设BC x =， ∴△△2AEC EBC
S AE BE S ==； 故答案是2．
（2）点B '在AC 上且D 、B '、E 在同一条直线上时，
设AB a ，BC b =，BE x =，
∵B E AC '⊥，
∴B D AC '⊥， ∴cos CD B C ACD AC CD
'∠==，
∴
a b
=，
4422a b a b =+，可得到：22b a =，
∴)()2
22b x a x -+=-，
∴22222222a b b x a ax x +-++=-+，
∴2222ax b =-，
∴)
2221ax a =--，
)
221ax a =--，
22222ax a a =-
+，
解得：x =，
∴AE a a a =-
=，
∴12
AE BE +=；
． 【点睛】
本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，结合余弦的定义计算是解题的关键．
17．3【分析】证明∠CEF=∠CFE 得到CE=CF 过点F 作FH ⊥AB 于H 根据角平分线的性质得到FC=FH 设FH=x 根据tanB ＝求出BC=8根据勾股定理求出FB=得到解之即可得到答案【详解】证明：∵在R
解析：3
【分析】
证明∠CEF=∠CFE 得到CE=CF ，过点F 作FH ⊥AB 于H ，根据角平分线的性质得到FC=FH ，设FH=x ，根据tanB ＝
34求出BC=8，43BH x =，根据勾股定理求出
53x =
， 得到583
x x =-，解之即可得到答案． 【详解】
证明：∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，
∴∠CDB=∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B ，
∵AF 平分∠CAB ，
∴∠CAE=∠BAF ，
∴∠ACD+∠CAE=∠B+∠BAF ，
∵∠CEF=∠ACD+∠CAE ，∠CFE=∠B+∠BAF ，
∴∠CEF=∠CFE
∴CE=CF ，
过点F 作FH ⊥AB 于H ，
∵AF 平分∠CAB ，FC ⊥AC ，FH ⊥AB ，
∴FC=FH ，
设FH=x ，
在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，tanB ＝34， ∴BC=8，
∴FC=x ，FB=8-x ，
∵3tan 4FH B BH =
=， ∴43
BH x =， ∴FB=2253
FH BH x +=， ∴
583
x x =-， 解得x=3，
∴CE=FC=FH=3，
故答案为：3． ．
【点睛】
此题考查角平分线的性质，等角对等边的判定，勾股定理，利用锐角三角函数求边长，题中证得CE=FC 并引出辅助线解决问题是解题的关键．
18．0【分析】直接利用负整数指数幂绝对值的性质特殊角的三角函数值及零指数幂分别化简得出答案【详解】解：原式=4-(3-)--1=4-3+--1=0故答案为0【点
睛】本题主要考查了实数运算正确化简各数是解
解析：0
【分析】
直接利用负整数指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值及零指数幂，分别化简得出答案．
【详解】
解：原式-1=0，
故答案为0．
【点睛】
本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题的关键．
19．y ＝【分析】过点A 作AC ⊥OB 于C 设过点A 的反比例函数的表达式为y ＝根据等边三角形的性质得到OA ＝OB=2∠AOC ＝60°利用三角函数求出OCAC 得到点A 的坐标代入函数解析式即可【详解】解：过点A 作
解析：y 【分析】
过点A 作AC ⊥OB 于C ，设过点A 的反比例函数的表达式为y ＝k x
，根据等边三角形的性质得到OA ＝OB=2，∠AOC ＝60°，利用三角函数求出OC 、AC ，得到点A 的坐标，代入函数解析式即可．
【详解】
解：过点A 作AC ⊥OB 于C ，
设过点A 的反比例函数的表达式为y ＝
k x ， ∵△OAB 是等边三角形，()2,0B ，
∴OA ＝OB=2，∠AOC ＝60°，
∴OC ＝OA ×cos ∠AOC ＝2×1
2＝1，AC ＝OA ×sin ∠AOC ＝2×2 ∴点A 的坐标为（1），
∴
1
k
，
解得，k ，
∴过点A 的反比例函数的表达式为y ＝x
，
故答案为：y ＝x ．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、锐角三角函数、待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是利用锐角三角函数求出OC、AC的长．20．【分析】由题意过点B作BH⊥AC于H先解直角三角形求出BH再根据垂线段最短进行分析即可求解【详解】解：如图过点B作BH⊥AC于H在
Rt△ABC中∵∠ABC=90°AB=2∠C=30°∴AC=2AB=
解析：3
【分析】
由题意过点B作BH⊥AC于H，先解直角三角形求出BH，再根据垂线段最短进行分析即可求解．
【详解】
解：如图，过点B作BH⊥AC于H，
在Rt△ABC中，
∵∠ABC=90°，AB=2，∠C=30°，
∴AC=2AB=4，3
∵∠BHC=90°，
∴BH=1
3，
2
∵BF//AC，
∵当EF⊥AC时，EF的值最小，最小值3
3
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用和平行线的性质以及垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题
