人教高中数学必修一第二章基本初等函数知识点总结

人教版高中数学必修一第二章基本初等函数知识点总
结
第二章 基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算 1 ．根式的观点 ：
负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是 0 ，记作 n
0 =0 。

注意： (1) ( n a )n
a
(2) 当 n 是奇数时， n a n
a ，当 n 是偶数时， n a n
| a | a, a 0
a, a 0 2 ．分数指数幂
m
正数的正分数指数幂的意义，规定：
a n n a m
( a m n N , 且
n
1)
0, ,
_
m 1
a
n
0, m, n
N , 且n 1)
正数的正分数指数幂的意义：
m (a
a
n
0 的正分数指数幂等于
0 ， 0 的负分数指数幂没存心义
3 ．实数指数幂的运算性质
（1 ） a r a s a r s (a 0, r , s R) （2 ） (a r ) s a rs (a 0, r , s R)
（3 ） a
b) r
a r
b r ( a 0, b 0, r R
(
)
1
注意：在化简过程中，偶数不可以轻易约分；如 [(1 2)2] 2 1 2而应=2 1
（二）指数函数及其性质
1 、指数函数的观点：一般地，函数 y a x 叫做指数函数，此中
x 是自变量，函数的定义
域为 R ．
注意：指数函数的底数的取值范围， 底数不可以是负数、零和 1 ．即 a>0
且 a ≠1
2 、指数函数的图象和性质
0<a<1
a>1
图
像
定义域R ,值域（0，+∞）
（ 1 ）过定点（ 0 ， 1） ,即 x=0时，y=1
性质
(2) 在 R 上是减函数(2) 在 R 上是增函数
（ 3 ）当 x>0时,0<y<1;（3）当x>0时,y>1;
当 x<0时,y>1当x<0时,0<y<1
图象特点函数性质
向 x 轴正负方向无穷延长函数的定义域为R
共性函数图象都在x 轴上方函数的值域为R+ 图象对于原点和y 轴不对称非奇非偶函数
函数图象都过定点（ 0 ，1）过定点（0， 1）
自左向右看，图象渐渐降落减函数
0<a<1 在第一象限内的图象纵坐标都小于 1 当 x>0 时 ,0<y<1;
在第二象限内的图象纵坐标都大于 1 当 x<0 时 ,y>1
图象上涨趋势是愈来愈缓函数值开始减小极快，
到了某一值后减小速度较慢；
自左向右看，图象渐渐上涨增函数
a>1在第一象限内的图象纵坐标都大于1当x>0时,y>1;
在第二象限内的图象纵坐标都小于1当x<0时,0<y<1
图象上涨趋势是愈来愈陡函数值开始增加较慢，
到了某一值后增加速度极快；
x
注意：指数增加模型： y=N(1+p) x 指数型函数：y=ka
3 考点：（ 1） a b=N, 当 b>0 时， a,N 在 1 的同侧；当 b<0 时， a,N 在 1 的异侧。

（2 ）指数函数的单一性由底数决定的，底数不明确的时候要进行议论。

掌握利用单一性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不一样指数也不一样插进1(=a 0)进行传达或许利用（ 1）的知识。

（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单一性。

（4）分辨不一样底的指数函数图象利用a1 =a ，用 x=1 去截图象获得对应的底数。

(5) 指数型函数： y=N(1+p) x 简写： y=ka x
二、对数函数
（一）对数
1 ．对数的观点：一般地，假如a x N ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作：x log a N （ a —底数， N —真数，log a N—对数式）
说明： 1. 注意底数的限制， a>0 且 a ≠1 ； 2. 真数 N>0 3. 注意对数的书写格式．
2 、两个重要对数：
（1 ）常用对数：以10 为底的对数 , log10 N 记为 lg N ；
（2 ）自然对数：以无理数 e 为底的对数的对数, log e N记为ln N．
3 、对数式与指数式的互化
x log a Na x N
对数式指数式
对数底数← a →幂底数
对数←x →指数
真数←N→幂
结论：（ 1 ）负数和零没有对数
（2 ）log a a=1, log a1=0 特别地， lg10=1,lg1=0 ,lne=1,ln1=0
(3) 对数恒等式：a log a N N
（二）对数的运算性质
假如 a > 0 ，a 1 ， M > 0，N > 0有：
1 、log（a M ? N ） log a M log a N
M
log a N
2 、log a log a M
N 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差
log a
M n n log a M（n
R）一个正数的
n
次方的对数等于这个正数的对数
n
3 、
倍
说明 :
1)简略语言表达: ”积的对=数对数的和”
2)有时可逆向运用公式
3)真数的取值一定是 (0, ＋∞)
4) 特别注意：log a MN log a M log a N
log a M N log a M log a N
注意：换底公式log a b log c b lg b a 0, a 1,c 0, c 1,b 0
log c a lg a
利用换底公式推导下边的结论
① log a b 1 ② log a b ? log b c ? log c d log a d ③ log a m b n n
log a b
log b a m
（二）对数函数
1 、对数函数的观点：函数y log a x (a>0 ，且 a ≠1) 叫做对数函数，此中x 是自变量，
函数的定义域是（0， + ∞）．
注意：（ 1 ）对数函数的定义与指数函数近似，都是形式定义，注意鉴别。

