高三数学毕业班综合测试二广州二模文试题

2021年普通高中毕业班综合测试〔二〕数 学〔文科〕
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

本套试卷一共4页，21小题， 满分是150分． 考试用时120分钟． 考前须知：
1．答卷前，所有考生必须用黑色字迹钢笔或者签字笔将本人的姓名和考生号、试室号、座位号填写上在答题卡上．需要用2B 铅笔将试卷类型〔A 〕填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项之答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或者签字笔答题，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来之答案，然后再写上新之答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求答题之答案无效．
4．答题选做题时，请先需要用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再答题．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．在在考试完毕之后以后，将试卷和答题卡一起交回． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 3
1
=
， 其中S 是锥体的底面积， h 是锥体的高． 一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，满分是50分．在每一小题给出的四个选项里面，
只有一项是哪一项符合题目要求的． 1．复数i z a b =+(),a b ∈R 的实部记作()Re z a =，那么1Re 2i ⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
A ．
23 B ．2
5
C ．1
5-
D ．13
-
2．函数y =A ，函数()ln 21y x =+的定义域为集合B ，那么A B =
A ．11,22⎛⎤-
⎥⎝⎦ B ．11,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
C ．1,2⎛
⎫-∞-
⎪⎝⎭
D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
3．向量()1,2a =，(),4x b =，假设2=b a ，那么x 的值是 A ．2 B ．4 C ．2± D ．4±
4．数列{}n a 的通项公式是()
()11n
n a n =-+，那么12310a a a a +++
+=
A ．55-
B ．5-
C ．5
D ．55 5．在区间()0,1内任取两个实数，那么这两个实数的和大于1
3
的概率为 A ．
1718 B ．79 C ．29 D ．118
6．设a ，b 为正实数，那么“a b <〞是“11
a b a b
-<-〞成立的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．()1sin cos f x x x =+，()1n f x +是()n f x 的导函数，即()()21f x f x '=，()()32f x f x '=，…，
()()1n n f x f x +'=，n ∈*N ，那么()2011f x =
A ．sin cos x x +
B ．sin cos x x -
C ．sin cos x x -+
D ．sin cos x x -- 8．一条光线沿直线220x y -+=入射到直线50x y +-=后反射，那么反射光线所在的直线方程为 A ．260x y +-= B ．290x y +-= C ．30x y -+= D ．270x y -+= 9．点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -内一点，且满足1312
423
AP AB AD AA =
++，那么点P 到棱AB 的间隔 为
A ．
56 B ．3
4
C D
10．假如函数()f x x =()0a >没有零点，那么a 的取值范围为
A ．()0,1
B ．()0,1(
)
2,+∞
C ．()
0,1()2,+∞ D ．(()2,+∞
二、填空题：本大题一一共5小题，考生答题4小题，每一小题5分，满分是20分． 〔一〕必做题〔11～13题〕 11．假设1tan 2α=
，那么tan 4πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值是 ．
12．假设关于x 的不等式()2
1m x x x ->-的解集为{}
12x x <<，那么实数m 的值是 ． 13．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中，两
数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最正确分解．当(
)
*
,p q p q p q ⨯≤∈N 且是正整数n 的最
正确分解时，我们规定函数()p f n q =，例如()3124f =.关于函数()f n 有以下表达：①()1
77
f =， ②()3248f =
，③()4287f =，④()9
14416
f =.其中正确的序号为 〔填入所有正确的序号〕． 〔二〕选做题〔14～15题，考生只能从中选做一题〕 14．〔几何证明选讲选做题〕在梯形ABCD 中，AD
BC ，2AD =，5BC =，点E 、F 分别在AB 、
CD 上，且EF AD ，假设
3
4
