浙江省宁波市慈溪市2019-2020学年高二上学期期中数学试题(含答案解析)

浙江省宁波市慈溪2019学年高二年级第一学期期中联考
数学试卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.经过A (5，0)，B (2，3)两点的直线的倾斜角为（ ）
A. 45°
B. 60°
C. 90°
D. 135°
2.直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程为（ ）
A. 3210x y +-=
B. 2310x y +-=
C. 3210x y ++=
D. 2310x y --= 3.一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条( )
A. 相交
B. 异面
C. 相交或异面
D. 平行
4. 不在3x+2y ＞3表示的平面区域内的点是（ ）
A. （0，0）
B. （1，1）
C. （0，2）
D. （2，0） 5.已知点M (-2，1，3)关于坐标平面xOz 的对称点为A ，点A 关于y 轴的对称点为B ，则|AB |=( )
A. 2
B.
C.
D. 5
6.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱BB 1，B 1C 1的中点，若∠CMN =90°，则异面直线AD 1和DM 所成角为（ ）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
7.点M ，N 在圆x 2+y 2+kx -2y =0上，且关于直线y =kx +1对称，则k =（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
8.设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ）
A. 若l β⊥，则αβ⊥
B. 若αβ⊥，则l m ⊥
C. 若//l β，则//αβ
D. 若//αβ，则//l m
9.动点P 到点A (6，0)的距离是到点B (2，0)
倍，则动点P 的轨迹方程为（ ）
A. (x +2)2+y 2=32
B. x 2+y 2=16
C. (x -1)2+y 2=16
D. x 2+(y -1)2=16
10.若直线2y x b =+
与曲线3y =b 的取值范围是（ ）
A. [1,1--+
B. [1--
C. 11⎡⎣---+
D. [1-+
二、填空题(本大题共7小题，单空题每小题4分，多空题每小题6分，共36分)
11.已知直线1:10l ax y --=，直线2:30l x y +-=.若直线1l 的倾斜角为4
π，则a =_________;若12l l //，则1l ，2l 之间的距离为_____.
12.圆C :x 2+y 2-8x -2y =0的圆心坐标是____;关于直线l :y =x -1对称的圆C '的方程为_.
13.在平面直角坐标系xOy 中，直线l :mx -y -2m -1=0(m ∈R )过定点__，以点(1，0)为圆心且与l 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_.
14.若x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩
………，则目标函数12z x y =-的最小值为_____ ;若目标函数z =ax +2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则a 的取值范围是_.
15.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于 16.设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题:
①若α⊥β，m //α，则m ⊥β;
②若α⊥γ，β⊥γ，则α//β;
⊄，则m//α;
③若α⊥β，m⊥β，mα
④若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β.
其中正确的是_.
17.将一张坐标纸折叠一次，使得点P(1，2)与点Q(-2，1)重合，则直线y=x+4关于折痕对称的直线为_.
三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
18.已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P(2，3)到直线l的距离为2，求直线l的方程.
19.在平面直角坐标系中，已知点A(-4，2)是Rt△OAB的直角顶点，点O是坐标原点，点B在x轴上.
(1)求直线AB的方程;
(2)求△OAB的外接圆的方程.
20.如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正△P AD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点.
(1)求证:P A//平面MBD.
(2)试问:在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB?若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.
21.已知圆M:x2+y2-2y-4=0与圆N:x2+y2-4x+2y=0.
(1)求证:两圆相交;
(2)求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦长;
(3)在平面上找一点P，过点P引两圆的切线并使它们的长都等于1.
22.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝
AD=AB=2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.
（1）求证：PB⊥DM ；
（2）求CD 与平面ADMN 所成角的正弦值．
答案解析
一、选择题
1.【答案】D
【分析】
先根据两点的斜率公式求出斜率,结合斜率与倾斜角的关系可得倾斜角.
【详解】因为A (5，0)，B (2，3),所以过两点的直线斜率为30125
k -=
=--, 所以倾斜角为135︒.