21．AC的长度为（403
cm
过F 作FG ⊥DE 于G ，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解 过点F 作FG ⊥CD 于G ，
∵在Rt DFG 中，3cos 2CDF DG DF ∠==， ∴∠FDG ＝30°，DG ＝
3153DF =（cm ）， ∴FG ＝11301522
DF =⨯=（cm ）， ∵在Rt CFG 中，2sin 2
DCF ∠=
， ∴∠FCG ＝45°，
∴CG ＝FG ＝15cm ，
∴CD ＝15+153（cm ），
∵CE ：CD ＝1：3， ∴EC ＝15533CD =+ （cm ），
∴DE ＝15+153553
++
＝20203+（cm ），
∴AC ＝2 DE ＝40403+（cm ），
答：AC 的长度为（40403+）cm ．
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．
22．（1）①-2；②323-；（2）13174x +=
，23174
x = 【分析】
（1）①利用立方根，绝对值，特殊值的三角函数，零指数幂的法则计算即可；②利用完全平方公式，平方差公式计算即可；
（2）利用公式法解方程即可．
解：（1）0
112sin 604⎛⎫-︒+ ⎪⎝⎭
2121-+-+=
211=-+
2=-
②)21- ()
3132=---
41=-
3=-（2） ∵2a =，3b =- ，1c =-
则 ()()2
3421170∆=--⨯⨯-=>
∴x =
即 1x =2x =． 【点睛】
本题考查了立方根，绝对值，特殊值的三角函数，零指数幂，完全平方公式，平方差公式和公式法解一元二次方程，熟悉相关性质是解题的关键．
23．2
【分析】
分别根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂及算术平方根的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则．
【详解】
+（12）-1﹣2cos30°﹣
=23--
==2．
【点睛】
本题考查的是实数的运算，熟记负整数指数幂、算术的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
24．气球A 离地面的高度为．
作AD ⊥l ，设AD=x ，Rt △ABD 中求得3tan 30AD BD x ︒==，再由tan 603324
x ︒=
=-求出x 即可得． 【详解】 如图，过点A 作AD ⊥l ，
设AD =xm ，
则3BD x =， ∴60tan ︒=324
x -3= ∴3AD x ==
∴气球A 离地面的高度为123．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角是向上看的视线与水平线的夹角、俯角是向下看的视线与水平线的夹角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 25．（1）5米；（2）2.7米
【分析】
（1）根据题意得3tan 33BAH i ∠==
=，进而可得∠BAH=30°，然后根据三角函数可求解；
（2）由（1）及三角函数可得53AH =153DE =米，过点B 作BF CE ⊥于F ，进而可得()5315CF BF ==米，()
1535DF =米，然后问题可求解．
【详解】 解：（1）由题意得：AB=10米，山坡AB 的坡度3i =
在Rt ABH 中， 3tan 33
BAH i ∠===， 30BAH ∴∠=︒，
1sin 10sin 301052
BH AB BAH ∴=⋅∠=⨯︒=⨯=（米）；
（2）由（1）可得：
在Rt ABH 中，3cos 10cos301053AH AB BAH =⋅∠=⨯︒=⨯
=（米）， 在Rt AED △中，由∠DAE=60°得tan 3DE DAE AE
∠==， ∴DE AE =×tan 153153DAE ∠=⨯=（米），
如图过点B 作BF CE ⊥于F ，
则()
5315BF AH AE =+=米，
()1535DF DE EF ∴=-=米，
()5315CF BF ==米，
()5315153520103 2.7CD CF DF ∴=-=-=-≈（米）
答：广告牌CD 的高度改为2.7米．
【点睛】 本题主要考查解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
26．（1）32）51米．
【分析】
（1）由题意可得出BAM AMB ∠=∠，从而可得BM AB =，在Rt BCM ∆中求解即可得高度MC ． （2）在Rt BCM ∆中求解可得BC ，从而可得AC ，在Rt ACN 中，可求CN ，进而可得MN ．
【详解】
解：()130,60BAM CBM ∠=︒∠=︒，
30,AMB ∴∠=︒
40,BM AB ∴==
在Rt BCM ∆中，203MC BM sin CBM =⋅∠=
答：大桥立柱在桥面以上的高度MC 为203
()2在Rt BCM ∆中，1202
BC BM ==， 60,AC AB BC ∴=+=
在Rt ACN 中，600.2716.2CN AC tan CAN =⋅∠≈⨯≈
16.251MN MC NC ∴=+≈≈（米） 答：大桥立柱在水面以上的高度MN 约为51米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟记锐角三角函数的定义．。