如： y log a x 1 ，y log a x 2 都不是对数函数，而只好称其为对数型函数．
（2 ）对数函数对底数的限制：a>0 ，且 a ≠1
2 、对数函数的图像与性质：对数函数y log a x (a>0，且a≠1)
0 ＜ a ＜ 1 a ＞ 1
y y
图
0 (1,0) x
像
0 (1,0) x
定义域：（ 0，＋∞）值域：R
性过点 (1 ,0),即当x＝1时,y＝0
质在 (0,+ ∞)上是减函数在(0,+∞)上是增函数
当 x>1 时， y<0 当 x>1 时， y>0
当 x=1 时， y=0 当 x=1 时， y=0
当 0<x<1 时， y>0 当 0<x<1 时， y<0
重要结论：在 log b 中，当 a ,b同在(0,1)或(1,+∞)内时，有log b>0;
a a
当 a,b 不一样在 (0,1)内，或不一样在(1,+∞)内时,有log b<0 .
a
口诀：底真同大于0（底真不一样小于0） .
（此中，底指底数，真指真数，大于0 指 log b 的值）
a
3 、如图，底数 a 对函数y log a x 的影响。

规律 :底大枝头低,头低尾巴翘。

4考点：
Ⅰ、 log a b, 当 a,b 在 1 的同侧时 , log a b >0 ；当 a,b 在 1 的异侧时 , log a b <0
Ⅱ、对数函数的单一性由底数决定的，底数不明确的时候要进行议论。

掌握利用单一性
比较对数的大小，同底找对应的对数函数，底数不一样真数也不一样利用（ 1 ）的知识
不可以解决的插进1(=log a a)进行传达。

Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0 ，值域求法用单一性。

Ⅳ、分辨不一样底的对数函数图象利用1=log a a，用y=1去截图象获得对应的底数。

Ⅴ、 y=a x(a>0且a≠1)与y=log a x(a>0且a≠1)互为反函数，图象对于y=x 对称。

5 比较两个幂的形式的数大小的方法:
(1)对于底数同样指数不一样的两个幂的大小比较,能够利用指数函数的单一性来判断.
(2)对于底数不一样指数同样的两个幂的大小比较,能够利用比商法来判断.
(3)对于底数不一样也指数不一样的两个幂的大小比较,则应经过中间值来判断.常用 1 和 0.
6 比较大小的方法
(1) 利用函数单一性 ( 同底数 )；(2) 利用中间值（如 :0,1. ）；(3) 变形后比较； (4) 作差比较
（三）幂函数
1 、幂函数定义：一般地，形如y x 的函数称为幂函数，此中x 是自变量，α为常数．
2、幂函数性质概括．
（1）全部的幂函数在（ 0 ，+ ∞）都有定义，而且图象都过点（ 1 ，1）；
（2）α>0 时，幂函数的图象经过原点，而且在 [0,+ ∞）上是增函数．特
别地，当α >1 时，幂函数的图象下凸；当0< α<1 时，幂函数的图象
上凸；
（3 ）α<0 时，幂函数的图象在（0 ，+ ∞）上是减函数．在第一象限内，当x 从右侧趋势
y 轴正半轴，当x 趋于 + ∞时，图象在x 轴上方无穷地原点时，图象在 y 轴右方无穷地迫近
迫近 x 轴正半轴．
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