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线倾斜角的求解,明确直线和倾斜角的关系是求解本题的关键,侧重考查数学运算的核心素养.
2.【答案】C
【分析】
根据所求直线与已知直线垂直,可以设出直线,结合所过点可得.
【详解】因为直线l 与直线2340x y -+=垂直,
所以设直线:l 320x y c ++=,
因为直线l 过点(1,2)-,
所以1c =,即方程为3210x y ++=.
故选：C.
【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，与已知直线0ax by c ++=平行的直线一般可设其方程为0ax by m ++=；与已知直线0ax by c ++=垂直的直线一般可设其方程为0bx ay m -+=.
3.【答案】C
【解析】
如下图所示,,,a b c 三条直线平行,a 与d 异面,而b 与d 异面,c 与d 相交,故选C.
4. 【答案】A
【解析】
试题分析：将各个点的坐标代入，判断不等式是否成立，可得结论．
解：将（0，0）代入，此时不等式3x+2y ＞3不成立，故（0，0）不在3x+2y ＞3表示的平面区域内， 将（1，1）代入，此时不等式3x+2y ＞3成立，故（1，1）在3x+2y ＞3表示的平面区域内， 将（0，2）代入，此时不等式3x+2y ＞3成立，故（0，2）在3x+2y ＞3表示的平面区域内， 将（2，0）代入，此时不等式3x+2y ＞3成立，故（2，0）在3x+2y ＞3表示的平面区域内， 故选A ．
考点：二元一次不等式（组）与平面区域．
5.【答案】B
【分析】
先根据对称逐个求出点,A B 的坐标,结合空间中两点间的距离公式可求.
【详解】因为点M (-2，1，3)关于坐标平面xOz 的对称点为A ,
所以(2,1,3)A --,
因为点A 关于y 轴的对称点为B ,
所以(2,1,3)B --,所以AB ==故选：B.
【点睛】本题主要考查空间点的对称关系及两点间的距离公式,明确对称点间坐标的关系是求解的关系,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.
6.【答案】D
【分析】
建立空间直角坐标系，结合90CMN ∠=︒，求出1,AD DM 的坐标，利用向量夹角公式可求.
【详解】以1D 为坐标原点,11111,,D A D C D D 所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,如图,
设11111,,D A a D C b D D c ===,则(0,,),(,,),(,,0)22
c a
C b c M a b N b ,(,0,),(0,0,)A a c
D c , (,0,)(,0,)222
c a c CM a MN =-=--，,1(,,)(,0,)2c DM a b D A a c =-=， 因为90CMN ∠=︒,所以0CM MN ⋅=,即有222c a =.
因为2
2
22102c DM D A a a a ⋅=-=-=,所以1DM AD ⊥,即异面直线1AD 和DM 所成角为90︒. 故选：D.
【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求解，异面直线所成角主要利用几何法和向量法，几何法侧重于把异面直线所成角平移到同一个三角形内，结合三角形知识求解；向量法侧重于构建坐标系，利用向量夹角公式求解.
7.【答案】A
【分析】
根据圆的对称性可知，直线y =kx +1一定经过圆心，从而可求. 【详解】由题意可知圆心(,1)2
k -,因为点M ,N 在圆x 2+y 2+kx -2y =0上,且关于直线y =kx +1对称, 所以直线y =kx +1一定经过圆心,所以有2
112
k -+=,即0k =. 故选：A.
【点睛】本题主要考查利用圆的性质求解参数，若圆上的两点关于某直线对称，则直线一定经过圆心，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.
8.【答案】A
【解析】
试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得l β⊥，l α⊂ 可得αβ⊥
考点：空间线面平行垂直的判定与性质
9.【答案】A
【分析】
先设出动点P 的坐标，根据条件列出等量关系，化简可得.
【详解】设(,)P x y ,则由题意可得PA PB =,=
化简可得22(2)32x y ++=.
故选：A.
【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法,建系,设点,列式,化简是这类问题的常用求解步骤,侧重考查数学运算的核心素养.