AE EB =，那么EF 的长为 ． 〔坐标系与参数方程选做题〕设点A 的极坐标为2,6π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，直线l 过点A 且与极轴所成的角为
3
π
，那么直线l 的极坐标．．．方程为 ．
三、解答题：本大题一一共6小题，满分是80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．〔本小题满分是12分〕
某地区对12岁儿童瞬时记忆才能进展调查．瞬时记忆才能包括听觉记忆才能与视觉记忆才能.某班学生一共有40人，下表为该班学生瞬时记忆才能的调查结果．例如表中听觉记忆才能为中等，且视觉记忆才能偏高的学生为3人．
由于局部数据丧失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆才能恰为中等，且听觉记忆才能为中等或者中等以上的概率为25
． 〔1〕试确定a 、b 的值；
〔2〕从40人中任意抽取1人，求此人听觉记忆才能恰为中等，且视觉
记忆才能为中等或者中等以上的概率．
C
北
17．〔本小题满分是12分〕
如图1，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，假设渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上． 〔1〕求渔船甲的速度； 〔2〕求sin α的值．
18．〔本小题满分是14分〕
等差数列｛a n ｝的前n 项和为n S ，且1055S =，20210S =． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕设1
n
n n a b a +=
，是否存在m 、k ()
2,,k m k m >≥∈*N ，使得1b 、m b 、k b 成等比数列．假设存在，求出所有符合条件的m 、k 的值；假设不存在，请说明理由．
19．〔本小题满分是14分〕
一个几何体是由圆柱11ADD A 和三棱锥E ABC -组合而成，点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，其正〔主〕视图、侧〔左〕视图的面积分别为10和12，如图2所示，其中EA ABC ⊥平面， AB AC ⊥，
AB AC =，2AE =．
〔1〕求证：AC BD ⊥；
〔2〕求三棱锥E BCD -的体积．
20．〔本小题满分是14分〕
图1
A
O
D
E
正（主）视图 E
A
侧〔左〕视图
A 1 D 1 A D 1
A 1 E
B C
O
D 图2
对定义域分别是F 、G 的函数()y f x =、()y g x =，规定：
函数()()()()(),,,
,,
.f x g x x F x G h x f x x F x G g x x F x G +∈∈⎧⎪
=∈∉⎨⎪
∉∈⎩当且当且当且 函数()2f x x =，()ln g x a x =()a ∈R ． 〔1〕求函数()h x 的解析式；
〔2〕对于实数a ，函数()h x 是否存在最小值，假如存在，求出其最小值；假如不存在，请说明理
由．
21．〔本小题满分是14分〕
双曲线C ：()222210x y a b a b
-=>>和圆O ：222
x y b +=〔其中原点O 为圆心〕，过双曲线上一
点()00,P x y 引圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ．
〔1〕假设双曲线C 上存在点P ，使得90APB ∠=，求双曲线离心率e 的取值范围； 〔2〕求直线AB 的方程；
〔3〕求三角形OAB 面积的最大值．
2021年普通高中毕业班综合测试〔二〕
数学〔文科〕试题参考答案及评分HY
说明：1．参考答案与评分HY 指出了每道题要考察的主要知识和才能，并给出了一种或者几种解法供参
考，假如考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考察的知识点和才能比照评分HY 给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，假如后继局部的解答未改变该题
的内容和难度，可视影响的程度决定后继局部的得分，但所给分数不得超过该局部正确解容许得分数的一半；假如后继局部的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题主要考察根本知识和根本运算．一共10小题，每一小题5分，满分是50分．
二、填空题：本大题主要考察根本知识和根本运算．本大题一一共5小题，考生答题4小题，每一小题
5分，满分是20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 11．3 12．2 13．①③ 14．
237 15．
sin 13πρθ⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
或者cos 16πρθ⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
或者4sin 13πρθ⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭
或
者
cos sin 20θρθ--=
三、解答题：本大题一一共6小题，满分是80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．〔本小题满分是12分〕
〔本小题主要考察概率与统计的概念，考察运算求解才能等．〕
解：〔1〕由表格数据可知视觉记忆才能恰为中等，且听觉记忆才能为中等或者中等以上的学生有()10a +人．
记“视觉记忆才能恰为中等，且听觉记忆才能为中等或者中等以上〞为事件A ，
那么102
()405
a P A +=
=， ………………………………………………4分 解得6a =． …………………………………………………………5分 因为3240a b ++=，所以2b =．
