2019高中数学人教A版必修四(全国通用版)课件：第一章 三角函数1-2-1(一)
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解 π 3π ∵2＜3＜π＜4＜ 2 ＜5＜2π，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴sin 3· cos 4· tan 5＞0.
解答
反思与感悟
角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的
关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限
的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
解答
反思与感悟
在解决有关角的终边在直线上的问题时， 应注意到角的终边为
射线， 所以应分两种情况处理， 取射线上异于原点的任意一点的坐标为(a， b)，
则对应角的三角函数值分别为sin α＝
b a b ， cos α＝ 2 ，tan α＝a. a2＋b2 a ＋b2
跟踪训练 2
在平面直角坐标系中，角α的终边在直线 3x ＋4y ＝0 上，求
[思考辨析
判断正误]
1. sin α，cos α，tan α的大小与点P(x，y)在角α的终边上的位置有关. ×
( )
提示
三角函数的大小由角α终边位置确定，而与点P(x，y)在终边上的
√ )
位置无关. 2. 终边相同的角的同角函数值相等.
答案
梳理 (1)单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以 单位圆. (2)定义 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与 正弦 P(x，y)，那么： ①y叫做α的 ，记作 sin α ， 单位圆 交于点 单位长度 为半径的圆为
余弦 cos α 即y sin α＝y； y ③x叫做 α 的正切，记作 tan α ，即 tan α＝x (x≠0).
sin α－3cos α＋tan α的值.
解答
类型二 三角函数值符号的判断 例3 判断下列各式的符号： (1)sin 145°cos(－210°)； 解 ∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0. ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0. (2)sin 3· cos 4· tan 5.
思考2 答案
对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的 不会. 因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位 在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？
y sin α＝y，cos α＝x，tan α＝x.
位置的改变而改变？ 置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关. 思考3
提示 答案
题型探究
类型一 三角函数定义的应用
命题角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值
例1 10 已知 θ 终边上一点 P(x,3)(x≠0)，且 cos θ＝ 10 x，求 sin θ，tan θ.
解答
反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 y 在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝r ， x cos α＝r .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便.
梳理 记忆口诀：“一 全正 ，二 正弦 ，三 正切，四 余弦 ”.
知识点三 诱导公式一
思考
当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？
它们的三角函数值呢？
答案 它们的终边重合. 由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等.
梳理 诱导公式一 sin(α＋k· 2π)＝sin α， cos(α＋k· 2π)＝cos α， tan(α＋k· 2π)＝tan α， 其中k∈Z.
＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°
第一章 §1.2
任意角的三角函数
1. 2.1 任意角的三角函数(一)
学习目标
1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角 函数是以实数为自变量的函数.
2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数
值在各象限内的符号.
3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同
二 象限角. 跟踪训练3 已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则α是第______
解析 由题意知tan α<0，cos α<0，
∴α是第二象限角.
解析
答案
类型三 诱导公式一的应用 例4 求下列各式的值： (1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； 解 原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况 对参数进行分类讨论.
跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值.
解答
命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值
例2
3 已知角 α 的终边在直线 y＝－3x 上，求 10sin α＋cos α的值.
一三角函数值相等.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 任意角的三角函数 使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上 任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.
思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ y x y 答案 sin α＝r ，cos α＝r ，tan α＝x.
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的 . 故正弦、余弦、正切都 是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数， 统称为 三角函数 .
知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
思考 答案 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意 在各象限的符号吗？ 角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α y ＝ x (x≠0). 当α为第一象限角时，y>0, x>0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0， 同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示.
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴sin 3· cos 4· tan 5＞0.
解答
反思与感悟
角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的
关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限
的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
解答
反思与感悟
在解决有关角的终边在直线上的问题时， 应注意到角的终边为
射线， 所以应分两种情况处理， 取射线上异于原点的任意一点的坐标为(a， b)，
则对应角的三角函数值分别为sin α＝
b a b ， cos α＝ 2 ，tan α＝a. a2＋b2 a ＋b2
跟踪训练 2
在平面直角坐标系中，角α的终边在直线 3x ＋4y ＝0 上，求
[思考辨析
判断正误]
1. sin α，cos α，tan α的大小与点P(x，y)在角α的终边上的位置有关. ×
( )
提示
三角函数的大小由角α终边位置确定，而与点P(x，y)在终边上的
√ )
位置无关. 2. 终边相同的角的同角函数值相等.
答案
梳理 (1)单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以 单位圆. (2)定义 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与 正弦 P(x，y)，那么： ①y叫做α的 ，记作 sin α ， 单位圆 交于点 单位长度 为半径的圆为
余弦 cos α 即y sin α＝y； y ③x叫做 α 的正切，记作 tan α ，即 tan α＝x (x≠0).
sin α－3cos α＋tan α的值.
解答
类型二 三角函数值符号的判断 例3 判断下列各式的符号： (1)sin 145°cos(－210°)； 解 ∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0. ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0. (2)sin 3· cos 4· tan 5.
思考2 答案
对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的 不会. 因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位 在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？
y sin α＝y，cos α＝x，tan α＝x.
位置的改变而改变？ 置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关. 思考3
提示 答案
题型探究
类型一 三角函数定义的应用
命题角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值
例1 10 已知 θ 终边上一点 P(x,3)(x≠0)，且 cos θ＝ 10 x，求 sin θ，tan θ.
解答
反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 y 在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝r ， x cos α＝r .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便.
梳理 记忆口诀：“一 全正 ，二 正弦 ，三 正切，四 余弦 ”.
知识点三 诱导公式一
思考
当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？
它们的三角函数值呢？
答案 它们的终边重合. 由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等.
梳理 诱导公式一 sin(α＋k· 2π)＝sin α， cos(α＋k· 2π)＝cos α， tan(α＋k· 2π)＝tan α， 其中k∈Z.
＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°
第一章 §1.2
任意角的三角函数
1. 2.1 任意角的三角函数(一)
学习目标
1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角 函数是以实数为自变量的函数.
2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数
值在各象限内的符号.
3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同
二 象限角. 跟踪训练3 已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则α是第______
解析 由题意知tan α<0，cos α<0，
∴α是第二象限角.
解析
答案
类型三 诱导公式一的应用 例4 求下列各式的值： (1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； 解 原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况 对参数进行分类讨论.
跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值.
解答
命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值
例2
3 已知角 α 的终边在直线 y＝－3x 上，求 10sin α＋cos α的值.
一三角函数值相等.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 任意角的三角函数 使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上 任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.
思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ y x y 答案 sin α＝r ，cos α＝r ，tan α＝x.
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的 . 故正弦、余弦、正切都 是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数， 统称为 三角函数 .
知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
思考 答案 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意 在各象限的符号吗？ 角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α y ＝ x (x≠0). 当α为第一象限角时，y>0, x>0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0， 同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示.