10.
【答案】B
【分析】
先作出曲线3y =,结合图形可求b 的取值范围.
【详解】因为3y =所以22(2)(3)4-+-=x y (3)y ≤,如图,
观察图形可得,直线过点(0,3)及与半圆相切时可得b 的临界值,
由22
(2)(3)4-+-=x y 与2y x b =+相切可得1b =--
所以b 的取值范围是[1--.
故选：B.
【点睛】本题主要考查利用直线与圆的位置关系求解参数，准确作图是求解本题的关键，注意曲线是半圆,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养. 二、填空题
11.【答案】 (1). 1 (2).
【分析】
利用直线1l 的倾斜角和斜率的关系可求a ；根据两条直线平行可得a ，再结合平行直线间的距离公式可求.
【详解】因为直线1l 的倾斜角为4
π,所以所以它的斜率为1,即1a =; 因为12l l //，所以1a =-,即1:10l x y ++=,
所以1l ，2l
之间的距离为d =
==故答案为：1
；【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与方程的关系，平行直线间的距离，明确斜率和直线倾斜角的关系是求解的关键，两条直线平行的条件使用是思考的方向，侧重考查数学运算的核心素养.
12.【答案】 (1). (4，1) (2). (x -2)2+(y -3)2=17 【分析】
根据圆的一般式方程和圆心的关系可求，先求解对称圆的圆心，结合对称性，圆的半径不变可得对称圆的方程.
【详解】由圆的一般式方程可得圆心坐标(4,1),
半径r ==设(4,1)关于直线l 的对称点为(,)x y ,则1141412
2y x y x -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=-⎪⎩,解得23x y =⎧⎨=⎩, 所以圆C 关于直线l 对称的圆C '的方程为22
(2)(3)17x y -+-=.
故答案为：(4,1)；22(2)(3)17x y -+-=.
【点睛】本题主要考查利用圆的一般式方程求解圆心，半径；点关于直线对称的问题一般是利用垂直关系和中点公式建立方程组求解，侧重考查数学运算的核心素养.
13.【答案】 (1). (2，-1) (2). (x -1)2+y 2=2 【分析】
先整理直线的方程为(2)10m x y ---=,由2010x y -=⎧⎨+=⎩
可得定点;由于直线过定点(2,1)-,所以点(1，0)为圆心
且与l 相切的所有圆中,最大半径就是两点间的距离.
【详解】因为21(2)10mx y m m x y ---=---=,由2010x y -=⎧⎨+=⎩可得21
x y =⎧⎨=-⎩,所以直线l 经过定点(2,1)-;
以点(1,0)为圆心且与l 相切的所有圆中,=所以所求圆的标准方程为22(1)2x y -+=.
故答案为：(2,1)-;22(1)2x y -+=.
【点睛】本题主要考查直线过定点问题和圆的方程求解，直线恒过定点问题一般是整理方程为()0m Ax By C ax by c +++++=，由0Ax By C ++=且0ax by c ++=可求.
14.【答案】 (1). 52-
(2). 42a -<< 【分析】
作出可行域，平移目标函数，可得最小值；根据可行域形状，结合目标函数2z
ax y =+仅在点(1，0)处取
得最小值可得a 的取值范围.
【详解】作出可行域,如图,
由图可知,平移102
x y -=（图中虚线）,12z x y =-在点A 处取到最小值, 联立122
x y x y -=-⎧⎨-=⎩可得(3,4)A ,所以12z x y =-的最小值为52-. 当0a >时,如图,
由图可知,当斜率12
a ->-时,即02a <<时,符合要求； 当0a =时,显然符合要求；
当0a <时,如图,
由图可知,当斜率22
a -<时,即40a -<<时,符合要求； 综上可得,a 的取值范围是42a -<<. 故答案为：52
-；42a -<<. 【点睛】本题主要考查线性规划求解最值和利用最值点求解参数，准确作出可行域是求解的关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.
15.