答：a 的值是6，b 的值是2．……………………………………………7分
〔2〕由表格数据可知，听觉记忆才能恰为中等，且视觉记忆才能为中等或者中等以上的学生有()11b +人，由〔1〕知，2b =，即听觉记忆才能恰为中等，且视觉记忆才能为中等或者中等以上的学生一共有13人．
…9分
记“听觉记忆才能恰为中等，且视觉记忆才能为中等或者中等以上〞为事件B ， 那么()1113
4040
b P B +=
=． 答：听觉记忆才能恰为中等，且视觉记忆才能为中等或者中等以上的概率为13
40
．…12分 17．〔本小题满分是12分〕
〔本小题主要考察方位角、正弦定理、余弦定理等根底知识，考察运算求解才能等．〕
解：〔1〕依题意，120BAC ∠=，12AB =，10220AC =⨯=，BCA α∠=．………………………2分
在△ABC 中，由余弦定理，得
2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⨯⨯∠ ……………………4分
2
2
122021220cos120784=+-⨯⨯⨯=．
解得28BC =．………………………………………………………6分
所以渔船甲的速度为142
BC
=海里/小时．
答：渔船甲的速度为14海里/小时．…………………………………7分 〔2〕方法1：在△ABC 中，因为12AB =，120BAC ∠=，28BC =，
BCA α∠=，
由正弦定理，得
sin sin120
AB BC
α=
．……………………………………9分
即12sin1202sin 28AB BC
α=
=
=． 答：sin α
．…………………………………………………12分 方法2：在△ABC 中，因为12AB =，20AC =，28BC =，BCA α∠=，
由余弦定理，得222
cos 2AC BC AB AC BC α+-=⨯．……………………………9分
即22220281213
cos 2202814
α+-=
=⨯⨯． 因为α
为锐角，所以sin α===
．
答：sin α
．…………………………12分 18．〔本小题满分是14分〕
〔本小题主要考察等差数列、等比数列、不等式等根底知识，考察方程思想以及运算求解才能．〕
60 A
B
C
东
南
西
北 α
解：〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，那么()
112
n n n S na d -=+
．………1分 由，得11
1091055,2201920210.
2
a d a d ⨯⎧
+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩………………………………3分 即11
2911,21921.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,
1.a d =⎧⎨=⎩………………………………………5分
所以1(1)n a a n d n =+-=〔n *∈N 〕．…………………………6分
〔2〕假设存在m 、k ()2,,k m m k >≥∈N ，使得1b 、m b 、k b 成等比数列，
那么2
1m k b b b =．………………………………………………7分
因为11
n n n a n b a n +==+，………………………………………………8分 所以11,,211
m k m k
b b b m k =
==
++． 所以2
1
121m k m k ⎛⎫=⨯ ⎪
++⎝⎭
．……………………………………………9分 整理，得2
2
221
m k m m =-++．……………………………………………10分 以下给出求m ，k 的三种方法：
方法1：因为0k >，所以2
210m m -++>．…………………………11分
解得11m <<12分 因为2,m m ≥∈*
N ， 所以2m =，此时8k =．
故存在2m =、8k =，使得1b 、m b 、k b 成等比数列．………………14分
方法2：因为k m >，所以2
2
221m k m m m =>-++．……………………11分 即2
21021
m
m m +<--，即221021m m m -<--．
解得11m -<<-
11m <<12分 因为2,m m ≥∈*
N ， 所以2m =，此时8k =．
故存在2m =、8k =，使得1b 、m b 、k b 成等比数列．………………14分
方法3：因为2k m >≥，所以2
22221m k m m =
>-++．………………11分 即22
1021m m m +<--，即22221
021
m m m m --<--．
解得1m <<
1m <<12分 因为2,m m ≥∈*
N ， 所以2m =，此时8k =．
故存在2m =、8k =，使得1b 、m b 、k b 成等比数列．………………14分
19．〔本小题满分是14分〕
〔本小题主要考察锥体体积，空间线线、线面关系，三视图等知识，考察化归与转化的数学思想方法，以及空间想象才能、推理论证才能和运算求解才能．〕
〔1〕证明：因为EA ABC ⊥平面，C A ABC ⊂平面，所以EA AC ⊥，即ED AC ⊥．
又因为AC AB ⊥，AB
ED A =，所以AC ⊥平面EBD ．
因为BD EBD ⊂平面，所以AC BD ⊥．…………………………………4分 〔2〕解：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以BC 为圆O 的直径．
设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正〔主〕视图、侧〔左〕视图的面积可得，
12210,2
122212.2
rh r rh r ⎧
+⨯=⎪⎪⎨
⎪+⨯⨯=⎪⎩…………………………………………6分 解得2,2.