【解析】
如图，连接AC 交BD 于点O ，连接1A O ．因为1111ABCD A B C D -是正方体，所以1,AO BD AA ⊥⊥面
ABCD ，
从而可得1AA DB ⊥，所以DB ⊥面1AOA ，从而有1DB A O ⊥，所以1A OA ∠是二面角1A BD A --的平面角．设正方体的边长为1
，则11,A A AO ==
1Rt A OA ∆
中有11tan A A AOA OA ∠==16.【答案】③④
【解析】
【分析】 对于①②，结合反例可得不正确；对于③，若α⊥β，m ⊥β，m α⊄，则m //α；
对于④，由面面垂直的性质定理可得正确.
详解】对于①, α⊥β，m //α，可得直线m 可能与平面β平行，相交，故不正确；
对于②，α⊥γ，β⊥γ，可得平面,αβ可能平行和相交，故不正确； 对于③，α⊥β，m ⊥β，可得直线m 可能与平面α平行或者直线m 在平面内，由于m α⊄，所以//m α，故正确；
对于④，由面面垂直的性质定理可得正确. 故答案为：③④.
【点睛】本题主要考查空间位置关系的判定，构建模型是求解此类问题的关键，考虑不全面是易错点，侧
重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.
17.【答案】x +7y -20=0
【解析】
【分析】 根据点P (1，2)与点Q (-2，1)重合可得折痕所在直线的方程，然后结合直线关于直线对称可求.
【详解】因为点P (1，2)与点Q (-2，1)重合，所以折痕所在直线是PQ 的中垂线，其方程为30x y +=；
联立304x y y x +=⎧⎨=+⎩
可得交点(1,3)-. 在直线4y x =+取一点(0,4)A ，设(0,4)A 关于折痕的对称点为(,)A x y '，
【
则41033402
2y x x y -⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，解得1216(,)55A '-； 由直线两点式方程可得3116123155
y x -+=--+，整理得7200x y +-=. 故答案为：7200x y +-=.
【点睛】本题主要考查直线关于直线的对称问题，相交直线的对称问题一般转化为点关于直线的对称问题，利用垂直关系和中点公式可求，侧重考查数学运算的核心素养.
三、解答题
18.【答案】直线l 的方程为5x -12y =0或x +y -5+或x +y
-5-【分析】
分为直线经过原点和直线不过原点两种情况分别求解，可以采用待定系数法，结合点到直线的距离可求.
【详解】解:由题意知，若截距为0，
可设直线1的方程为y =kx . 2=，解得k =512. 若截距不为0，设所求直线l 的方程为x +y -a =0.
2=，解得a
=5-a
=5+故所求直线l 的方程为5x -12y =0，x +y
-5+或x +y
-5-【点睛】本题主要考查直线方程的求解，求解直线方程时一般是选择合适的方程形式，利用待定系数法建立方程（组）进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.
19.【答案】
（1）2x -y +10=0.（2）x 2+y 2+5x =0. 【分析】
(1)利用AB OA ⊥可得AB 的斜率，结合点斜式可求方程；
(2)先确定B (-5，0)，结合直角三角形的特征可知△OAB 的外接圆是以OB 为直径的圆，易求圆心和半径得
的
到方程.
【详解】解:(1)∵点A (-4，2)是Rt OAB ∆的直角顶点,
∴OA ⊥AB ，又201402
OA k -==---, 2AB k ∴=,
∴直线AB 的方程为y -2=2(x +4)，即2x -y +10=0.
(2)由(1)知B (-5，0),
∵点A (-4，2)是Rt OAB ∆的直角顶点,
∴△OAB 的外接圆是以OB 中点为圆心，
12OB 为半径的圆, 又OB 中点坐标为5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，
15||22OB = ∴所求外接圆方程是2252524x y ⎛⎫++= ⎪⎝
⎭，即x 2+y 2+5x =0. 【点睛】本题主要考查利用直线垂直求解直线方程和求解圆的方程，圆的方程求解的关键是确定圆心和半径，侧重考查数学运算的核心素养.