r h =⎧⎨=⎩
所以4BC =
，AB AC ==8分
A
D 1
A 1
E
B
C
O D
以下给出求三棱锥E BCD -体积的两种方法： 方法1：由〔1〕知，AC ⊥平面EBD ，
所以1
3
E BCD C EBD EBD V V S CA --∆==⨯．…………………………………………10分 因为EA ABC ⊥平面，AB ABC ⊂平面，
所以EA AB ⊥，即ED AB ⊥．
其中224ED EA DA =+=+=，因为AB AC ⊥，AB AC ==
所以11
422EBD S ED AB ∆=
⨯⨯=⨯⨯=13分
所以116
33
E BCD V -=⨯=．…………………………………………………14分
方法2：因为EA ABC ⊥平面，
所以111
333
E BCD E ABC D ABC ABC ABC ABC V V V S EA S DA S ED ---∆∆∆=+=
⨯+⨯=⨯．………10分
其中224ED EA DA =+=+=，因为AB AC ⊥，AB AC ==
所以11
422ABC S AC AB ∆=⨯⨯=⨯=．…………………………13分 所以116
4433
E BCD
V -=⨯⨯=．………………………………………14分
20．〔本小题满分是14分〕
〔本小题主要考察分段函数、导数、函数的单调性和最值等根底知识，考察分类讨论思想，以及运算求解才能和推理论证才能等．〕
解：〔1〕因为函数()2
f x x =的定义域(),F =-∞+∞，函数()ln
g x a x =的定义域()0,G =+∞，
所以()2
2
ln ,
0,,
0.
x a x x h x x x ⎧+>⎪=⎨⎪⎩≤………………………………4分
〔2〕当0x ≤时，函数()2
h x x =单调递减，
所以函数()h x 在(],0-∞上的最小值为()00h =．……………………5分 当0x >时，()2
ln h x x a x =+．
假设0a =，函数()2
h x x =在()0,+∞上单调递增．此时，函数()h x 不存在最小值． (6)
分
假设0a >，因为()2220a x a
h x x x x
+'=+=
>，………………………………7分 所以函数()2ln h x x a x =+在()0,+∞上单调递增．此时，函数()h x 不存在最小值．……………8分
假设0a <，因为(
)2
22x x x a h x x x
⎛ +⎝⎭⎝⎭'==
，…………………9分 所以函数()2
ln h x x a x =+
在⎛ ⎝上单调递减，
在⎫+∞⎪⎪⎭
上单调递增．此时，函数()h x
的最小值为h ．……………………………………10分
因为ln 1ln 222222a a a a a a h a ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，…11分
所以当2e 0a -<≤
时，0h ≥，当2e a <-
时，0h <．…13分 综上可知，当0a >时，函数()h x 没有最小值；当2e 0a -≤≤时，函数()h x 的最小值为()00h =；
当2e a <-时，函数()h x
的最小值为1ln 22a a h ⎡⎤
⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．14分
21．〔本小题满分是14分〕
〔本小题主要考察圆、双曲线、直线方程和不等式等根底知识，考察运算求解才能和推理论证才能，以及分类讨论思想与创新意识等．〕
解：〔1〕因为0a b >>，所以1b a <
，所以c e a a ==
=
<1分 由90APB ∠=及圆的性质，可知四边形PAOB
是正方形，所以OP =．
因为OP a =≥
，所以2b a ≥
，所以c e a a ===
2≥．3分
故双曲线离心率e 的取值范围为6,22⎡⎫
⎪⎢
⎪
⎣⎭
．………………………………4分 〔2〕方法1：因为222222
00PA OP OA x y b =-=+-，
所以以点P 为圆心，PA 为半径的圆P 的方程为()()22
2
2
2
0000x x y y x y b -+-=+-． (5)
分
因为圆O 与圆P 两圆的公一共弦所在的直线即为直线AB ，…………………6分
所以联立方程组()()22222222
0000,
.x y b x x y y x y b ⎧+=⎪⎨-+-=+-⎪⎩…………………………7分 消去2
x ，2y ，即得直线AB 的方程为200x x y y b +=．………………………8分
方法2：设()11,A x y ()22,B x y ，点()00,P x y ， 那么PA k =
0101y y x x --，11
OA y
k x =()101,0x x x ≠≠其中．
因为PA OA ⊥，所以1PA OA k k =-，即
011
011
1y y y x x x -⨯=--．………………5分
整理得22
010111x x y y x y +=+．
因为22211x y b +=，所以2
0101x x y y b +=．…………………………………6分
因为OA OB =，PA PB =，根据平面几何知识可知，AB OP ⊥． 因为00OP y k x =
，所以00
AB x