20.【答案】
（1）证明见解析;（2）存在点N ，当N 为AB 中点时，平面PQB ⊥平面PNC ，证明见解析. 【分析】
(1) 连接AC 交BD 于点O ,证明MO //P A ，可得P A //平面MBD ；
(2)先利用正方形ABCD 所在平面与正△P AD 所在平面互相垂直可得PQ ⊥平面ABCD ，
结合PQ ⊥NC ，可得NC ⊥平面PQB.
【详解】解:(1)证明:连接AC 交BD 于点O ，连接MO ，.
由正方形ABCD 知O 为AC 的中点，
∵M 为PC 的中点，
∴MO //P A .
∵MO ⊂平面MBD ，PA ⊄平面MBD ，
∴P A //平面MBD .
(2)存在点N ，当N 为AB 中点时，平面PQB ⊥平面PNC ，证明如下:
∵四边形ABCD 是正方形，Q 为AD 的中点，
∴BQ ⊥NC .
∵Q 为AD 中点，△P AD 为正三角形，
∴PQ ⊥AD
又∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且面P AD ∩面ABCD =AD ，PQ ⊂平面P AD
∴PQ ⊥平面ABCD .
又∵NC ⊂平面ABCD ，
∴.PQ ⊥NC .
又BQ PQ Q ⋂=，
∴NC ⊥平面PQB .
∵NC ⊂平面PCN ，
∴平面PCN ⊥平面PQB.
【点睛】本题主要考查线面平行的判定和探索平面与平面垂直，线面平行一般转化为线线平行或者面面平行来证明，面面垂直一般转化为线面垂直来证明，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.
21.【答案】
（1）证明见解析;（2）直线方程x -y -1=0
，公共弦长为（3）点P 坐标为
，
)或
，-2).
【分析】
(1)先求两圆的圆心距和半径，结合圆心距与半径间的关系可证；
(2)联立两圆方程可得两圆公共弦所在的直线方程，结合勾股定理可得公共弦长；
(3)结合切线长与半径可得点P 到圆心的距离，建立方程组可求P 的坐标.
【详解】解:(1)由己知得圆M :x 2+(y -1)2=5，圆N :(x -2)2+(y +1)2=5,
圆心距||MN ==
∴12120||r r MN r r =-<<+=的
.
∴两圆相交
(2)联立两圆的方程得方程组2222240420
x y y x y x y ⎧+--=⎨+-+=⎩ 两式相减得x -y -1=0，此为两圆公共弦所在直线的方程.
法一:设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组2222240420
x y y x y x y ⎧+--=⎨+-+=⎩
解得12x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
所以||AB ==
法二:22240x y y +--=，得x 2+(y -1)2=5，其圆心坐标为(0，1)，半径长r
x -y -1=0的距
离为d ==
设公共弦长为2l ，由勾股定理得222r d l =+
，即225l =+
，解得l =
，故公共弦长2l =(3)
P 点所引的两条切线长均为1,
∴点P
到两圆心的距离||||PM PN ===设P 点坐标为(x ，y )
，则⎧=⎪=
解得1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩
或1x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
.点P
坐标为(1+
或(1-.
【点睛】本题主要考查两圆的位置关系及公共弦的问题，两圆位置关系的判定主要是依据圆心距和两圆半径间的关系，公共弦长通常利用勾股定理求解，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.
22.【答案】（1）证明见解析；（2
【解析】
【详解】（1）证明：建立坐标系，如图
设BC=1
P （0，0，2） B （2，0，0） D （0，2，0） C （2，1，0）
M （1，12，1）
∴PB ⊥DM
（2） 设平面ADMN 的法向量
00
002y n AD y y x z x z n AM ⎧=⎧⋅==⎧⎪⎪
⇒⇒⎨⎨⎨
=-++=⋅=⎩⎪⎪⎩⎩
取z=-1 ，
设直线CD 与平面ADMN 成角为θ。