k y =-．……………………………………………7分 所以直线AB 方程为()0
110
x y y x x y -=--． 即000101x x y y x x y y +=+．
所以直线AB 的方程为2
00x x y y b +=．……………………………………8分
方法3：设()()1122,,,A x y B x y ，点()00,P x y ， 那么PA k =
0101y y x x --，11
OA y
k x =()101,0x x x ≠≠其中．
因为PA OA ⊥，所以1PA OA k k =-，即
011
011
1y y y x x x -⨯=--．…………………5分
整理得22
010111x x y y x y +=+．
因为22211x y b +=，所以2
0101x x y y b +=．……6分
这说明点A 在直线2
00x x y y b +=上． …………7分 同理点B 也在直线2
00x x y y b +=上．
所以2
00x x y y b +=就是直线AB 的方程． ……8分 〔3〕由〔2〕知，直线AB 的方程为2
00x x y y b +=，
所以点O 到直线AB 的间隔
为2d =
因为AB ===， 所以三角形OAB
的面积001
2
S AB d =⨯⨯=
．…………………10分
以下给出求三角形OAB 的面积S 的三种方法：
方法1：因为点()00,P x y 在双曲线22
221x y a b
-=上，
所以2200221x y a b -=，即22
222
002
b x a b y a
-=()220x a ≥．
设t ==≥
所以322
b t
S t b =+．…………………………………………………………………11分
因为()()
()
32
2
2b t b t b S t
b
-+-'=
+，
所以当0t b <<时，0S '>，当t b >时，0S '<．
所以322
b t
S t b
=+在()0,b 上单调递增，在(),b +∞上单调递减．…………………12分
b
，即b a <≤
时，322212
b b S b b b ⨯==+最大值
，………………13分
b >
，即a >
时，(
)
322
2
b b S a b
=
=+最大值．
综上可知，当b a <≤
时，2
12
S b =最大值
；当a >
时，S =最大值． (14)
分
方法2：
设t =33
222
b t b S b t b t t
==++
．……………………11分
因为点()00,P x y 在双曲线22221x y a b -=上，即2200221x y a b -=，即22
222
002
b x a b y a
-=()220x a ≥．
所以t ==
令()2b g t t t =+，那么()()()222
1t b t b b g t t t +-'=-=． 所以当0t b <<时，()0g t '<，当t b >时，()0g t '>．
所以()2
b g t t t
=+在()0,b 上单调递减，在(),b +∞上单调递增．……………12分
b
，即b a <≤
时，32212b S b b b b
==+
最大值
，……………13分
b >
，即a >
时，3
22
b b S a
=
=最大值．
综上可知，当b a <≤时，2
12
S b =最大值
；当a >
时，S =
最大值．………14分
方法3：设22
00t x y =+
，那么b S b t =
=．………………11分 因为点()00,P x y 在双曲线22221x y a b -=上，即2200221x y a b -=，即22
222
002
b x a b y a
-=()220x a ≥． 所以22
2
222
00021b t x y x b a a ⎛⎫=+=+-≥ ⎪⎝⎭
．
令()2
22
2
221124g u b u u b u b b ⎛
⎫=-+=--+ ⎪⎝
⎭，
所以()g u 在21,
2b ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在21,2b ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减．………………12分
因为t a ≥，所以2110,u t a ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦
，
当
22112b a ≤，即b a <≤时，()22max
1124g u g b b
⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，此时3
21122S b b b =⨯=最大值． ………13分
当22112b a >，即a >时，()22
24max
1a b
g u g a a -⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
，此时S =最大值．
综上可知，当b a <≤时，2
12
S b =最大值
；当a >时，S =
最大值．………14分
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。